第三十七讲气体分子动理论之一——理想气体的压强和温度公式.ppt

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1、第三十七讲第三十七讲 气体分子动理论之一气体分子动理论之一 理想气体的压强和温度公式理想气体的压强和温度公式 能量均分定理能量均分定理 第三十八讲第三十八讲 气体分子动理论之二气体分子动理论之二 麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律 分子的平均自由程分子的平均自由程本讲主要内容：本讲主要内容：一、分子一、分子热运动和统计规律热运动和统计规律二二、麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律三三、玻尔兹曼分布玻尔兹曼分布（*略讲自学）略讲自学）四、四、分子平均自由程分子平均自由程五、五、真实气体和范德瓦耳斯方程真实气体和范德瓦耳斯方程（*略讲自学）略讲自学）六、气体内的迁移现象六、气体内的迁移现象（*自

2、学）自学）麦克斯韦速率分布律分子的平均自由程麦克斯韦速率分布律分子的平均自由程一、分子一、分子热运动和统计规律热运动和统计规律&分子热运动的基本特征分子热运动的基本特征特征一特征一:混乱性和无序性混乱性和无序性永恒的运动永恒的运动;频繁的碰撞频繁的碰撞特征二特征二:在分子热运动中，个别分子的运动存在着极在分子热运动中，个别分子的运动存在着极大的偶然性。但总体上却存在着确定的规律性大的偶然性。但总体上却存在着确定的规律性-统计规律性统计规律性。特征三特征三:涨落现象涨落现象.一切与热现象有关的宏观量的数值一切与热现象有关的宏观量的数值都是统计平均值都是统计平均值(如理想气体压强如理想气体压强)。

3、在任一给定瞬间。在任一给定瞬间或在系统中任一给定局部范围内，观测值都与统计平或在系统中任一给定局部范围内，观测值都与统计平均值有偏差。均值有偏差。人口中身高为人口中身高为hi-hi+h的人数为的人数为Ni。归一化的分布数归一化的分布数总人数总人数归一化条件归一化条件令间隔令间隔 h0，分布函数分布函数f(h)-分布在身高分布在身高h附附近近单位身高间隔单位身高间隔的的百分比百分比。&分布函数和平均值分布函数和平均值f(h)hO人口按身高的分布人口按身高的分布例例:某大城市人口按身高的分布曲线某大城市人口按身高的分布曲线。Ohifi/h h人口按身高的分布人口按身高的分布归一化分布函数归一化分布

4、函数f(h)满足满足平均身高平均身高身高在身高在hh+dh 范围内的人数范围内的人数dN=Nf(h)dh分布函数分布函数f(h)-分布分布在身高在身高h 附近附近，单位身高间隔单位身高间隔的人口占总人口的的人口占总人口的百分比百分比。f(h)hO人口按身高的分布人口按身高的分布可将可将h 推广为任意物理量。推广为任意物理量。可将上面的可将上面的h 推广为任意物理量推广为任意物理量,如理想气体系统中分如理想气体系统中分子的速度子的速度v.讨论分子数按速率的分布函数。讨论分子数按速率的分布函数。归一化条件归一化条件思考：思考：f(v)的物理意义？的物理意义？处于平衡态的气体分子的热运动速度在每一个

5、时刻都处于平衡态的气体分子的热运动速度在每一个时刻都在随机变化着，但是大多数分子之间存在一种统计相关在随机变化着，但是大多数分子之间存在一种统计相关性，它表现为性，它表现为平均来说平均来说气体分子的速率介于气体分子的速率介于v v+d v 的概率是不会改变的。的概率是不会改变的。&分子速率分布函数分子速率分布函数速度为速度为vv+dv 间隔内的分子数为间隔内的分子数为dN(v)fvov2 f(v)ov分布在速率分布在速率v1v2速率间隔的分子数占总分子数的速率间隔的分子数占总分子数的概率概率概率概率分布在速率分布在速率v v+dv 速率间隔的分速率间隔的分子数占总分子数的子数占总分子数的概率概

