教育专题：1413反证法.ppt

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1、 学习目标学习目标1、了解反证法的证明步骤，体会反证法证明问题的思 想，并能够运用反证法来证明一些问题；2、理解并体会反证法的思想内涵；3、通过反证法的学习，培养辩证唯物主义观念。路边苦李路边苦李 王戎王戎7岁时，与小岁时，与小伙伴们外出游玩，看伙伴们外出游玩，看到路边的李树上结满到路边的李树上结满了果子了果子.小伙伴们纷小伙伴们纷纷去摘取果子，只有纷去摘取果子，只有王戎站在原地不动王戎站在原地不动.有人问王戎为什么有人问王戎为什么?王戎回答说王戎回答说:“树在道边而多子，此必苦李树在道边而多子，此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李.王戎是怎样知道李子是

2、苦的呢王戎是怎样知道李子是苦的呢?他运用了怎样他运用了怎样的推理方法的推理方法?假设李子是甜的假设李子是甜的那么李子会被过路人那么李子会被过路人摘去解渴，树上的李摘去解渴，树上的李子会很少。子会很少。事实上树上的李子很事实上树上的李子很多多,这与事实相矛盾。这与事实相矛盾。造成矛盾的原因是：假设李子是造成矛盾的原因是：假设李子是甜的，这个假设是错误的，说明甜的，这个假设是错误的，说明原来的结论：路边的李子是苦的原来的结论：路边的李子是苦的是正确的。是正确的。在在ABC中，若中，若ABAC，则则BC.如何说明呢？如何说明呢？方方 法法 迁迁 移移CBA假设假设李子是甜的李子是甜的假设假设B=C那

3、么那么AB=AC，这与已知条件这与已知条件ABAC相相矛盾矛盾假设不正确，假设不正确，则则BC假设不正确假设不正确，则李子是苦，则李子是苦的。的。那么那么李子会被过路人摘李子会被过路人摘去解渴去解渴,则李子会很少，则李子会很少，这与事实相这与事实相矛盾。矛盾。方法迁移方法迁移问题问题：探究探究：探究：探究：（1 1）假设它是一个直角三角形（假设它是一个直角三角形（2 2）由勾）由勾股定理，一定有股定理，一定有a a2 2+b+b2 2 c c2 2，与已知条件，与已知条件a a2 2+b+b2 2 c c2 2矛盾；（矛盾；（3 3）因此假设不成立，即它不是一个直）因此假设不成立，即它不是一个

4、直角三角形。角三角形。A AC CB B “在在ABCABC中，中，AB=cAB=c，BC=aBC=a，AC=bAC=b（abcabc）,a,a2 2+b+b2 2 c c2 2”，请，请问这个三角形是否一定不是直角三角问这个三角形是否一定不是直角三角形呢？形呢？请说明理由。请说明理由。a ab bc c 这种证明方法与前面的证明方法不同，其步骤为：这种证明方法与前面的证明方法不同，其步骤为：(1)(1)先假设结论的反面是正确的先假设结论的反面是正确的;(2)(2)然后通过逻辑推理，得出与基本事然后通过逻辑推理，得出与基本事实、已证的定理、定义或已知条件相矛盾；实、已证的定理、定义或已知条件相

5、矛盾；(3)(3)从而说明假设不成立，从而说明假设不成立，进而得出原结论正确。象这样的证明方法叫做进而得出原结论正确。象这样的证明方法叫做反证法反证法。问题问题：发现知识：发现知识：探究探究原词语原词语 否定词否定词 原词语原词语 否定词否定词 等于等于任意的任意的是是 至少有一个至少有一个 都是都是 至多有一个至多有一个 大于大于 至少有至少有n n个个 小于小于 至多有至多有n n个个 对所有对所有x x成立成立对任何对任何x x不成立不成立准准确确地地作作出出反反设设(即即否否定定结结论论)是是非非常常重重要要的的，下面是一些常见的关键词的否定形式下面是一些常见的关键词的否定形式.不是不

