画法几何 第五章平面的投影.ppt

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1、第五章第五章 平面投影平面投影5.1 5.1 平面的投影平面的投影平面的投影平面的投影一、平面的表示法一、平面的表示法abca b c 不在同一不在同一直线上的直线上的三个点三个点abca b c 直线及线直线及线外一点外一点abca b c dd 两平行直线两平行直线abca b c 两相交直线两相交直线abca b c 平面图形平面图形1 1、用几何元素表示平面、用几何元素表示平面、用几何元素表示平面、用几何元素表示平面1平行平行垂直垂直倾斜倾斜投投 影影 特特 性性 平面平行投影面平面平行投影面-投影就把实形现投影就把实形现 平面垂直投影面平面垂直投影面-投影积聚成直投影积聚成直线线 平

2、面倾斜投影面平面倾斜投影面-投影类似原平面投影类似原平面实形性实形性类似性类似性积聚性积聚性 平面对一个投影面的投影特性平面对一个投影面的投影特性平面对一个投影面的投影特性平面对一个投影面的投影特性二、平面的投影特性二、平面的投影特性2 平面在三投影面体系中的投影特性平面在三投影面体系中的投影特性平面对于三投影面的位置可分为三类平面对于三投影面的位置可分为三类平面对于三投影面的位置可分为三类平面对于三投影面的位置可分为三类：投影面垂直面投影面垂直面 投影面平行面投影面平行面一般位置平面一般位置平面特殊位置平面特殊位置平面垂直于某一投影面，倾垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面斜于另两个投影面平

3、行于某一投影面，垂平行于某一投影面，垂直于另两个投影面直于另两个投影面与三个投影面都倾斜与三个投影面都倾斜 正垂面正垂面 侧垂面侧垂面 铅垂面铅垂面 正平面正平面 侧平面侧平面 水平面水平面31 1）投影面垂直面投影面垂直面铅垂面铅垂面正垂面正垂面侧垂面侧垂面4VWHPPH铅垂面铅垂面铅垂面铅垂面投影特性：投影特性：投影特性：投影特性：1 1、abcabc积聚为一条线积聚为一条线积聚为一条线积聚为一条线 2 2、a a b b c c 、a a b b c c 为为为为 ABCABC的类似形的类似形的类似形的类似形 3 3、abcabc与与与与OXOX、OYOY的夹角的夹角的夹角的夹角反映反映

4、反映反映 、角的真实大小角的真实大小角的真实大小角的真实大小 ABCacbababbaccc5VWHQQV 正垂面正垂面正垂面正垂面 投影特性：投影特性：投影特性：投影特性：1 1、a a b b c c 积聚为一条线积聚为一条线积聚为一条线积聚为一条线 2 2、abcabc、a a b b c c ABCABC的类似形的类似形的类似形的类似形 3 3、a a b b c c 与与与与OXOX、OZOZ的夹角的夹角的夹角的夹角反映反映反映反映、角的真实大角的真实大角的真实大角的真实大小小小小 ababbacccAcCabB6VWHSWS 侧垂面侧垂面侧垂面侧垂面投影特性：投影特性：投影特性：投

5、影特性：1 1、a a b b c c 积聚为一条线积聚为一条线积聚为一条线积聚为一条线 2 2、abcabc、a a b b c c 为为为为 ABCABC的类似形的类似形的类似形的类似形 3 3、a a b b c c 与与与与OZOZ、OYOY的夹角的夹角的夹角的夹角反映反映反映反映、角的真实大小角的真实大小角的真实大小角的真实大小 CabABcabbbaaccc7abca c b c b a 类似性类似性类似性类似性积聚性积聚性铅垂面铅垂面投影特性：投影特性：在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影直线与投影

6、轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。面夹角的大小。另外两个投影面上的投影有类似性。另外两个投影面上的投影有类似性。为什么？为什么？是什么位置是什么位置的平面？的平面？82 2）投影面平行面投影面平行面水平面水平面正平面正平面侧侧平面平面9VWH水平面水平面投影特性：投影特性：投影特性：投影特性：1 1、a a b b c c 、a a b b c c 积聚为一条线积聚为一条线，具有积聚为一条线积聚为一条线，具有积聚为一条线积聚为一条线，具有积聚为一条线积聚为一条线，具有积聚性积聚性积聚性积聚性 2 2、水平投影水平投影水平投影水平投影abcabc反映反映反映反映 ABCABC实形实形