6、率概率概率速率的分布函数速率的分布函数f(v)-分子分布在速率分子分布在速率v 附近附近单位速率间隔的单位速率间隔的分子数占总分子数的分子数占总分子数的概率概率。vv+dv dN N分布在速率分布在速率v v+dv 速率间隔的速率间隔的分子数分子数分子数分子数分布在速率分布在速率v1v2速率间隔的速率间隔的分子数分子数分子数分子数v1问题问题:速率的分布函数速率的分布函数f(v)的具体形式是怎样的的具体形式是怎样的?二、麦克斯韦速率分布律二、麦克斯韦速率分布律1859年麦克斯韦从理论上得到速率分布定律：年麦克斯韦从理论上得到速率分布定律：1920年斯特恩从实验上证实了速率分布定律年斯特恩从实验

7、上证实了速率分布定律ASSBCPBCl t=l/v=/v=l/Stern 做了分子射线束实验做了分子射线束实验&分子速率的实验测定分子速率的实验测定通过改变通过改变可获得不同速率区间的分子。可获得不同速率区间的分子。只有满足此条件的分子才能同时通过两缝。只有满足此条件的分子才能同时通过两缝。麦克斯韦麦克斯韦速率分布函数速率分布函数麦克斯韦麦克斯韦速率分布曲线的特点：速率分布曲线的特点：vv+dvdNNv f(v)Ovp利用利用理想气体理想气体模型，模型，麦克斯韦推麦克斯韦推导了分子速率分布函数：导了分子速率分布函数：&麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律a:最概然最概然速率速率vpb:不同温度

8、不同温度下的下的速率分布曲线速率分布曲线c:不同的气体质量不同的气体质量下的下的速率分布曲线速率分布曲线v f(v)O73K1273K273Kv f(v)O同一种气体同一种气体同一个温度同一个温度m1m2vp+dvpdNNv f(v)Ovp分布在速率分布在速率vp-vp+dvp速率间隔的速率间隔的分子数占总分子数的分子数占总分子数的概率最大概率最大。麦克斯韦麦克斯韦速率分布曲线的特点：速率分布曲线的特点：算术平均速率算术平均速率同理，同理，方均根速率方均根速率方均根速率用来计算分子平均动能方均根速率用来计算分子平均动能&速率的三个统计值速率的三个统计值一般用于计算分子运动的平均距离；一般用于计

9、算分子运动的平均距离；最概然速率最概然速率对应分布函数的极大值，令对应分布函数的极大值，令得得最概然速率用在讨论分子速率分布。最概然速率用在讨论分子速率分布。v f(v)Ovpv f(v)O1.k=？由归一化条件由归一化条件例例2v f(v)O麦克斯韦麦克斯韦速率速率分布函数分布函数麦克斯韦麦克斯韦速度速度分布函数分布函数F(v)（*自学）自学）既为既为分子分布在分子分布在vx-vx+dvx,vy-vy+dvy,vz-vz+dvz间隔内间隔内的概率。的概率。&麦克斯韦速度分布律麦克斯韦速度分布律方均根速率与大气成分方均根速率与大气成分在地球周围厚厚的大气层中，富含着自有氧粒子和氮粒子，在地球周

10、围厚厚的大气层中，富含着自有氧粒子和氮粒子，却几乎没有宇宙中含量最多的自由氢分子和氦原子。想不到这却却几乎没有宇宙中含量最多的自由氢分子和氦原子。想不到这却是与方均根速率有关的自然现象。是与方均根速率有关的自然现象。我们在力学中已经知道，地球表面附近的物体要脱离地球引我们在力学中已经知道，地球表面附近的物体要脱离地球引力场的束缚，其逃逸速率（第二宇宙速度）为力场的束缚，其逃逸速率（第二宇宙速度）为v=11.2km/s。现现在，按式计算一下在，按式计算一下t=200C时，氢、氦原子、氧、氮的方均根速时，氢、氦原子、氧、氮的方均根速率，依次得到：率，依次得到：趣味物理趣味物理显然它们都小于逃逸速度

11、，其中氢的方均根速率最大，也只显然它们都小于逃逸速度，其中氢的方均根速率最大，也只是逃逸速度的是逃逸速度的1/6，这样一来大气层中似乎应该有大量的自由氢，这样一来大气层中似乎应该有大量的自由氢分子，但实际上地球大气层中几乎没有自由氢分子。这是什么分子，但实际上地球大气层中几乎没有自由氢分子。这是什么原因呢？要解决这个问题要借助分布曲线。原因呢？要解决这个问题要借助分布曲线。从图中可以看出，有相当数量从图中可以看出，有相当数量的一部分气体分子的速率比方均的一部分气体分子的速率比方均根速率要大得多，当这些分子的根速率要大得多，当这些分子的速率达到逃逸速率时，他们就逃速率达到逃逸速率时，他们就逃逸出

