第十二章_第9节_二阶常系数非齐次线性微分方程.ppt

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1、三、小结及作业三、小结及作业1第九节第九节 常系数线性非齐次微分方程常系数线性非齐次微分方程方程方程为常数为常数)叫做二阶常系数线性非齐次微分方程叫做二阶常系数线性非齐次微分方程.根据解的结构定理根据解的结构定理,其通解为其通解为非齐次方程特解非齐次方程特解齐次方程通解齐次方程通解求特解的方法求特解的方法根据根据 f(x)的特殊形式的特殊形式,给出特解给出特解的待定形式的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数代入原方程比较两端表达式以确定待定系数.2一一.为常数为常数)型型为实数为实数,设特解形式为设特解形式为其中其中 为待定多项式为待定多项式,将将代入原方程代入原方程,得得(1)若

2、若则取则取 Q(x)为为 m 次待定系数多项式次待定系数多项式从而得到特解从而得到特解形式为形式为为为 m 次多项式次多项式.不是特征方程的根不是特征方程的根,即即3为常数为常数)(4)设特解为设特解为(2)若若但但则则是一个待定系数的是一个待定系数的 m 次多项式次多项式 ,这时特解形式为这时特解形式为(3)若若且且则则是一个待定系数的是一个待定系数的 m 次多项式次多项式,这时特解形式为这时特解形式为小结小结对方程对方程(4),当当此结论可推广到高阶常系数线性微分方程此结论可推广到高阶常系数线性微分方程是特征方程的单根是特征方程的单根,即即是特征方程的重根是特征方程的重根,即即是特征方程的

3、是特征方程的k k重根时重根时,可设特解为可设特解为4例例1 求方程求方程的一个特解的一个特解.解解 本题本题而特征方程为而特征方程为不是特征方程的根不是特征方程的根.设所求特解为设所求特解为代入方程代入方程比较系数比较系数,得得于是所求特解为于是所求特解为5例例2 求方程求方程的通解的通解.解解 本题本题特征方程为特征方程为其根为其根为对应齐次方程的通解为对应齐次方程的通解为设非齐次方程特解为设非齐次方程特解为比较系数比较系数,得得因此特解为因此特解为代入方程得代入方程得所求通解为所求通解为6特征方程为特征方程为其根为其根为方程特解为方程特解为代入方程得代入方程得比较系数比较系数,得得7例例

4、4 求解定解问题求解定解问题解解 本题本题而特征方程为而特征方程为其其根为根为设非齐次方程特解为设非齐次方程特解为代入方程得代入方程得故故故对应齐次方程通解为故对应齐次方程通解为原方程通解为原方程通解为8于是所求解为于是所求解为原方程通解为原方程通解为解得解得由初始条件得由初始条件得910解解 设设 的特解为的特解为 的特解为的特解为则所求特解为则所求特解为（重根）重根）例例7 写出微分方程写出微分方程的待定特解的形式的待定特解的形式.11其中其中 为特征方程的为特征方程的 k 重根重根(k =0,1 ),上述结论也可推广到高阶方程的情形上述结论也可推广到高阶方程的情形.方程方程为常数为常数)

5、12例例8 求方程求方程的一个特解的一个特解.解解 本题本题 特征方程特征方程所以可设原方程所以可设原方程由于由于 不是特征方程的根不是特征方程的根,代入方程得代入方程得特解为特解为比较系数比较系数,得得于是求得一个特解于是求得一个特解13例例9 求方程求方程的通解的通解.解解 特征方程为特征方程为其根为其根为对应齐次方程的通解为对应齐次方程的通解为比较系数比较系数,得得因此特解为因此特解为代入方程得代入方程得所求通解为所求通解为由于由于 为特征方程的单根为特征方程的单根,因此设非齐次方程特解为因此设非齐次方程特解为14例例10 设出下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式设出下列高阶常系数线性

6、非齐次方程的特解形式解解 (1)特征方程特征方程即即有二重根有二重根所以设非齐次方程特解为所以设非齐次方程特解为(2)特征方程特征方程即即有根有根利用叠加原理利用叠加原理,可设非齐次方程特解为可设非齐次方程特解为15思考与练习思考与练习1.求方程求方程的通解的通解.提示提示:对应齐次方程通解对应齐次方程通解1)当当时时,设特解设特解2)当当时时,设特解设特解答案答案:原方程的通解为原方程的通解为162.(填空填空)设设1)当当 时可设特解为时可设特解为 2)当当时可设特解为时可设特解为 提示提示:17三、小结三、小结1.为特征方程的为特征方程的重根重根,则设特解为则设特解为2.为特征方程的为特征方程的重根重根,则设特解为则设特解为18作业作业12-9P317 1(1)(5)(6)(8)(10),2(2)(4);619练练 习习 题题2021练习题答案练习题答案2223