7、实形实形 CABabcbacabccabbbaacc10正平面正平面VWH投影特性：投影特性：投影特性：投影特性：1 1、abcabc 、a a b b c c 积聚为一条线，具有积聚性积聚为一条线，具有积聚性积聚为一条线，具有积聚性积聚为一条线，具有积聚性 2 2、正平面投影、正平面投影、正平面投影、正平面投影a a b b c c 反映反映反映反映 ABCABC实形实形实形实形 cabbacbcabacabcbcaCBA11投影特性：投影特性：投影特性：投影特性：1 1、abcabc 、a a b b c c 积聚为一条线，具有积聚性积聚为一条线，具有积聚性积聚为一条线，具有积聚性积聚为一

8、条线，具有积聚性 2 2、侧平面投影侧平面投影侧平面投影侧平面投影a a b b c c 反映反映反映反映 ABCABC实形实形实形实形 侧平面侧平面侧平面侧平面VWHabbbacccabcbacabcCABa12a b c a b c abc积聚性积聚性积聚性积聚性实形性实形性水平面水平面投影特性：投影特性：在它所平行的投影面上的投影反映实形。在它所平行的投影面上的投影反映实形。另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。的直线。133 3）一般位置平面一般位置平面14一般位置平面一般位置平面投影特性投影特性投影特性投影特性 1 1

9、、abcabc 、a a b b c c 、a a b b c c 均为均为均为均为 ABCABC的的的的类似形类似形类似形类似形 2 2、不反映不反映不反映不反映 、的真实角度的真实角度的真实角度的真实角度 abcbacababbaccbacCAB15判断直线在平判断直线在平面内的方法面内的方法 定定 理理 一一若一直线过平面若一直线过平面上的两点，则此上的两点，则此直线必在该平面直线必在该平面内。内。定定 理理 二二若一直线过平面上的若一直线过平面上的一点，且平行于该平一点，且平行于该平面上的另一直线，则面上的另一直线，则此直线在该平面内。此直线在该平面内。平面上取任意直线平面上取任意直线

10、三、平面上的直线和点三、平面上的直线和点1617abcb c a abcb c a d mnn m d例例1：已知平面由直线：已知平面由直线AB、AC所确定，试在平面内任所确定，试在平面内任作一条直线。作一条直线。解法一解法一解法二解法二根据定理二根据定理二根据定理一根据定理一有多少解？有多少解？有无数解。有无数解。18例例2：在平面：在平面ABC内作一条水平线，使其到内作一条水平线，使其到H面面的距的距 离为离为10mm。n m nm10c a b cab 唯一解！唯一解！有多少解？有多少解？19 平面上取点平面上取点20 先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，先找出过此点而又在平面

11、内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。然后再在该直线上确定点的位置。例例1：已知：已知K点在平面点在平面ABC上，求上，求K点的水平投影。点的水平投影。bacc a k b k 面上取点的方法：面上取点的方法：首先面上取线首先面上取线abcab k c d kd利用平面的积聚性求解利用平面的积聚性求解通过在面内作辅助线求解通过在面内作辅助线求解21例题例题例题例题2 2 已知已知已知已知 ABCABC给定一平面，试判断点给定一平面，试判断点给定一平面，试判断点给定一平面，试判断点D D是否是否是否是否属于该平面。属于该平面。属于该平面。属于该平面。ddabcabcee22bck

12、ada d b c ada d b c k bc例例3 3：已知：已知ACAC为正平线，补全平行四边形为正平线，补全平行四边形 ABCDABCD的水平投影。的水平投影。解法一解法一解法二解法二233 3、平面上的投影面平行线、平面上的投影面平行线、平面上的投影面平行线、平面上的投影面平行线 一般位置平面上存在一般位置平面上存在一般位置平面上存在一般位置平面上存在一般位置直线一般位置直线一般位置直线一般位置直线和和和和投影面平行投影面平行投影面平行投影面平行线线线线，不存在投影面垂直线。，不存在投影面垂直线。，不存在投影面垂直线。，不存在投影面垂直线。2425abcbac例题例题例题例题 已知已

