教育专题：《函数单调性》1.ppt

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1、1.31.3.1 1 函数的单调性函数的单调性（一）（一）问题问题情境：情境：近六届世界杯近六届世界杯进进球数如下表：球数如下表：画成折画成折线图线图：年份年份进球数球数199019901151151994199413713719981998171171200220021611612006200614714720102010145145问题1：随着年份的不同，进球数有什么变化？进球数的变化和图象的变化有什么联系？观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：问题2:这两个函数图象有怎样的变化趋势？（上升？下降？）问题3:函数f(x)=x2在区间 内y随x的增大而增大，在区

2、间 内y随x的增大而减小。xy0 xy0（2）f(x)=x2二二.建构定义建构定义在区间D内在区间D内图图 象象图象特征图象特征数量特征数量特征从左到右，图象上升y随x的增大而增大从左到右，图象下降y随x的增大而减小o 一般地，设函数一般地，设函数 的定义域为的定义域为I I：如果对于属于如果对于属于定义域定义域I I内某个区间内某个区间上的任意两上的任意两个自变量的值个自变量的值 ，。当。当 时，都有时，都有 那么就说那么就说 在这个区间上是在这个区间上是增函数增函数。这一区间叫做函数的这一区间叫做函数的增增区间区间 函数f(x)在给定区间上为增函数。如何用如何用x与与 f(x)来描述上升的

3、图像？来描述上升的图像？o 一般地，设函数一般地，设函数 的定义域为的定义域为I I：如果对于属于如果对于属于定义域定义域I I内某个区间内某个区间上的任意两上的任意两个自变量的值个自变量的值 ，。当。当 时，都有时，都有 那么就说那么就说 在这个区间上是在这个区间上是减函数减函数。这一区间叫做函数的这一区间叫做函数的减减区间区间n注:n 三大特征：属于同一区间；任意性；有大小：通常规定 ；n相对于定义域，函数的单调性可以是函数的局部性质。请结合图象说出一次函数与二次请结合图象说出一次函数与二次函数的单调区间函数的单调区间.二次函数y=ax2+bx+c(a0)在 上是增函数在 上是减函数在 上

4、是增函数在 上是减函数在(-,+)上是减函数在(-,+)上是增函数一次函数y=kx+b(k0)yox当k0时,yox当a0时,题题1 下图是定义在闭区间下图是定义在闭区间-5,5上的函上的函数数 的图象的图象,根据图象说出根据图象说出的单调区间的单调区间,以及在每一区间上以及在每一区间上,是增函数还是减函数是增函数还是减函数.-2 212345-23-3-4-5-1-112O-2 212345-23-3-4-5-1-112在区间在区间-5,-2),1,3)上是减函数上是减函数在区间在区间-2,1),3,5)上是增函数上是增函数.解解:函数函数 的单调区间有的单调区间有-5,-2),-2,1),

5、1,3),3,5,O问题4：可否写成5，2）U2，1）？问题5：写成5，2）还是写成5，2？yxo问题问题6 6：2.2.函数函数f(x)=f(x)=在区间在区间(0,+)(0,+)上单调性如何？上单调性如何？1.1.函数函数f(x)=f(x)=在区间在区间(,0),0)上单调性如何？上单调性如何？3.3.函数函数f(x)=f(x)=在区间在区间(,+,+)上是减函数吗？上是减函数吗？4.4.函数函数f(x)=f(x)=在区间在区间(,0)(0,+),0)(0,+)上是减函数吗？上是减函数吗？反例：反例：取取x x1 1=-1,x=-1,x2 2=1=1，则，则f(-1)=-1,f(1)=1f

6、(-1)=-1,f(1)=1 可见可见 x x1 1 f(x)f(x2 2)不一定成立。不一定成立。.-11所以所以f(x)=f(x)=在区间在区间(,0)(0,+),0)(0,+)上没上没有单调性。有单调性。单调递减单调递减单调递减单调递减概念理解概念理解不是不是问题问题7 7：函数函数f(x)=f(x)=在在x=1x=1处是减函数吗？处是减函数吗？yxo注意：注意：函数的单调性是对某个函数的单调性是对某个区间而言的，函数在单独的点区间而言的，函数在单独的点上没有单调性。上没有单调性。1.1.函数的单调性是对函数的单调性是对定义域内某个区间定义域内某个区间而言的，离开了定义而言的，离开了定义

