幂级数展开.ppt

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1、第三章第三章 幂级数展开幂级数展开3.1 复数项级数3.2 幂级数（重点）定义、收敛性、柯西判据、绝对收敛、一致收敛3.3.泰勒级数展开（重点）定义、阿贝尔定理、收敛圆、收敛半径、达朗伯判别法、根值判别法、幂函数解析性泰勒级数展开、系数的计算公式3.5 洛朗级数展开（重点）3.4 解析延拓3.6 孤立奇点分类解析延拓的基本思想广义幂级数、收敛环、洛朗展开(非)孤立奇点、可去奇点、极点、本性奇点1第三章第三章 作业作业 (03/01/2012)3.2.3(2)(3)(4),4(1)(3)3.3.(2)(5)3.5.(1)(3)(10)3.6.(2)3月月13日（星期二）交日（星期二）交2第三章第

2、三章 幂级数展开幂级数展开意义：意义：1、利用级数计算函数的近似值；、利用级数计算函数的近似值；2、级数法求解微分方程；、级数法求解微分方程；3、以级数作为函数的定义；、以级数作为函数的定义；4、奇点附近函数的性态。、奇点附近函数的性态。3.1 复数项级数复数项级数一、复级数概念一、复级数概念3原原级数成为级数成为这样一个复级数归结为两个实级数，实级数的一这样一个复级数归结为两个实级数，实级数的一些性质可应用于复级数。些性质可应用于复级数。二、收敛性问题二、收敛性问题 1、收敛定义：、收敛定义：部分和：部分和：部分和数列：部分和数列：4若当若当 时，部分和数列时，部分和数列 有确定的极限，便有

3、确定的极限，便称级数收敛，否则便称级数发散。称级数收敛，否则便称级数发散。2、如何判定实数列、如何判定实数列xn极限存在极限存在极限定义：极限定义：0,N()和和 a,当当 nN，|xn-a|0,N(),当当 n,n+pN，|xn+p-xn|0,N(),当当 n,n+pN，|zn+p-zn|0,N(),当当 n,n+p N 梁梁 P.324 4、级数绝对收敛、级数绝对收敛 （更强的收敛方式）（更强的收敛方式）若若 收敛收敛则称级数则称级数 绝对收敛绝对收敛。级数绝对收敛级数绝对收敛 -级数收敛级数收敛6绝对收敛级数改变先后次序，其和不变。绝对收敛级数改变先后次序，其和不变。绝对收敛级数可写为若

4、干级数之和。绝对收敛级数可写为若干级数之和。7 两个绝对收敛级数逐项相乘，其和收敛，为两两个绝对收敛级数逐项相乘，其和收敛，为两 级数和之积级数和之积.8三、函数项级数三、函数项级数1、概念与收敛判据、概念与收敛判据定义：定义：其中其中 是是z平面上某区域平面上某区域B中的单值解析函数。中的单值解析函数。2、柯西收敛判据、柯西收敛判据：z B,0,N(,z)0,当当 n,n+p N,3、一致收敛、一致收敛：上式中上式中N一般随一般随z不同而不同。但若不同而不同。但若N与与z无关，便称无关，便称函数项级数在函数项级数在B内内一致收敛一致收敛。94、级数一致收敛的、级数一致收敛的M判别法判别法 梁

5、梁 P.34若对于某区域若对于某区域B(或曲线或曲线l)上所有各点上所有各点z,函数项级函数项级 数数 各项的模各项的模 （是与是与z无无关关的正数的正数)，而正的常数项级数，而正的常数项级数 收敛，则收敛，则 在区域在区域B(或曲线或曲线l)上上绝对且一致收敛。绝对且一致收敛。105、一致收敛级数的性质、一致收敛级数的性质（1）在）在B内一致收敛的级数，如果级数的每一项内一致收敛的级数，如果级数的每一项 都是都是B内的连续函数，则内的连续函数，则级数的和级数的和 也也是是B内的连续函数内的连续函数。极限与求和可交换极限与求和可交换（2）逐项求积分逐项求积分 在曲线在曲线l上一致收敛的级数，上

6、一致收敛的级数，如果级数的每一项如果级数的每一项 都是都是l上上的连续函数，的连续函数，则级数的和则级数的和 也是也是l上上的连续函数，而且级的连续函数，而且级数可沿数可沿l逐项求积分逐项求积分。11在在 中单值解析，则级数的和中单值解析，则级数的和 也是也是 中的中的单值解析函数，单值解析函数，的各阶导数可由的各阶导数可由 逐项逐项求导数得到，即：求导数得到，即：且最后的级数且最后的级数 在在 内的任意一个闭区域内的任意一个闭区域中一致收敛。中一致收敛。设级数设级数 在在 中一致收敛，中一致收敛，（3 3）逐项求导数逐项求导数123.2 幂级数幂级数一、定义一、定义其中其中 为复常数。这样的