13、知已知已知 ABCABC给定一平面，试过点给定一平面，试过点给定一平面，试过点给定一平面，试过点C C作属于该平面的作属于该平面的作属于该平面的作属于该平面的正平线，过点正平线，过点正平线，过点正平线，过点A A作属于该平面作属于该平面作属于该平面作属于该平面 的水平线的水平线的水平线的水平线。mnnm265.2 圆的投影圆的投影圆的圆的圆的圆的投影特性：投影特性：投影特性：投影特性：1 1、圆平面在所平行投影面上的投影反映实形；、圆平面在所平行投影面上的投影反映实形；、圆平面在所平行投影面上的投影反映实形；、圆平面在所平行投影面上的投影反映实形；2 2、圆平面在所垂直的投影面上的投影是直线，

14、其长度等于圆、圆平面在所垂直的投影面上的投影是直线，其长度等于圆、圆平面在所垂直的投影面上的投影是直线，其长度等于圆、圆平面在所垂直的投影面上的投影是直线，其长度等于圆的直径；的直径；的直径；的直径；3 3、圆平面在所倾斜的投影面上的投影是椭圆。其长轴是圆的、圆平面在所倾斜的投影面上的投影是椭圆。其长轴是圆的、圆平面在所倾斜的投影面上的投影是椭圆。其长轴是圆的、圆平面在所倾斜的投影面上的投影是椭圆。其长轴是圆的平行于这个投影面的直径的投影；短轴是圆的与上述直径垂直平行于这个投影面的直径的投影；短轴是圆的与上述直径垂直平行于这个投影面的直径的投影；短轴是圆的与上述直径垂直平行于这个投影面的直径的

15、投影；短轴是圆的与上述直径垂直的直径的投影；的直径的投影；的直径的投影；的直径的投影；275.35.3直线与平面及两平面的相对位置直线与平面及两平面的相对位置相对位置包括相对位置包括平行平行、相交相交和和垂直垂直。一、平行问题一、平行问题 直线与平面平行直线与平面平行 平面与平面平行平面与平面平行包包括括 直线与平面平行直线与平面平行定理：定理：若一直线平行于平面上的某一直若一直线平行于平面上的某一直线，则该直线与此平面必相互平行。线，则该直线与此平面必相互平行。28n a c b m abcmn例例1：过：过M点作直线点作直线MN平行于平面平行于平面ABC。有无数解有无数解有多少解？有多少解

16、？29正平线正平线例例2：过：过M点作直线点作直线MN平行于平行于V面和平面和平 面面ABC。c b a m abcmn唯一解唯一解n 30例题例题例题例题3 3 试判断直线试判断直线试判断直线试判断直线ABAB是否平行于定平面是否平行于定平面是否平行于定平面是否平行于定平面 fgfgbaabcededc结论：直线结论：直线ABAB不平行于定平面不平行于定平面31两平面平行两平面平行 若一平面上的若一平面上的两相交直两相交直线线对应平行于另一平面上对应平行于另一平面上的的两相交直线两相交直线，则这两平，则这两平面相互平行。面相互平行。若两若两投影面垂直面投影面垂直面相相互平行，则它们互平行，则

17、它们具有积聚具有积聚性性的那组投影必相互平行。的那组投影必相互平行。f h abcdefha b c d e c f b d e a abcdef32例题例题1 试判断两平面是否平行试判断两平面是否平行fededfcaacbbmnmnrrss结论：两平面平行结论：两平面平行33例题例题2 已知定平面由平行两直线已知定平面由平行两直线AB和和CD给定。给定。试过点试过点K作一平面平行于已知平面作一平面平行于已知平面。emnmnfefsrsrddcaacbbkk34二、相交问题二、相交问题直线与平面相交直线与平面相交平面与平面相交平面与平面相交 直线与平面相交直线与平面相交 直线与平面相交，其直线

