化工过程模拟与分析(第四章非线性方程组的求解).ppt

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1、第四章第四章 非线性方程组的求解非线性方程组的求解4.1 概述概述一、非线性方程组的一般形式解法：1.迭代逼近的方法：牛顿法等2.最优化方法或二、解的存在性压缩映射原理不动点不动点压缩映射压缩映射压缩映射原理压缩映射原理若G在闭集D0上是压缩映射，且G D0 D0，则G(x)在D0上存在唯一的不动点收敛性收敛性对于某个非线性方程组，若其解为，某一算法产生迭代序列x(k)，且有下式成立，则称该算法收敛。收敛速度收敛速度对于一个收敛于解的序列x(k)，若存在一个正实数和一个与迭代步数k无关的正常数q，由某k0开始下式成立，则称该迭代序列具有阶收敛速度。三、算法选择标准1、迭代算法适应性收敛域越大越

2、好，即压缩映射D0应尽量大2、迭代算法收敛性除需要在解附近，对初始点的其他要求越少越好3、迭代算法收敛速度越快越好4、计算量四、非线性方程组的线性展开对于一个n维多元函数组 f(x)，在某一点附近，有：其中J被称为雅可比矩阵，其计算如下：非线性方程组线性展开示例下列方程组在2,2处线性展开五、误差分析误差分类模型误差、观测误差、方法误差、舍入误差、初值误差数值稳定性某算法在运算过程中，误差不增长或增长很少，则称该算法数值稳定性较好。收敛检验4.2 f(x)=0的求解的求解一、牛顿-拉弗逊法（Newton-Raphson method）原理 第k步迭代时，将非线性方程组展开为线性方程组L(x)=

3、0，并将线性方程组的解作为下一个迭代点。迭代公式在解附近在解附近在解附近在解附近二阶收敛二阶收敛二阶收敛二阶收敛二、牛顿-拉弗逊法的修正1、在迭代公式中引入搜索步长步长用一维搜步长用一维搜步长用一维搜步长用一维搜索确定索确定索确定索确定目的：扩大收敛域2、引入阻尼因子（Damping factor）目的：克服J的奇异和病态阻尼因子应使阻尼因子应使阻尼因子应使阻尼因子应使J J非奇异；非奇异；非奇异；非奇异；且迭代点更靠近解且迭代点更靠近解且迭代点更靠近解且迭代点更靠近解3、雅可比矩阵计算的简化迭代k0步之后，固定J为通常取k0=2，此时算法具有三阶收敛速度。对于规模较大的化工问题，上述算法不适

4、合。计算量太大计算量太大计算量太大计算量太大J J表达式过于复杂表达式过于复杂表达式过于复杂表达式过于复杂三、拟牛顿法（Quasi Newton method）研究目的：避免雅可比矩阵的计算和求逆一般迭代公式：实质：割线法在多维空间的拓展最常用形式：Newton-Broyden法概述Newton-Broyden法原理设第k步解已求出，则可计算出：则第k+1步迭代时的雅克比矩阵可以通过修正获得：其中n n个方程，个方程，个方程，个方程，nnnn个自变量个自变量个自变量个自变量n n个方程，个方程，个方程，个方程，2n2n个自变量个自变量个自变量个自变量则可得到：由此，只要确定了初始矩阵J，则后面

5、迭代中可通过秩一修正来计算矩阵J，减少了计算量。最后可确定Sherman-Morrison公式迭代中可迭代中可迭代中可迭代中可对矩阵逆修正对矩阵逆修正对矩阵逆修正对矩阵逆修正Newton-Broyden法迭代公式：或效果较好效果较好效果较好效果较好超线性收敛超线性收敛超线性收敛超线性收敛以增加内存占用以增加内存占用以增加内存占用以增加内存占用提高计算效率提高计算效率提高计算效率提高计算效率.也可通过一维搜索最优步长因子加快收敛。inv_J1=0.3373 0.1557 0.1103 0.5124iJ1=0.2710 0.1232 0.0371 0.4040理论结果与实际计算结果：四、阻尼最小二

6、乘法（Levenberg-Marquardt method）而此最小化问题，可通过牛顿法来求解：其中：m nm nm=nm=n为方程组求解为方程组求解为方程组求解为方程组求解阻尼因子阻尼因子阻尼因子阻尼因子以上述迭代公式为基础，即可得到LM算法，除用于求解非线性方程组，也可用于非线性参数估计。该方法计算量较大，但效果较好，实际中阻尼因子需要通过迭代进行调节。阻尼因子设置和调整原则初始可设=0.001当函数值未下降时，增加阻尼因子值；函数值下降时，减小阻尼因子值。很很很很 大趋向于最速下降法大趋向于最速下降法大趋向于最速下降法大趋向于最速下降法很小则趋向于牛顿法很小则趋向于牛顿法很小则趋向于牛顿

7、法很小则趋向于牛顿法mu_init=1e-3;mu_inc=10;mu_dec=0.1;mu_max=1e5;while(mu=mu_max)dx=-(jj+ii*mu)je;计算新的函数值new_f if(new_f f),break,end mu=mu*mu_inc;end 尤其适合于参数尤其适合于参数尤其适合于参数尤其适合于参数估值问题估值问题估值问题估值问题4.3 x =(x)的求解的求解大部分稳态流程模拟需要求解此类显式方程组；显式方程解法不适合于求解隐式方程。概述解法分类直接迭代法部分迭代法松弛因子松弛因子松弛因子松弛因子对于多维问题，松弛因子应为一对角矩阵。一、韦格施坦法（Weg

