线性代数x1-1(new1).ppt

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1、1线线 性性 代代 数数第一章第一章 矩矩 阵阵 231.1 1.1 GAUSS消元法消元法其中其中是未知数是未知数,(i=1,=1,m;j=1,=1,n)是系数是系数,是常数项是常数项.称式称式(1.1.1)(1.1.1)为为m 个个方程方程 n 个未知数的个未知数的 线性方程组。线性方程组。(1.1.1)线性方程组4齐次线性方程组：齐次线性方程组：全为零,非齐次线性方程组非齐次线性方程组：不全为零,一一组组概概念念一个解一个解:n元有序数组元有序数组 使（使（1.1.11.1.1）的所有方程都成立。）的所有方程都成立。令令 解集合：方程组的全部解的集合。解集合：方程组的全部解的集合。5 同

2、解方程组同解方程组:解集合相同的方程组 不相容线性方程组不相容线性方程组：解集合为空集的方程组。解的存在性解的存在性：解集合是否为空集。解的唯一性解的唯一性：非空的解集合是否只有一个元素。特解特解:解集合中一个特定元素。一般解一般解 (通解):解集合中全部元素的通项表达式。6零解：零解：所有未知数均取零的解;非零解：非零解：未知数不全取零的解;一般的n元齐次线性方程组：7只有零解有无穷多个解,(2,-1),(6,-3)等.例8例例1 1 解线性方程组 解：解：9 解得10小结：1上述解方程组的方法称为消元法消元法 2始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换（1）交换方程次序；（2）以不等

3、于的数乘某个方程；（3）一个方程加上另一个方程的k倍（与相互替换）（以替换）称上述三种变换为方程组的初等变换.（以 替换）113上述三种变换都是可逆的上述三种变换都是可逆的由于三种变换都是可逆的，所以变换前的由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是方程组与变换后的方程组是同解的同解的 定理定理 1.1.11.1.1 方程组的初等变换把一个线性方程组变成另一个同解的线性方程组。12对方程组消元的约定约定:一个方程中从左向右依次消去未知数.用上面的方程中的未知数消去下面方程中的未知数.消元的目的:特殊形式的方程组.从上到下,每个方程中系数不为零系数不为零的第一个未知数第一个未知

4、数的下标下标是严格增大严格增大的阶梯形方程组阶梯形方程组13当未知数与方程比较多时,消元过程书写量非常大.方程由系数及常数项唯一确定可简记为例 1 的方程组可记为每行对应一个方程.14用用可以表示消元过程中的方程组可以表示消元过程中的方程组定义定义15 由 个数构成的 行 列的矩形表称为 矩阵矩阵.简记为16，是 的第第 i 行行,的第第 j 列列,是因此位于的第 i 行 j 列,的 (i,j)元元.称之为矩阵矩阵 A,B,C;元素元素a,b,c.17对线性方程组（1.1.1）,令A=分别称为方程组(1.1.1)的系数矩阵系数矩阵和增广矩阵增广矩阵18方程组的三种初等变换对应增广矩阵的下列 三

5、种变换上面三种变换称为矩阵的上面三种变换称为矩阵的初等行变换初等行变换:19方程组的消元过程可以通过对增广矩阵的初等变换实现例例1 1 解线性方程组 解：写出增广矩阵 20解得21说明说明（1）变换提示符）变换提示符(2)将矩阵将矩阵A化为化为B记为记为AB，不能记为，不能记为AB。(3)阶梯型方程组的增广矩阵也有阶梯的阶梯型方程组的增广矩阵也有阶梯的 特征。特征。（i）零行在 所有非零行的下面。（ii）随着行标的增大，每个非零行的 首非零元的列标严格增大。这样形状的矩阵称为阶梯形矩阵阶梯形矩阵22特点：特点：（1）、可划出）、可划出一条阶梯线，线一条阶梯线，线的下方全为零；的下方全为零；（2

6、）、每个台）、每个台阶阶 只有一行，只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元（称之为零元（称之为主元主元）23 显然,以阶梯形矩阵为增广矩阵的线性方程组一定也是阶梯形方程组.因此只要把增广矩阵用初等行变换化为阶梯形矩阵,即可得所求的阶梯形方程组,从而完成消元过程.定理定理1.2.2 1.2.2 任一矩阵可通过有限有限有限有限次初等行变换化为阶梯形矩阵。24输入输入线性方程组线性方程组AX=b方程组的方程组的初等变换初等变换阶梯形方程组阶梯形方程组CX=b回代回代