7、域和相应区间就谈不上单调性域和相应区间就谈不上单调性2.2.有的函数在整个定义域内单调有的函数在整个定义域内单调(如一次函数如一次函数)，有的函数只，有的函数只在定义域内的某些区间单调在定义域内的某些区间单调(如二次函数如二次函数)，有的函数根本没，有的函数根本没有单调区间有单调区间(如常函数如常函数)3.3.函数在定义域内的两个区间函数在定义域内的两个区间A,BA,B上都是增（或减）函数，上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在一般不能认为函数在A AB上是增（或减）函数上是增（或减）函数(即不能将单即不能将单调区间并在一起调区间并在一起)4.4.当端点满足单调性定义时，可开可闭。当端点满足

8、单调性定义时，可开可闭。概念深解如图如图,已知已知 的图象的图象(包括端点包括端点),根据图象说出函数的单调区间根据图象说出函数的单调区间,以及以及在每一区间上在每一区间上,函数是增函数还是减函数是增函数还是减函数函数.-11o要了解某函数在某一区间上是否具有单调性，从图象上进要了解某函数在某一区间上是否具有单调性，从图象上进行观察是一种常用的方法，但这种方法比较粗略。严格地行观察是一种常用的方法，但这种方法比较粗略。严格地 说，它还需要进行证明。说，它还需要进行证明。例例2 2 （1 1）证明函数证明函数f(x)=-3x+2f(x)=-3x+2在在R R上是减函数。上是减函数。证明：证明：设

9、设x x1 1,x,x2 2是是R R上的上的任意任意两个实数，且两个实数，且 x x1 1xx2 2，f(xf(x1 1)-f(x)-f(x2 2)=(-3 x)=(-3 x1 1+2)-(-3 x+2)-(-3 x2 2+2)+2)=3(x=3(x2 2-x-x1 1)由由x x1 1xx2 2 ，得，得 x x2 2-x-x1 1 0 0于是于是 f(x f(x1 1)-f(x)-f(x2 2)0 0即即 f(x f(x1 1)f(xf(x2 2)所以，函数所以，函数f(x)=-3x+2f(x)=-3x+2在在R R上是减函数上是减函数。取值作差变形定号判断分析：分析：按定义只需设按定义

10、只需设x x1 1,x,x2 2是是R R上的任意两个实数，上的任意两个实数，当当 x x1 1xx2 2，我们来证明我们来证明f(xf(x1 1)f(xf(x2 2)。设设x x1 1,x,x2 2是是00，+）上的上的任意任意两个实数，两个实数，且且0 x0 x1 1 x x2 2 ,则则由由0 x0 x1 1 x x2 2 得得于是于是 f(x f(x1 1)-f(x)-f(x2 2)0 0。即即 f(x f(x1 1)f(xf(x2 2)所以函数所以函数 在区间在区间0，+）上为增函数。）上为增函数。取值作差变形定号判断证明:（2）证明函数）证明函数 在区间在区间0，+）上为增函数。）

11、上为增函数。判断函数单调性的方法步骤n利用定义证明函数利用定义证明函数f(x)f(x)在给定的在给定的区间区间D D上的单上的单调性的一般步骤：调性的一般步骤：n任任取取x x1 1，x x2 2DD，且，且x x1 1 x x2 2；n作差作差f(xf(x1 1)f(xf(x2 2)；n变形变形n定号定号（即判断差（即判断差f(xf(x1 1)f(xf(x2 2)的正负）；的正负）；n下结论下结论（即指出函数（即指出函数f(x)f(x)在给定的在给定的区间区间D D上上的单调性）的单调性）（通常是因式分解和配方通常是因式分解和配方）；）；练习：练习：1.证明函数证明函数 在在(-,0)上上是

12、减函数是减函数.2.写出写出 f(x)=x24x+5的单调递增区的单调递增区间，并证明间，并证明。函数单调性的简单应用（求参数）1.小结 1、函数单调性是对、函数单调性是对定义域的某个区间定义域的某个区间而言而言的，反映的是在这一区间上函数值随自变量变的，反映的是在这一区间上函数值随自变量变化的性质化的性质.（注意对概念的深入理解注意对概念的深入理解）2、判断函数单调性的方法：、判断函数单调性的方法：（1）利用图象：）利用图象：在单调区间上，增函数图象从左向右是上在单调区间上，增函数图象从左向右是上升的，减函数图象是下降的升的，减函数图象是下降的.（2）利用定义：）利用定义：用定义证明函数在某个区间上单调性的一用定义证明函数在某个区间上单调性的一般步骤：般步骤：任意取值任意取值作差变形作差变形判断符号判断符号 得出结论得出结论.课堂小结，知识再现课堂小结，知识再现n课后思考：n 函数 在R上单调递增，那么，的符号有什么规律？若单调递减，又该如何?