数理统计4(随机变量).ppt

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1、第三章第三章:随机变量及其分布随机变量及其分布 随机事件的随机事件的数量化数量化例例:骰子出现的点数骰子出现的点数:X=1,2,3,4,5,6抽检药品时出现的次品数抽检药品时出现的次品数:X=1,2,3,血药浓度达到最大值的时间血药浓度达到最大值的时间:X=1.5,X=3疗效观察试验疗效观察试验1定义3-1:对于随机试验对于随机试验,若其试验结果可用一个若其试验结果可用一个取取值值带带有有随随机机性性的的变变量量来来表表示示,且且变变量量取取值值的的概概率率是是确确定定的的,则则称称这这种种变变量量为为随随机机变变量量，记记为为X(randomvariable)X具有取值的具有取值的可变性可变

2、性，又具有取值的，又具有取值的随机性随机性例例:投币投币:X=0,1次品数不超过次品数不超过4件件:X4身高身高:X(0,3)细菌数细菌数:X=0,1,2,3,4,定义3-2 随机变量随机变量X的所有可能取值和它取这些值的所有可能取值和它取这些值的概率称为的概率称为X的的概率分布概率分布(probabilitydistribution)2第一节第一节 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布一、离散型随机变量的分布一、离散型随机变量的分布定义 3-3：如果如果X 的取值仅为有限个或可列无穷的取值仅为有限个或可列无穷多个数值多个数值,则称则称X 是是离散型随机变量离散型随机变量(discrete

3、randomvariable)定义3-4：设离散型随机变量设离散型随机变量X的全部取值为的全部取值为xk(k=1,2,)其相应的概率其相应的概率P(X=xk)=pk 则则X的的分布律分布律(distributionlow)概率函数概率函数性质:pk0,pk=1Xx1x2xkPp1p2pk3例3-1 设有设有8件药品件药品,其中其中3件是次品件是次品,现从中现从中任意抽取任意抽取2件件,试求试求(1)抽样药品中次品数抽样药品中次品数X的概率分布律的概率分布律;(2)至多抽得一件次品的概率至多抽得一件次品的概率解解(1)4次品数次品数X的概率分布列为的概率分布列为 X012P0.3570.5360

4、.107(2)PX1=PX=0+PX=1=0.357+0.536=0.8930125例例：给青蛙按每单位体重注射一定剂量的洋地给青蛙按每单位体重注射一定剂量的洋地黄黄,由以往实验获知，致死的概率为由以往实验获知，致死的概率为0.6，存，存活的概率为活的概率为0.4。今给。今给2只青蛙注射，求死亡只青蛙注射，求死亡只数的概率函数。只数的概率函数。解解:A1,A2表示第表示第1,2只青蛙死亡只青蛙死亡,X=0,1,2P(X=0)=P(A1 A2)=0.40.4=0.16P(X=1)=P(A1 A2+A1A2)=0.60.4+0.40.6=0.48 P(X=2)=P(A1A2)=0.60.6=0.3

5、6分布列分布列X012P0.160.480.360126二、随机变量的分布函数二、随机变量的分布函数定义3-5:设设X为一个随机变量为一个随机变量,对任意实数对任意实数x,称称F(x)=PXx为为X 的的分布函数分布函数(distributionfunction)记为记为XF(x)分布函数的分布函数的性质性质:1.0F(x)1.F(-)=0,F(+)=1,2.F(x)是单调不减函数是单调不减函数;对对x1x2有有P(x1)P(x2)3.F(x)为为x 的右连续函数的右连续函数,即即F(x0)=F(x0+0)0127Paa=1-PXa=1-F(a)PX=a=F(a)-F(a-0)离散型随机变量的

6、分布函数离散型随机变量的分布函数:012128例例：青蛙死亡只数青蛙死亡只数X的分布函数的分布函数致死的概率为致死的概率为0.6，存活的概率为，存活的概率为0.4。给给2只青蛙注射只青蛙注射12X012 P0.160.480.369例3-2:设随机变量设随机变量X的概率分布律如下表的概率分布律如下表试求试求:(1)常数常数C;(2)X的分布函数的分布函数F(x);(3)PX1.5;P0.51.5=0.1;P0.5X2=0.6+0.1=0.7;P1X2=PX=1+PX=2=0.6+0.1=0.710三、三、连续型随机变量的分布连续型随机变量的分布定义定义3-6：设随机变量设随机变量X在在(-,+

7、)上取值上取值,如果如果存在一个非负可积函数存在一个非负可积函数f(x),对任意对任意实数实数a,b(ab)有有称称X 为为连续型随机变量连续型随机变量(Continuousrandomvariable)f(x)为为X的的概率密度函数概率密度函数(probabilitydensityfunction)a b11密度函数密度函数f(x)的性质的性质:(1)对任意实数对任意实数f(x)0(2)连续型随机变量连续型随机变量X的性质的性质:(1)F(x)为连续函数为连续函数(2)(3)f(x)在在x点连续点连续,则则F (x)=f(x)(4)连续型随机变量取任一实数连续型随机变量取任一实数a 的概率的

8、概率PX=a=0 x 12例例3-33-3 设设 X的概率密度为的概率密度为则称则称X在区间在区间a,b上服从上服从均匀分布均匀分布(uniformdistribution),试求其分布函数试求其分布函数F(x)a bf(x)解解:13a bF(x)14例例3-4:设连续型随机变量设连续型随机变量X的密度为的密度为试求试求(1)常数常数 k;(2)X的分布函数的分布函数F(x);(3)P-1X1/2解解:(1)15(2)密度函数密度函数16(3)或或17思考与练习思考与练习1.设随机变量设随机变量X 的分布函数为的分布函数为则则X 的分布律为的分布律为X-113P0.30.50.2182.设设X的密度函数的密度函数确定确定c，求，求F(x)，P(0 x1)解:由概率密度的性质有由概率密度的性质有.故故c=2,P(00,b0为常数，则下列结论正确的是（为常数，则下列结论正确的是（）A.b是大于零的任意实数是大于零的任意实数B.b=a+1C.D.解：解：C因因故故20作业作业:习题三习题三,1-421