18、与平面相交，其交点是直线与平面的共有点。交点是直线与平面的共有点。要讨论的问题：要讨论的问题：求求直线与平面的直线与平面的交点。交点。判别两者之间的相互遮挡关系，即判别两者之间的相互遮挡关系，即判别可见性。判别可见性。我们只讨论直线与平面中至少有一个处于特殊我们只讨论直线与平面中至少有一个处于特殊位置的情况位置的情况。3536abcmnc n b a m 平面为特殊位置平面为特殊位置例：求直线例：求直线MN与平面与平面ABC的交点的交点K并判别可见性。并判别可见性。空间及投影分析空间及投影分析 平面平面ABC是一铅垂面，其是一铅垂面，其水平投影积聚成一条直线，该水平投影积聚成一条直线，该直线与

19、直线与mn的交点即为的交点即为K点的水点的水平投影。平投影。求交点求交点 判别可见性判别可见性 由水平投影可知，由水平投影可知，KN段在段在平面前，故正面投影上平面前，故正面投影上k n 为可见。为可见。还可通过重影点判别可见性。还可通过重影点判别可见性。k 1(2)作作 图图k213738km(n)bm n c b a ac 直线为特殊位置直线为特殊位置空间及投影分析空间及投影分析 直线直线MN为铅垂线，其水平为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，故交点投影积聚成一个点，故交点K的的水平投影也积聚在该点上。水平投影也积聚在该点上。求交点求交点 判别可见性判别可见性 点点位于平面上，在前；点位于平

20、面上，在前；点位于位于MN上，在后。故上，在后。故k 2 为不可见。为不可见。1(2)k 21作图作图用面上取点用面上取点法法39 两平面相交两平面相交 两平面相交其交线为直线，两平面相交其交线为直线，交线是两平面的交线是两平面的共有线，共有线，同时同时交线上的点都是两平面的共有点。交线上的点都是两平面的共有点。要讨论的问题：要讨论的问题：求求两平面的两平面的交线交线方法：方法：确定两平面的确定两平面的两个共有点。两个共有点。确定确定一个共有点及交线的方向。一个共有点及交线的方向。只讨论两平面中至少有一个处于特殊位置只讨论两平面中至少有一个处于特殊位置的情况。的情况。判别两平面之间的相互遮挡关

21、系，即：判别两平面之间的相互遮挡关系，即：判别可见性。判别可见性。40可通过正面投影可通过正面投影直观地进行判别。直观地进行判别。abcdefc f d b e a m(n)空间及投影分析空间及投影分析 平面平面ABC与与DEF都为都为正正垂面垂面，它们的正面投影都积，它们的正面投影都积聚成直线。聚成直线。交线必为一条正交线必为一条正垂线垂线，只要求得交线上的一只要求得交线上的一个点便可作出交线的投影。个点便可作出交线的投影。求交线求交线 判别可见性判别可见性作作 图图 从正面投影上可看出，从正面投影上可看出，在交线左侧，平面在交线左侧，平面ABC在上，在上，其水平投影可见。其水平投影可见。n

22、m能否不用重能否不用重影点判别？影点判别？能能!如何判别？如何判别？例：求两平面的交线例：求两平面的交线MN并判别可见性。并判别可见性。4142b c f h a e abcefh1(2)空间及投影分析空间及投影分析 平面平面EFH是一水平面，它是一水平面，它的正面投影有积聚性。的正面投影有积聚性。a b 与与e f 的交点的交点m 、b c 与与f h 的交点的交点n 即为两个共有即为两个共有点的正面投影，故点的正面投影，故m n 即即MN的正面投影的正面投影。求交线求交线 判别可见性判别可见性 点点在在FH上，点上，点在在BC上，上，点点在上，点在上，点在下，故在下，故fh可见，可见，n2

23、不可见。不可见。作作 图图mn 2 nm 1 43c d e f a b abcdef投影分析投影分析 N点的水平投影点的水平投影n位位于于def的外面，说明点的外面，说明点N位于位于DEF所确定的平面所确定的平面内，但不位于内，但不位于DEF这个这个图形内。图形内。所以所以ABC和和DEF的的交线应为交线应为MK。nn m kmk 互交互交44 小小 结结 重重点点掌掌握握二、如何在平面上确定直线和点。二、如何在平面上确定直线和点。三、两平面平行的条件一定是分别位于两平三、两平面平行的条件一定是分别位于两平面内的面内的两组相交直线对应平行。两组相交直线对应平行。四、直线与平面的交点及平面与平