7、一般解一般解矩阵初等矩阵初等行变换行变换增广矩阵增广矩阵A=A b 阶梯形矩阵阶梯形矩阵C b输出输出25例例2 2 解线性方程组 解解 26对应阶梯形方程组为 因为无论 取何值，都不会使第三个方程成立，所以此方程组无解，亦即原方程组无解。称形如“零=非零数”的方程为矛盾方程矛盾方程 27例例3 3 解方程组 解解28对应方程组为 29令则由(2)可唯一地确定 由于满足(2),故也满足(1),即它们构成原方程组的解。30因为 可任意取值，故由（3）式可知原方程组有无穷多个解。因 的值是任意取定的，故称之为自自由未知数由未知数。一般解为31例例 4 解方程组 解解32对应方程组为 选 为自由未知

8、数，则有 解得解得33问题：问题：（1）自由未知量的选法是否唯一？）自由未知量的选法是否唯一？（2）自由未知量是否可以随意选取？）自由未知量是否可以随意选取？（1）取）取 为自由未知量，则有为自由未知量，则有 解之得解之得343考虑如下问题考虑如下问题35对应方程组为 选 为自由未知数，则有 解不唯一。解不唯一。自由未知量是不能随便取的！自由未知量是不能随便取的！选取时必须保证当自由未知量的值给定后，阶梯型选取时必须保证当自由未知量的值给定后，阶梯型选取时必须保证当自由未知量的值给定后，阶梯型选取时必须保证当自由未知量的值给定后，阶梯型方程组的解唯一。方程组的解唯一。方程组的解唯一。方程组的解

9、唯一。36阶梯形矩阵中各 非零行的第一个非零元，称之为主元阶梯形方程组中主元对应的未知数称为主元未知数注注:（1）通常总是取非主元未知数为自由未知数）通常总是取非主元未知数为自由未知数 (系数不是阶梯形矩阵主元的未知数系数不是阶梯形矩阵主元的未知数)；（2）阶梯形方程组不含）阶梯形方程组不含“0=0”的方程。的方程。（3）对齐次方程组消元时，只需对系数矩阵进）对齐次方程组消元时，只需对系数矩阵进 行初等行变换行初等行变换37对于一般的线性方程组对于一般的线性方程组解的判定及求法解的判定及求法.首先,把方程组(1.1.1)的增广矩阵用初等行变换化为阶梯形矩阵38其中主元均不为零,然后写出 对应的

10、阶梯形方程组。39(1.1.4)情况情况1 1：此时，此时，是矛盾方程，方程组无解。结论结论40情况情况2 2：且 r=n.此时，方程组可表示为方程组有唯一解。41情况情况3 3：且 r n.此时，方程组可表示为方程组有无穷多个解。42线性方程组解的存在性与唯一性线性方程组解的存在性与唯一性:定理定理:把方程组化为同解的阶梯形方程组:(1)若方程组含矛盾方程,则方程组无解;(2)若方程组不含矛盾方程,则方程组有解.此时,若 r=n,则方程组有唯一解；若 rn,则方程组有无穷多个解。推推论论 若若齐齐次次线线性性方方程程组组中中方方程程的的个个数数少少于于未知数的个数，则其必有非零解未知数的个数

11、，则其必有非零解。43例例5 5 设有线性方程组设有线性方程组解解交换交换1，3行行44R1(1)+R2R1()+R2R2(1)R345其通解为其通解为46这时又分两种情形：这时又分两种情形：4753 GaussGauss消元法是把增广矩阵化为阶梯形矩阵消元法是把增广矩阵化为阶梯形矩阵,我们希望我们希望:零元素更多零元素更多,非零元素尽可能是非零元素尽可能是1.1.矩阵的初等行变换可把阶梯形矩阵化为更简单的形式，例如54阶梯形矩阵 有如下特点：主元为1并且主元所在列的其它元素全为零。称这样的阶梯形矩阵为行简化阶梯形矩阵行简化阶梯形矩阵或 标准阶梯形矩阵标准阶梯形矩阵。55由此例得其一般解 则其形式为 假设某一四元线性方程组以 为其增广矩阵，56增广矩阵阶梯形矩阵阶梯形方程组回代解增广矩阵行简化阶梯形矩阵阶梯形方程组回代解定理定理 任一矩阵均可通过有限次初等行变换化为行简化阶梯形矩阵。