7、级为复常数。这样的级数叫作以数叫作以z0为中心的幂级数。为中心的幂级数。二、幂级数敛散性幂级数敛散性1、阿贝尔定理、阿贝尔定理若幂级数若幂级数 在在 处收敛，则在闭合圆处收敛，则在闭合圆 内，幂级数绝对且一致收敛。内，幂级数绝对且一致收敛。13证明：证明：求和项其模必定有限，也即存在一正数求和项其模必定有限，也即存在一正数M M，对所有，对所有k k：因幂级数因幂级数 收敛，故其包含的每一收敛，故其包含的每一利用利用当当1 1 收敛收敛一致绝对收敛一致绝对收敛M判别法判别法14 2、比值判别法（达朗伯判别法）、比值判别法（达朗伯判别法）阿贝尔定理结论：阿贝尔定理结论：必然存在一个以展开中心必然

8、存在一个以展开中心z z0 0为圆心的圆，在圆内为圆心的圆，在圆内级数收敛（在圆外有可能发散）。这个圆称为该级数收敛（在圆外有可能发散）。这个圆称为该幂级数的收敛圆，圆的半径幂级数的收敛圆，圆的半径R R 称为收敛半径。称为收敛半径。如何求如何求R？要判定复级数要判定复级数w(zw(z)=)=w wn n(z(z)的收敛性的收敛性，一般先研究，一般先研究实级数实级数|w wn n(z(z)|)|收敛性。可利用以下两种方法：收敛性。可利用以下两种方法：15按比值判别法（达朗伯判别法）按比值判别法（达朗伯判别法）则则 收敛，从而收敛，从而 绝对收敛。绝对收敛。若若 ，则则 绝对收敛绝对收敛 引入一

9、符号引入一符号若若16另一方面，若另一方面，若 则则 可见级数发散。可见级数发散。总结后有：总结后有：收敛收敛 发散发散 R收敛发散R：收敛半径收敛半径CR:收敛圆收敛圆173、根式判别法、根式判别法（柯西判别法）（柯西判别法）若若 ，则，则 收敛，收敛，从而从而 绝对收敛。绝对收敛。收敛半径的另一公式收敛半径的另一公式:R收敛发散若若则级数发散。则级数发散。18三、例题三、例题例例1 1 求求 的收敛圆的收敛圆,t t 为复数。为复数。若若则则解：解：19例例2 2 求求 的收敛圆的收敛圆,z z 为复数。为复数。解：解：例例3 3 求求 的收敛圆的收敛圆,z z 为复数。为复数。解：解：2

10、0例例3 3 求求 的收敛圆的收敛圆,z z 为复数。为复数。解：解：取取1/3和和1的小值，为的小值，为1/321四、幂级数解析性质总结四、幂级数解析性质总结1 1、幂级数每一项均是幂级数每一项均是z z的解析函数；的解析函数；2 2、根据阿贝尔定理，幂级数在其展开点、根据阿贝尔定理，幂级数在其展开点z z0 0附近存附近存 在着一个收敛圆，并在收敛圆内部的任一闭在着一个收敛圆，并在收敛圆内部的任一闭 合区域内一致收敛；合区域内一致收敛；-收敛圆半径为收敛圆半径为0 0：仅在：仅在z z0 0点解析点解析 -收敛圆半径为收敛圆半径为：在整个复平面上解析（但在整个复平面上解析（但 仍可为奇点仍

11、可为奇点)3 3、因此，幂级数代表了一个解析函数，或者说、因此，幂级数代表了一个解析函数，或者说 幂级数的和函数在收敛圆内部解析；幂级数的和函数在收敛圆内部解析；224 4、幂级数在收敛圆内可逐项积分、幂级数在收敛圆内可逐项积分5 5、幂级数在收敛圆内可逐项求导、幂级数在收敛圆内可逐项求导236 6、幂级数逐项积分和求导不改变收敛半径、幂级数逐项积分和求导不改变收敛半径243.3 解析函数的泰勒（解析函数的泰勒（Taylor）级数展开：级数展开：一、定理：设 f(z)在以 z0 为圆心的圆 CR 内 解析，则对圆内的任意 z 点,f(z)可展为幂级数，其中展开系数为 为圆CR 内包含z且与CR