12、地球的大气层。由于氢气的逸出地球的大气层。由于氢气的方均根速率比氧、氮都大得多，方均根速率比氧、氮都大得多，因此不断有氢分子逃逸出大气层，因此不断有氢分子逃逸出大气层，氦气也与氢气有类似情况。而氧氦气也与氢气有类似情况。而氧分子的方均根速率只有氢分子的分子的方均根速率只有氢分子的1/4（氮分子也接近），只（氮分子也接近），只有很少的氧分子能达到逃逸速率，所以，在地球大气层中有很少的氧分子能达到逃逸速率，所以，在地球大气层中只有自由氧离子和氮离子，而几乎不存在自由氢分子和氦只有自由氧离子和氮离子，而几乎不存在自由氢分子和氦离子。离子。v f(v)Ovp趣味物理趣味物理三、玻尔兹曼分布（三、玻尔兹

13、曼分布（*略讲自学）略讲自学）麦克斯韦麦克斯韦速度速度分布函数分布函数F(v)（*自学）自学）上面我们没有考虑外力场对气体分子的作用上面我们没有考虑外力场对气体分子的作用,气气体按位置的分布是均匀的，概率因子：体按位置的分布是均匀的，概率因子：考虑分子受到外力作用而具有势能考虑分子受到外力作用而具有势能,将将Ek 代之以代之以 E=Ek+Ep,玻尔兹曼计算得到玻尔兹曼计算得到&玻尔兹曼分布律玻尔兹曼分布律考虑分子受到外力作用考虑分子受到外力作用,将将Ek 代之以代之以 E=Ek+Ep,玻尔兹曼计算得到玻尔兹曼计算得到 在速度间隔在速度间隔 空间间隔空间间隔内的分子数为内的分子数为 这就是这就是

14、玻尔兹曼分布律玻尔兹曼分布律.概率因子概率因子:它说明分子优先占据能量较低的状态它说明分子优先占据能量较低的状态.由于由于:因此玻尔兹曼分布可写成如下常用形式因此玻尔兹曼分布可写成如下常用形式 表明表明粒子数如何按位置分布粒子数如何按位置分布。在温度为在温度为T的平衡态下，任何系统的微观粒子按的平衡态下，任何系统的微观粒子按状态的分布，即在某一状态区间的粒子数与该状状态的分布，即在某一状态区间的粒子数与该状态区间的一个粒子能量有关，与态区间的一个粒子能量有关，与成正比。成正比。热运动使分子趋于均匀分布而重力使之位于低处热运动使分子趋于均匀分布而重力使之位于低处 在重力加速度可以认为不变的范围在

15、重力加速度可以认为不变的范围,取取z=0=0为势能零为势能零点点,z z轴向上为正轴向上为正,则玻尔兹曼分布律可写成则玻尔兹曼分布律可写成分布在高度为分布在高度为z z的地方单位体的地方单位体积内的分子数积内的分子数 n(v)n0 Z/kmO0.20.40.60.81.0204060 80O2H2&重力场中粒子按高度的分布重力场中粒子按高度的分布可由分子数分布求得大气压强按高度为可由分子数分布求得大气压强按高度为z z的变化关系的变化关系此式称为此式称为等温气压公式等温气压公式，使用于高度变化不大的条件下，使用于高度变化不大的条件下登山时，利用气压计算高度可用以下公式登山时，利用气压计算高度可

16、用以下公式高度计原理高度计原理四、分子的平均自由程四、分子的平均自由程分子的分子的平均碰撞次数平均碰撞次数(平均碰撞频率平均碰撞频率)分子的分子的平均自由程平均自由程&几个概念几个概念分子的分子的自由程自由程有效直径有效直径d平均相对速率平均相对速率ABCD跟踪分子跟踪分子，看其在一段时间内与多少分子相碰。以该看其在一段时间内与多少分子相碰。以该分子质心的运动轨迹为轴，分子有效直径分子质心的运动轨迹为轴，分子有效直径d为半径，为半径，作一曲折圆柱体，则凡质心在该圆柱体内的分子都将作一曲折圆柱体，则凡质心在该圆柱体内的分子都将与与A相碰。相碰。t内其它分子与内其它分子与A分子平均碰撞的次数等分子