6、是不都是不都是不大于不大于 不小于不小于一个也没有一个也没有至少有两个至少有两个至多有（至多有（n-1)个个至少有（至少有（n+1)个个存在某个存在某个x不成立不成立存在某个存在某个x,成立成立不等于不等于某个某个证明证明：假设假设a a与与b b不止一个交点，不不止一个交点，不妨假设有两个交点妨假设有两个交点A A和和A A。因为两点确定一条直线，即经因为两点确定一条直线，即经过点过点A A和和A的直线有且只有一条的直线有且只有一条，这与，这与已知两条直线已知两条直线矛盾矛盾,假设不成立。假设不成立。所以所以两条直线相交只有一个交点。两条直线相交只有一个交点。小结小结：根据假设推出结论除了可

7、以与已根据假设推出结论除了可以与已知条件矛盾以外，还可以与我们学过的知条件矛盾以外，还可以与我们学过的基本事实、定理矛盾基本事实、定理矛盾例例1 1求证：两条直线相交只有一个交点。求证：两条直线相交只有一个交点。已知：如图两条相交直线已知：如图两条相交直线a、b。求证：求证：a与与b只有一个交点。只有一个交点。abAA A，A A证明：假设证明：假设a a与与b b不平行，不平行，则可设它们相交于点则可设它们相交于点A A。那么过点那么过点A A 就有两条就有两条直线直线a a、b b与直线与直线c c平行，平行，这与这与“过直线外一点有且过直线外一点有且只有一条直线与已知直线只有一条直线与已

8、知直线平行矛盾平行矛盾,假设不成立。假设不成立。a/b.a/b.小结小结：根据假设推出结论除根据假设推出结论除了可以与已知条件矛盾以外，了可以与已知条件矛盾以外，还可以与我们学过的定理、还可以与我们学过的定理、公理矛盾公理矛盾 已知：如图有已知：如图有a a、b b、c c三条直线，三条直线，且且a/c,b/c.a/c,b/c.求证：求证：a/ba/babc练习练习1 1 求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于或等于6060。已知：已知：ABCABC求证：求证：ABCABC中至少有一个内角小于或等于中至少有一个内角小于或等于6060.证明：假设证

9、明：假设，则则。，即即。这与这与矛盾假设不成立矛盾假设不成立ABCABC中没有一个内角小于或等于中没有一个内角小于或等于6060A60A60,B60,B60,C60,C60A+B+C180A+B+C180三角形的内角和为三角形的内角和为180180度度ABCABC中至少有一个内角小于或等于中至少有一个内角小于或等于6060.点拨：至少的反面是没有！点拨：至少的反面是没有！例例2 2A+B+C60A+B+C60+60+60+60+60=180=180假假设设结结论论的的反反面面正正确确推理论证推理论证得出结论得出结论回顾与归纳回顾与归纳反设反设归谬归谬结论结论 得得出出矛矛盾盾（已已知知、基基本

10、本事事实实、定定理理等等）假假设设不不成成立立，原原命命题题成成立立.证明真命题证明真命题 的方法的方法 直接证法直接证法 间接证法间接证法 反证法反证法 巩固新知巩固新知1 1、试说出下列命题的反面：、试说出下列命题的反面：（1 1）a a是实数。是实数。（2)a2)a大于大于2 2。（3 3）a a小于小于2 2。（4 4）至少有）至少有2 2个个（5 5）最多有一个）最多有一个 （6 6）两条直线平行。）两条直线平行。2 2、用反证法证明、用反证法证明“若若a a2 2 b b2 2,则则a a b b”的第一步是的第一步是。3 3、用反证法证明、用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等

11、的角，那么如果一个三角形没有两个相等的角，那么这个三角形不是等腰三角形这个三角形不是等腰三角形”的第一步的第一步。a a不是实数不是实数a a小于或等于小于或等于a a大于或等于大于或等于没有两个没有两个不止一个不止一个两直线相交两直线相交假设假设a=ba=b假设这个三角形是等腰三角形假设这个三角形是等腰三角形 小结小结1 1、知识小结：、知识小结：反证法证明的思路：假设命题不成立反证法证明的思路：假设命题不成立正确的推理正确的推理,得出矛盾得出矛盾肯定待定命题的肯定待定命题的结论结论2 2、难点提示、难点提示:利用反证法证明命题时利用反证法证明命题时,一定要准确而一定要准确而全面的找出命题结论的反面。至少的反面是全面的找出命题结论的反面。至少的反面是没有，最多的反面是不止。没有，最多的反面是不止。