12、 同心的圆。25证明：在证明：在CR内解析，作内解析，作利用利用由柯西公式由柯西公式得到得到CR1上上26利用利用得到得到27利用柯西积分公式利用柯西积分公式最后得到最后得到泰勒级数泰勒级数 展开展开28例1、求 ez 在 邻域的 Taylor 展开。解：解：收敛半径收敛半径故故因因29例2、求 和 在 z=0 邻域的 Taylor 展开。故故30收敛半径收敛半径类似类似收敛半径收敛半径31例3、求 1/(1-z)2 在 z=0 邻域的 Taylor 展开。解：因为解：因为而而所以所以32 收敛半径收敛半径一般而言一般而言,收敛半径为展开中心至最近奇点之距离。收敛半径为展开中心至最近奇点之距离

13、。此例收敛半径此例收敛半径 R=1。事实上，该函数的奇点为事实上，该函数的奇点为z=1,展开中心展开中心 z=0 与奇点与奇点 z=1 的距离为的距离为 1 1。因。因此，上述级数在此，上述级数在|z|1时收敛！时收敛！33二、多值函数的 Taylor 展开多值函数在确定了单值分支后，可象单值函数那样在各单值分支上作泰勒展开。例4、在 展开 34n=0的那一支为多值函数lnz主值分支。1oyx收敛半径收敛半径35例5、求 在 邻域的 Taylor 展开（m不是整数）。解：注意：在复数里，当注意：在复数里，当m不是整数时，不是整数时，1m1。36从而从而m 为整数为整数37收敛半径 R=1。式中

14、n=0为主值分支。非整数二项式定理。三、无穷远点邻域内的泰勒展开 若存在R,使f(z)在以z=0为圆心，R为半径的圆外（包括 ）解析，作变换 有383.4 解析延拓解析延拓解析延拓是解析函数理论中的一个重要概念39一、解析延拓的定义：设巳知一个函数 f1(z)在区域 B1中解析如果在与B1 有重叠部分b(可以是一条线)的另一区域B2 内存在一个解析函数 f2(z),在b中 称f2(z)为f1(z)在B2中的解析延拓；反过来，f1(z)也是f2(z)在B1 中的解析延拓 40通常在两类问题中用到解析延拓一类问通常在两类问题中用到解析延拓一类问题是，巳知在某区域中有定义的解析函数，题是，巳知在某区

15、域中有定义的解析函数，例如用级数、积分或者其他表达式来表达例如用级数、积分或者其他表达式来表达的函数，用解析延拓的方法扩大其定义域的函数，用解析延拓的方法扩大其定义域和解析范围；另一类问题是，巳知数学问和解析范围；另一类问题是，巳知数学问题的解是某区域题的解是某区域B内内(除了个别奇点外除了个别奇点外)的解的解析函数；例如；根据常微分方程的普遍理析函数；例如；根据常微分方程的普遍理论，毋需实际求出解式，就可以知道，在论，毋需实际求出解式，就可以知道，在一定条件下，方程的解是一定区域内的解一定条件下，方程的解是一定区域内的解析函数，析函数，41但求解的方法只能给出在B的某一子区域内才有效的函数表

16、达式，利用解析延拓的方法，可以从这个表达式推算出解在B的其他子区域中的表达式二、延拓方法：原则上讲，可通过泰勒展开进行。例：42oxy43 在上面的例子中，我们用函数的幂级数表达式作解析延拓照那样做下去，将得到有不同收敛圆的许多幕级数，这些幂级数的全体代表一个解析函数F(z)每一个幂级数常称为F(z)的一个元素，在它自己的收敛圆内代表F(z)的泰勒展开。解析延拓是唯一的 解析延拓唯一性的证明（略）443.5 解析函数的洛朗（解析函数的洛朗（Laurent）展开展开一、双边幂级数正幂部分有收敛半径，引入新变量负幂部分成为有收敛半径，其在 内部收敛，即在 的外部收敛。若 级数在45 内绝对且一致收

17、敛。称为级数的收敛环。若级数发散。二、罗朗展开定理 设f(z)在环形区域 的内部单值解析，则对环域上任一点z,f(z)可展为幂级数其中路径C 是位于环域内按逆时针方向绕内圆一周的任一闭合曲线。46证：作沿z47沿48代入积分 第二和式换求和指标 后,成为 49从而 其中C 是环区域内按逆时针方向绕内圆一周的任一闭合曲线。501、正幂部分、正幂部分称为 Laurent 级数的正则部分，在 圆内绝对且一致收敛；2、负幂部分、负幂部分 称为 Laurent 级数的主部，在 圆外绝对且一致收敛；Laurent 级数 展开也是唯一的。因此可用各种方法求一个函数的级数展开。51 关于关于 Laurent

