线性代数课件7-3正交变换.ppt

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1、第三节第三节 正交变换正交变换定义定义 7 设设T是欧氏空间是欧氏空间V 中的一个线性变换，对中的一个线性变换，对任意的任意的,V 都有都有则称则称T 是一个正交变换。是一个正交变换。正交变换可以从几个不同的方面来加以刻划。正交变换可以从几个不同的方面来加以刻划。定理定理 3 设设T 是是n 维欧氏空间维欧氏空间V 的一个线性变换，则的一个线性变换，则以下四个命题相互等价：以下四个命题相互等价：（1）T 是正交变换；是正交变换；（2）T 保持向量的长度不变，即对于任意保持向量的长度不变，即对于任意 V,有有|T()|=|;（3）若若1,2,n 是是V 的一个标准正交基，的一个标准正交基，则则T

2、(1),T(2),T(n)也是也是V 的标准正交基；的标准正交基；（4）T 在任意在任意一个标准正交基下的矩阵是正交一个标准正交基下的矩阵是正交矩阵。矩阵。（证略）（证略）由线性变换与矩阵的一一对应可知：由线性变换与矩阵的一一对应可知：（1）正交变换的乘积还是正交变换；）正交变换的乘积还是正交变换；（2）正交变换是可逆变换，且其逆变换也是一）正交变换是可逆变换，且其逆变换也是一个正交变换。个正交变换。由由ATA=E,得得|AT|A|=|A|2=|E|=1,于是有于是有|A|=1。称行列式等于称行列式等于+1的正交变换为第一类的正交变换为第一类正交变换，行列式等于正交变换，行列式等于1的正交变换为第二类的正交变换为第二类正交变换。正交变换。例例1 平面上全体向量构成的二维欧氏空间平面上全体向量构成的二维欧氏空间R2，把平面绕原点按逆时针方向旋转把平面绕原点按逆时针方向旋转角的线性变角的线性变换换T。它在标准正交基它在标准正交基e1,e2下的矩阵为下的矩阵为这是一个第一类正交变换。这是一个第一类正交变换。例例2 在平面上取定一个直角坐标系，把每个向在平面上取定一个直角坐标系，把每个向量对量对x 轴作一次反射，即轴作一次反射，即这是一个线性变换，它在这是一个线性变换，它在标准正交基标准正交基e1,e2下下的矩阵为的矩阵为这是一个第二类正交变换。这是一个第二类正交变换。