17、平均碰撞的次数等于圆柱体体积中的分子数。于圆柱体体积中的分子数。ddd&计算分子的平均自由程计算分子的平均自由程实际上其它分子也在运动实际上其它分子也在运动设圆柱体的截面积为设圆柱体的截面积为d 2。在在t内，内，分子分子所走过的路程所走过的路程相应圆柱体的体积为相应圆柱体的体积为设气体分子数密度为设气体分子数密度为n，在在t时间时间内与内与A相碰的分子数为相碰的分子数为设想设想某个某个分子以平均相对速率运动，其余分子不动。分子以平均相对速率运动，其余分子不动。平均相对速率平均相对速率平均碰撞频率为平均碰撞频率为平均自由程为平均自由程为平均自由程与平均速率无关！仅与分子数密度有关！平均自由程与

18、平均速率无关！仅与分子数密度有关！思考：一定量气体，体积不变而温度升高，分子平均碰思考：一定量气体，体积不变而温度升高，分子平均碰撞频率和平均自由程将怎样变化？撞频率和平均自由程将怎样变化？例例求在求在标准状态标准状态下一秒内分子的平均自由程下一秒内分子的平均自由程和平和平均碰撞次数均碰撞次数.已知氢分子的有效直径为已知氢分子的有效直径为2 10-10m.解解:根据根据因此得因此得数亿次数亿次!H2N2O2He/10-7m1.1230.5990.6481.793d/10-10m2.33.12.91.9.9标准状态下几种气体的标准状态下几种气体的0 C不同压强下空气分子的不同压强下空气分子的p/

19、133.3pa760 1 1 10-210-410-6/m7 10-85 10-55 10-30.550五、范德瓦耳斯方程五、范德瓦耳斯方程*略讲自学略讲自学由于不需要考虑理想气体分子的大小及分子之间的相互由于不需要考虑理想气体分子的大小及分子之间的相互作用力，所以理想气体状态方程作用力，所以理想气体状态方程但是，当气体的压强比较大，温度比较低即气体分子但是，当气体的压强比较大，温度比较低即气体分子的数密度，的数密度，n比较大时，气体的行为与理想气体状态方程比较大时，气体的行为与理想气体状态方程就有较大的差异。这是因为，在这种情况下，就有较大的差异。这是因为，在这种情况下，气体分子气体分子本身

20、的体积不能不考虑本身的体积不能不考虑，而且而且，分子间的相互作用力也分子间的相互作用力也不能忽略不能忽略。1873年，荷兰物理学家年，荷兰物理学家J范德瓦耳斯考虑了范德瓦耳斯考虑了上述两个因素，对理想气体状态方程作了修正。上述两个因素，对理想气体状态方程作了修正。中气体的体中气体的体积积V就是容器的体积，而就是容器的体积，而P就是气体内部以及气体对容器就是气体内部以及气体对容器气壁的压强。气壁的压强。考虑到分子本身的体积，考虑到分子本身的体积，且且分子之间斥力导致分子之间斥力导致可压缩空间可压缩空间的的减少减少，气体占有的体积比容器的气体占有的体积比容器的体积要小，体积要小，则则1mol气体的

21、状态方程可修改为气体的状态方程可修改为式中，式中，b为体积修正项。为体积修正项。再考虑到分子间的引力作用要产再考虑到分子间的引力作用要产生内压强，由于内压强的作用，生内压强，由于内压强的作用，使实际观测到的压强使实际观测到的压强P要略小于要略小于不考虑引力作用时气体的压强，不考虑引力作用时气体的压强，于是，原方程中的于是，原方程中的P也应加以修也应加以修正，正，F引引F引引F引引=0r 范德瓦耳斯推证了范德瓦耳斯推证了pI ，并引入了另一个修正项并引入了另一个修正项a，得到真实气体的范德瓦耳斯方程为得到真实气体的范德瓦耳斯方程为式中的修正项式中的修正项a和和b一般均由实验测定。一般均由实验测定