18、级数展开的注意点级数展开的注意点：1、尽管上式中含有(z-z0)的负幂次项，而这些项在z=z0 点是奇异的，但z0点可以是也可以不是函数 f(z)的奇点；2、尽管求展开系数ak 的公式与 Taylor 展 开系数的积分公式形式一样，但 不论z0 是否 f(z)的奇点。若z0 为f(z)的奇点，则f(k)(z0)根本不存在；若z0 不是f(z)的奇点，则f(k)(z0)存在，但f(k)(z0)还是不等于f(k)(z0)/k!52因为 成立的条件是在以C为边界的区域上f(z)解析，而现在区域上有f(z)的奇点（若无奇点就无需考虑Laurent 展开展开了了）3、如果只有环心 z0 是f(z)的奇点

19、，则内圆半径可以无限小，z 可以无限接近z0,这时称（3.5.3）为f(z)在他的孤立奇点z0 邻域上的Laurent 展开展开式。式。可用以研究函数在其孤立奇点附近的性质。可用以研究函数在其孤立奇点附近的性质。53 例1、在 的邻域将sinz/z展开重新定义54例2、在 的环域上将 展开解：Z=0 并非f(z)奇点 55 例3、在 的邻域将 展开解：其中于是56 例4、在 的邻域将 展开解：57例5：在 求函数 的 Laurent 展开。解：利用指数函数的展开公式因此：5859 603.6 孤立奇点的分类孤立奇点的分类在不同类型的奇点附近，函数具有不同的性质 一、一、孤立奇点的定义孤立奇点的

20、定义:若函数 f(z)在某点 z0 不可导。而在 z0 的任意小邻域内除z0 外处处可导，便称 z0 为 f(z)的孤立孤立奇点奇点。若在 z0 点的无论多么小的邻域内，总可以找到除 z0 以外的不可导的点，便称 z0 为 f(z)的非孤立奇点非孤立奇点。例如，z=0 是 函数 的孤立奇点，因为在以z=0 为圆心，R1 的圆内，除z=0 外，无其他不可导点。61二、二、孤立奇点的分类孤立奇点的分类:设z0 是单值函数 f(z)的孤立奇点，则在以 z0 为圆心的一个环状邻域 0|z-z0|内,可以展开成 Laurent 级数：正幂部分：解析部分，负幂部分：主要部分1、若展式不含负幂项：z0为f(

21、z)的可去奇点2、若展式含有限个负幂项：z0 为f(z)的极点3、若展式含无限个负幂项：z0 为f(z)的本性奇点三、函数在孤立奇点邻域的性质1、可去奇点62 有 定义 则 为Taylor 展开2、极点63有 m：极点的阶，一阶极点称单极点3、本性奇点有 与 的方式有关，或称无极限。与不存在极限的区别64例：z=0是函数 e1/z 的本性奇点，在|z|的环域内，它的 Laurent 级数为当 (1)z 沿正实轴0 时，1/z ,故 e1/z ；(2)z 沿负实轴0 时，1/z ,故 e1/z ；(3)z 沿虚轴，按i/(2n)0 时，e1/z 1；65 因此：z 0 时极限不存在！由函数的图形

22、,可以清楚看出:z 沿不同方向 0时,函数的形态.(4)z 按序列66u(x,y)=Re(e1/z)67v(x,y)=Im(e1/z)68四、无穷远点四、无穷远点1、无穷远点为孤立奇点的定义、无穷远点为孤立奇点的定义 设无穷远点是函数f(z)的奇点以z=0为圆心，R为半径作一圆，CR，,只要R足够大,而在圆外除无穷远点外f(z)别无奇点，则无穷远点为f(z)的一个孤立奇点此时f(z)在无穷远点邻域内的洛浪展开也就是在 中的洛浪展开。如果f(z)在有限区域中没有奇点，则这展开就等于在 中的泰勒展开。69 负幂部分为解析部分，正幂部分为主要部分2、孤立奇点的分类孤立奇点的分类:1）如果洛浪展开不含

23、正幂项，为f(z)的可去奇点，2）如果洛浪展开包含有限个正幂项，为f(z)的极点703）如果洛浪展开包含无限个正幂项，为f(z)的本性奇点。当 f(z)之值不定，而且对于任意复数A，存在趋于 的数列 71以 为本性奇点，这些函数在无穷远点的邻域中的洛浪展开也就是在 中的泰勒展开。多项式 以 为n阶极点 72五、有限阶支点作变换在 平面单叶圆环上展开无负幂项：解析型支点；有限个负幂项：极点型支点；无限个负幂项：本性奇点型支点；73例：求 在 z0=0 的展开解：z0=0为一阶支点.作变换 在 平面单叶圆环上展开 74本章本章基本要求：基本要求：1.掌握利用基本公式和有关幂级数 的公式，把圆域内的解析函数 展为泰勒级数的方法。2掌握利用基本公式和有关幂级数 的公式，把环域内的解析函数 展为洛朗级数的方法。3了解孤立奇点的分类。75