8、stein method）迭代公式一个方程收敛一个方程收敛一个方程收敛一个方程收敛一个变量一个变量一个变量一个变量只适合变量交互作用较弱的情况变量交互作用较弱意味着方程组的雅可比矩阵在解的附近是个严格对角占优矩阵。二、优势特征值法（Dominant eigenvalue method）作用：加速迭代收敛。通常在其他迭代法迭代若干轮之后使用。原理的迭代形式要求F主特征值1F F主特征值主特征值且k 时有对于线性方程组对于非线性方程组同样要求每轮 F 1实践证明k 时有趋于稳定，其中且可以近似地认为因此有：相邻相邻相邻相邻2 2轮之轮之轮之轮之间解之差间解之差间解之差间解之差.再由可知：1 1轮迭

9、代起到了轮迭代起到了轮迭代起到了轮迭代起到了p p轮迭代作用轮迭代作用轮迭代作用轮迭代作用优势特征值法（DEM）迭代公式DEM的使用方式：以其他迭代法为主，每间隔45轮应用一次DEM公式4.4 基于信赖域的方法（基于信赖域的方法（Dogleg method）4.5 同伦延拓法（同伦延拓法（Homotopy continuation method）研究背景：求解非线性方程组时，初始点难以选择。原理：引入参数t，构造一簇同伦映射代替向量函数 f(x)，且H（x,t）满足：牛顿同伦牛顿同伦牛顿同伦牛顿同伦x(t)构成了n维空间中的一条曲线；非线性方程 f(x)有解转换为曲线x(t)存在。一、数值延拓

10、法一、数值延拓法一、数值延拓法一、数值延拓法对于，将t离散化：顺序求解非线性方程组：k k=1=1的的的的初始点初始点初始点初始点获得第N个方程的解后，则可以其为初始点进行迭代求解出非线性方程组的解。对于任意给定的初始点，该方法总可以二阶速度收敛至方程组的解。同伦路径同伦路径同伦路径同伦路径同伦路径x(tk)可穿越非线性方程（组）所有的解。同伦映射通用形式：牛顿同伦（或全局同伦）不动点同伦仿射同伦（仿射同伦（Affine homotopy）同伦路径存在的要求：在每一个tk处满足隐函数存在定理对t=0时同伦方程解的要求：唯一且对同伦路径的要求：不穿越原方程组的定义域二、参数微分法二、参数微分法二

11、、参数微分法二、参数微分法 (Path parameterization by the(Path parameterization by the homotopyhomotopy parameter)parameter)为减少获得同伦路径x(t)的计算量，可将同伦方程等价变换为下列常微分方程组初值问题：若存在，则上述常微分方程组可用欧拉法求出t t=1=1时的解做为原方程解的初始点时的解做为原方程解的初始点时的解做为原方程解的初始点时的解做为原方程解的初始点对于牛顿同伦，常微分方程组初始值问题为：对于仿射同伦，则等价问题为：例：例：例：例：对于可得：也可每次欧拉法预测后也可每次欧拉法预测后也可

12、每次欧拉法预测后也可每次欧拉法预测后用牛顿迭代法使得用牛顿迭代法使得用牛顿迭代法使得用牛顿迭代法使得(x x,t t)更靠近同伦路径更靠近同伦路径更靠近同伦路径更靠近同伦路径若同伦曲线有转折点，则该法失效若同伦曲线有转折点，则该法失效若同伦曲线有转折点，则该法失效若同伦曲线有转折点，则该法失效三、弧长参数微分法三、弧长参数微分法三、弧长参数微分法三、弧长参数微分法(Path parameterization by(Path parameterization by arc length)arc length)曲线曲线曲线曲线x x(t t)的弧长的弧长的弧长的弧长xtdtdxds对于n维向量函数

13、xi=xi(t)，下式成立：此即广义Pythagorean定理根据广义勾股定理，可利用弧长参数微分法求取同伦曲线记则有：n个常微分方程，n+1个自变量与广义勾股定理联立即可求解与广义勾股定理联立即可求解该问题如何求解最方便？该问题如何求解最方便？该问题如何求解最方便？该问题如何求解最方便？数值方法每求解出dx和dt后，可应用牛顿拉佛逊法修正一次以使(x(t),t)更接近同伦曲线。初始条件为：该方程组方程数比自变量数少该方程组方程数比自变量数少1联立求解则可获得修正值联立求解则可获得修正值弧长参数微分法步骤：弧长参数微分法步骤：弧长参数微分法步骤：弧长参数微分法步骤：（1）给定初始值，循环（2）

14、（4）直至收敛；（2）求解弧长常微分方程获得dx,dt,更正x和t;（3）使用牛顿拉佛逊法获得x,t，再次更正x和t;万锡人 计算非线性方程组所有解的同伦连续法 南京化工学院学报，vol 16,No.3，8894，1994.同伦算法在化工中的应用：多重定态问题、反应蒸馏、全局优化T.L.Wayburn&J.D.Seader.Homotopy continuation method for computer-aided process design.Comput.Chem.Engng,11(1),725,1987.J.D.Seader etal.Mapped continuation metho

15、ds for computing all solutions to general systems of nonlinear equations.Comput.Chem.Engng,14(1),7185,1990.作业作业作业作业1 1 用牛顿拉佛逊法求解下列非线性方程组，分别以初始点x1=0,x2=0和x1=2,x2=2，检测是否收敛到同一个解。作业作业作业作业2 2 用Wegstein法求解下列显示非线性方程组注：注：注：注：求解区域为0 x1,x2 1，自行确定初始解作业作业作业作业3 3 用数值延拓法求解下列非线性方程组，其中将同伦参数t离散化为8个区间。初始点：x1=1,x2=0注：注：该方程组以牛顿拉佛逊法求解时不能收敛。