22、。a、b 称为称为范德瓦尔斯常量范德瓦尔斯常量.引入引入b,a的实质是的实质是:b无法忽略分子间斥力无法忽略分子间斥力a无法忽略分子间引力无法忽略分子间引力气体气体a/(0.1pa m2 mol-2)b 106/(m3 mol-1)H20.24427He0.03424N21.3939O21.3632A1.3432H2O5.4630CO23.5943气体的范德瓦尔斯常量气体的范德瓦尔斯常量系统要从非平衡态系统要从非平衡态自发地自发地向平衡态过渡向平衡态过渡亦亦称称输运过程输运过程.讨论气体在非平衡态下的三种特殊过程，讨论气体在非平衡态下的三种特殊过程，即：三种迁移现象：即：三种迁移现象：粘粘 滞

23、滞 现现 象象 分分 子子 动动量量迁迁移移；热热 传传 导导 现现 象象分子分子能量迁移能量迁移；扩扩 散散 现现 象象 分子分子密度迁移密度迁移；迁移现象迁移现象产生的原因产生的原因:无外界干预时无外界干预时六、气体内的迁移现象六、气体内的迁移现象(*(*自学自学)流速流速,温度温度,密度不均匀密度不均匀河流中水流的流速分布：河流中水流的流速分布：河河 流流河河 岸岸河河 岸岸u u上层对下层的作用力上层对下层的作用力fu2u1下层对上层的阻力力下层对上层的阻力力f&粘滞现象粘滞现象由由于于各各层层气气流流的的流流速速不不同同，产产生生相相邻邻两两层层气气流流之之间间的的阻阻碍碍气气体体流

24、流动动的的阻阻力力，称称为为粘粘性性力力。这这种种现现象象称称为为内内摩摩擦擦现现象象。S-相邻两层接触面面积相邻两层接触面面积粘性力粘性力-速度梯度速度梯度 粘性系数粘性系数由于各层气流的流速不同，产生相邻两层气流由于各层气流的流速不同，产生相邻两层气流之间的阻碍气体流动的阻力，称为粘性力。这之间的阻碍气体流动的阻力，称为粘性力。这种现象称为内摩擦现象。种现象称为内摩擦现象。用分子运动论解释用分子运动论解释.热传导现象热传导现象气体内部有热量从温度高的气体内部有热量从温度高的 地方传递到温度低的地方地方传递到温度低的地方STx1 QxT2T1T2温度梯度温度梯度 热导率热导率(导热系数导热系

25、数)(能量输运能量输运)&热传导现象热传导现象用分子运动论解释用分子运动论解释迁移的气体质量迁移的气体质量密度梯度密度梯度D 扩散系数扩散系数(质量输运质量输运)&扩散现象扩散现象由气体动理论可导出由气体动理论可导出大大小小M M用分子运动论解释用分子运动论解释由气体动理论可导出由气体动理论可导出影响扩散的因素分析影响扩散的因素分析,由由可见温度越高可见温度越高,压强越低压强越低,扩散进行得越快扩散进行得越快.总结：总结：主要研究主要研究理想气体理想气体处于处于平衡态平衡态下的性质。下的性质。微观理论微观理论：状态参量的统计意义状态参量的统计意义统计规律统计规律压强公式压强公式温度公式温度公式

26、能能均分定理均分定理麦克斯韦速率分布麦克斯韦速率分布平均碰撞频率和平均自由程公式平均碰撞频率和平均自由程公式三种统计速率三种统计速率宏观规律宏观规律：理想气体的状态方程理想气体的状态方程真实气体范德瓦耳斯方程真实气体范德瓦耳斯方程答案答案同学自学完后回答下列问题：同学自学完后回答下列问题：1.1873年，荷兰物理学家年，荷兰物理学家J范德瓦耳斯对理想气体范德瓦耳斯对理想气体状态方程作了修正，是考虑了哪两个因素做了修正？状态方程作了修正，是考虑了哪两个因素做了修正？2.1mol气体范德瓦耳斯方程气体范德瓦耳斯方程式中的修正项意义为：式中的修正项意义为：b_;_。3.麦克斯韦麦克斯韦速率分布律是描述速率分布律是描述_,玻尔兹曼分玻尔兹曼分布律是描述布律是描述_.4.写出旋转体中悬浮粒子的径向分布。设旋转体旋转角写出旋转体中悬浮粒子的径向分布。设旋转体旋转角速度为速度为，粒子离旋转中心轴距离为粒子离旋转中心轴距离为r.答案答案5.试以气体为例，用分子热运动观点对内摩擦、试以气体为例，用分子热运动观点对内摩擦、热传导、扩散现象做出微观定性解释。热传导、扩散现象做出微观定性解释。