线性代数 (总复习).ppt

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1、线性代数总复习线性代数总复习1例例1 计算下列行列式计算下列行列式 设行列式设行列式解解 2例例2 计算下列行列式计算下列行列式 3例例3.解解:4例例4计算计算解解56例例5 1）设）设A、B都是都是n阶方阵，并且阶方阵，并且AB=0，则则7例例6 2）设）设A、B都是都是n阶方阵，则阶方阵，则8解解9例例7解解:10例题例题8解解 1）11例题例题8解解 2）12例题例题8(3)设方阵设方阵A满足满足2A2-5A-8E=0，证明证明A-2E可逆，可逆，并并 解法解法1关键：寻求方阵关键：寻求方阵B，使（使（A-2E）B=E分析分析解法解法2令令C=A-2E，则得则得A=C+2E，代入得代入

2、得得得C*B=E，则则C-1=B13例例9 设设A是是n阶矩阵阶矩阵,证明证明:14例题例题9设设矩阵矩阵X满足：满足：AXB=XB+C，求，求X，其中其中由已知，得由已知，得AXB-XB=C，则得则得显然显然A-E、B均可逆，并且均可逆，并且对对式（式（1）左乘（）左乘（A-E）-1，右乘，右乘B-1，得得1、左右次序、左右次序2、左右乘逆左右乘逆解解15例题例题10-矩阵的秩矩阵的秩r(A)=2初等变换16例例11 设设A是是n阶矩阵阶矩阵,且且证明：证明：证明：证明：17例例2 证明元列向量证明元列向量线性无关的充要线性无关的充要条件是条件是其中其中18例例13是是n元的实向量元的实向量

3、,且且已知已知的非零的非零 解向量解向量,试判断试判断的线性相关性的线性相关性?19解解:20例例14 求求 如下线性方程组的通解如下线性方程组的通解解解 对增广矩阵对增广矩阵A进行初等进行初等行变换行变换与与T相对应的同解方程组为：相对应的同解方程组为：移项并移项并“配齐配齐”得得：则通解为则通解为21例15 讨论a、b满足什么条件时，如下方程组无解、有唯一解、有无穷 多解？有无穷多解时，求其通解。解 对增广矩阵A进行初等行变换22例题例题15（续）（续）则通解为则得一同解方程组为23例例16 (1)对齐次线性方程组对齐次线性方程组AX=0来说来说,以下哪个结论正以下哪个结论正确确?(2)对

4、非齐次线性方程组对非齐次线性方程组AX=来说来说,以下哪个结论正确以下哪个结论正确?2)5)24例题例题16（续）（续）(4)齐次线性方程组齐次线性方程组AX=0有非零解的充分必要条件是有非零解的充分必要条件是3)4)4)(3)25例题例题17解解 1）因为行列式因为行列式 所以当所以当b=3或或b=1时，时，D=0，线性相关；线性相关；否则线性无关。否则线性无关。26例题例题17续续解解 2）因为因为27例题例题 设设 解解28例题例题(续续)B的极大无关组为：的极大无关组为：其余向量由此极大无关组表示为：其余向量由此极大无关组表示为：因为矩阵的初等行变换不改变列向量组的线性关系，所以因为矩

5、阵的初等行变换不改变列向量组的线性关系，所以其余向量由此极大无关组表示为：其余向量由此极大无关组表示为：29例题例题1 解解1）是；）是；2）30例题例题1（续）（续）3）由（由（2）即）即得条件得条件31方阵方阵与与相似的充分条件是相似的充分条件是；（）（）()有相同的特征值且这些特征值互异；有相同的特征值且这些特征值互异；()（）（）例例20（）设设且且，则则 例例21提示：提示：由条件得由条件得由由可逆，得可逆，得即即再再变变形形 从而从而可逆并且有下面答案可逆并且有下面答案32例例2是正交的非零实向量，是正交的非零实向量，证明方阵证明方阵且不可对角化且不可对角化即线性无关的特征向量的个

6、数不等于特征值的重根数即线性无关的特征向量的个数不等于特征值的重根数所以不能对角化所以不能对角化33例例3证明证明:证明证明:(反证法反证法)即即34例例24 设用正交变换设用正交变换化成标准形化成标准形求正数求正数a和和b以及正交矩阵以及正交矩阵P.解解:35同理可得同理可得36例例25 设设A是是n阶可逆矩阵阶可逆矩阵,如果如果A中每行元素之和都是中每行元素之和都是3,那么那么的每行元素之和是的每行元素之和是解解例例24 6设设A,B均为均为n阶的可逆矩阵阶的可逆矩阵,正确的公式是正确的公式是37例例27 已知已知38例例28则则也是该方程组的一个基础解系也是该方程组的一个基础解系.例例2

7、7那么关于那么关于A的特征的特征值能做出怎样的结论值能做出怎样的结论?39例例29的一个特征向量的一个特征向量解解:40从而可知有一个线性无关的特征向量，所以不能从而可知有一个线性无关的特征向量，所以不能对角化对角化41例例30如果矩阵如果矩阵正定，正定，那么应满足那么应满足的条件是的条件是例例 如果如果负定，那么的取值范围是负定，那么的取值范围是例例已知阶矩阵的特征值为已知阶矩阵的特征值为，423 3齐次线性方程组齐次线性方程组只有零解，则应满足的条件是只有零解，则应满足的条件是一一.填空题填空题438.设设4阶方阵阶方阵A满足条件满足条件则则12任意非零向量任意非零向量-1,-5,444），），则，则的基础解系中向量的个数的基础解系中向量的个数(即解空间的的维数即解空间的的维数)是是_ 设设为为阶方阵（阶方阵（9.10.设设均为均为阶对称矩阵，则使阶对称矩阵，则使合同的充要条件是（合同的充要条件是（）的秩相同的秩相同都合同于对角矩阵都合同于对角矩阵有相同的特征值有相同的特征值;的二次型有相同的标准形的二次型有相同的标准形（A）（B）（C）（D）D145二、证明题二、证明题46三、三、计算题计算题:设二次型设二次型经经正交变换正交变换 化成化成47