不定积分计算第八(2)讲.ppt

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1、第八讲第八讲 (第三章第二节第三章第二节)不定积分不定积分的 计算计算方法 一一.方法指导方法指导1.求不定积分的基本方法(1)(1)直接积分法直接积分法通过简单变形,利用基本积分公式和运算法则求不定积分的方法.(2)(2)换元积分法换元积分法第一类换元法第一类换元法第二类换元法第二类换元法(代换:)第一类换元法常用的几种配元形式:万能凑幂法第一类换元法常用简化技巧:(1)分项积分:(2)降低幂次:(3)统一函数:利用三角公式;配元方法(4)巧妙换元或配元万能凑幂法利用积化和差;分式分项;利用倍角公式,如 第二类换元法常见类型第二类换元法常见类型:令令令或令或令或7)分母中因子次数较高时,可试

2、用倒代换倒代换 令(3)分部积分法分部积分法使用原则:1)由易求出2)比好求.一般经验:按“反反,对对,幂幂,指指,三三 ”的顺序,排前者取为排后者取为推论推论:可用下列表格快速计算:特别特别:当 u 为 n 次多项式时计算大为简便.2.几种特殊类型的积分几种特殊类型的积分(1)可积函数的一般积分方可积函数的一般积分方法法有理函数有理函数分解分解多项式及多项式及部分分式之和部分分式之和指数函数有理式指数函数有理式指数代换指数代换三角函数有理式三角函数有理式万能代换万能代换简单无理函数简单无理函数三角代换三角代换根式代换根式代换(2)(2)需要注意的问题需要注意的问题 一般方法不一定是最简便的方

3、法一般方法不一定是最简便的方法,要注意要注意 综合使用各种基本积分法综合使用各种基本积分法,简便计算简便计算.使用积分表时注意公式条件使用积分表时注意公式条件.初等函数的原函数不一定是初等函数初等函数的原函数不一定是初等函数 ,因此不一定都能积出因此不一定都能积出.(P123,5)(3)消去二次根式的欧拉代换法消去二次根式的欧拉代换法(P161,三三)若被积函数含二次根式,通过欧拉代换可化为有理式的积分.当时,令(第一代换法)当时,令(第二代换法)当为的两不等实根,令(第三代换法)二二.实例分析实例分析例例1.求解解:原式1.换元积分换元积分例例2.求解解:原式例例3.求下列积分:3)求不定积

4、分解：解：利用凑微分法,原式=令得分子分母同除以例例4 求不定积分解解:令原式例例5.求求解解:令则原式=例例6.求解解:令则原式原式例例7.求解解:令令则则原式原式最后别忘换回原变量.例例8.8.求求方法方法1.若则令则故 原式=p148例例5（2）说明说明:若例如,则例例9.求解解:原式原式令例例1.求解解:2.分部积分p148例例4（2）例例2.2.再解例再解例8 8解解:方法方法2.2.原式原式=例例2.2.求求方法方法3(p148例例5(2)解法）解法）例例3.求解解:取说明说明:此法特别适用于如下类型的积分:例例4.求解解:令则原式原式=原式原式=例例5.求解解:令则原式原式=原式

5、原式=例例1.求求解解:原式原式3.特殊类型的积分特殊类型的积分(P145 例例2(1)例例2.求解解:令令比较同类项系数比较同类项系数,故故 原式原式说明说明:此技巧也适于形为的积分.令令例例3.解解：因为及例例4.求不定积分解解:原式 例例5.求解解:(n 为自然数)令令则则例例6.求解解:令则原式例例6.求解解:令令则则原式原式P453 公式公式 21P453 公式公式 19例例7.求解解:原式=令例例1.求解解:原式原式=4.相关问题例例2.设解解:令求积分即而 原式的反函数的反函数说明说明:若 x,y 满足方程求积分首先将方程,然后积分的一般途径是:化为参数方程若求定积分,则例例3.设且求解解:又由题设例例4.设求解法解法1.解法解法2.令则例例5.证明递推公式证证:注注:或P200习习13（3）