24、面的交线四、直线与平面的交点及平面与平面的交线是两者的共有点或共有线。是两者的共有点或共有线。解题思路：解题思路：空间及投影分析空间及投影分析 目的是找出交点或交线的已知投影。目的是找出交点或交线的已知投影。判别可见性判别可见性尤其是尤其是如何利用重影点判别。如何利用重影点判别。一、平面的投影特性，一、平面的投影特性，尤其是特殊位置平尤其是特殊位置平面的投影特性。面的投影特性。45要要 点点一、各种位置平面的投影特性一、各种位置平面的投影特性 一般位置平面一般位置平面 投影面垂直面投影面垂直面 投影面平行面投影面平行面三个投影为边数相等的类似多边形三个投影为边数相等的类似多边形类似性类似性。在

25、其垂直的投影面上的投影积聚成直线在其垂直的投影面上的投影积聚成直线 积聚性积聚性。另外两个投影类似。另外两个投影类似。在其平行的投影面上的投影反映实形在其平行的投影面上的投影反映实形 实形性实形性。另外两个投影积聚为直线。另外两个投影积聚为直线。46二、平面上的点与直线二、平面上的点与直线 平面上的点平面上的点一定位于平面内的某条直线上一定位于平面内的某条直线上 平面上的直线平面上的直线 过平面上的两个点。过平面上的两个点。过平面上的一点并平行于该平面上的某条直线。过平面上的一点并平行于该平面上的某条直线。三、平行问题三、平行问题 直线与平面平行直线与平面平行 直线平行于平面内的一条直线。直线

26、平行于平面内的一条直线。两平面平行两平面平行 必须是一个平面上的一对相交直线对应平行必须是一个平面上的一对相交直线对应平行 于另一个于另一个平面上的一对相交直线。平面上的一对相交直线。47四、相交问题四、相交问题 求直线与平面的交点的方法求直线与平面的交点的方法 一般位置直线与特殊位置平面求交点，利用交点的共有一般位置直线与特殊位置平面求交点，利用交点的共有性和平面的积聚性直接求解。性和平面的积聚性直接求解。投影面垂直线与一般位置平面求交点，利用交点的共投影面垂直线与一般位置平面求交点，利用交点的共有性和直线的积聚性，采取平面上取点的方法求解。有性和直线的积聚性，采取平面上取点的方法求解。求两

27、平面的交线的方法求两平面的交线的方法 两特殊位置平面相交，分析交线的空间位置，有时可找两特殊位置平面相交，分析交线的空间位置，有时可找出两平面的一个共有点，根据交线的投影特性画出交线出两平面的一个共有点，根据交线的投影特性画出交线的投影。的投影。一般位置平面与特殊位置平面相交，可利用特殊位置平一般位置平面与特殊位置平面相交，可利用特殊位置平面的积聚性找出两平面的两个共面的积聚性找出两平面的两个共 有点，求出交线。有点，求出交线。48特殊位置线面相交特殊位置线面相交 特殊位置线面相交，其交点的投影可利用直线或平面的特殊位置线面相交，其交点的投影可利用直线或平面的积积聚性投影聚性投影直接求出。直接求出。（l l）当直线为一般位置，平面的某个投影具有积聚性时，当直线为一般位置，平面的某个投影具有积聚性时，交点的一个投影为直线与平面积聚性投影的交点，另一个投影交点的一个投影为直线与平面积聚性投影的交点，另一个投影可在直线的另一个投影上找到。可在直线的另一个投影上找到。（2 2）当直线的某个投影具有积聚性，平面为一般位置时，）当直线的某个投影具有积聚性，平面为一般位置时，交点的一个投影与直线的积聚性投影重合，另一个投影可利用交点的一个投影与直线的积聚性投影重合，另一个投影可利用在平面上找点的方法在平面的另一个投影上得到。在平面上找点的方法在平面的另一个投影上得到。49