线性代数x2-1(new).ppt

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1、第二章第二章第二章第二章 线性方程组线性方程组线性方程组线性方程组目的：目的：研究线性方程组的解的结构向量的线性相关性向量组的秩齐次线性方程组解的结构非齐次线性方程组解的结构内容：内容：分量全为复数的向量称为复向量.分量全为实数的向量称为实向量，一一 向量的定义及运算向量的定义及运算定义定义2.1.12.1.1 由由n个数个数 a1 1,a2 2,an 顺序构成的顺序构成的 n元有序数组称为元有序数组称为n元向量元向量(或或n维向量维向量)，记为记为 =（a1 1,a2 2,an）,(2.1.1),(2.1.1)称称 ai 为为向量向量的第的第 i 个分量个分量（i=1,2,=1,2,n）.2

2、.1向量的线性相关性向量的线性相关性例如例如n维实向量维实向量n维复向量维复向量第第1个个分量分量第第n个分量个分量第第2个分量个分量维向量写成一行，称为维向量写成一行，称为行向量行向量，通常用等表示，如：通常用等表示，如：维向量写成一列，称为维向量写成一列，称为列向量列向量，通常用等表示，如：通常用等表示，如：注意注意行向量和列向量总被看作是行向量和列向量总被看作是两个不同的两个不同的向量向量；行向量和列向量都按照行向量和列向量都按照矩阵的运算法则矩阵的运算法则进行运算；进行运算；当没有明确说明是行向量还是列向量时，当没有明确说明是行向量还是列向量时，都当作都当作列向量列向量.定义定义 设设

3、 =(a1 1,a2 2,as）=(=(b1 1,b2 2,bt).).若若s=t 且且ai=bi(i=1,2,=1,2,s),),则则称称向向量量与与相相等等，记为记为=.定定 义义 2.1.32.1.3 (1)(1)设设=（a1 1,a2 2,an n）,=（b1 1,b2 2,bn）是是两两个个n元元向向量量,则则称称下下列列向向量量（a1 1+b1 1,a2 2+b2 2,an+bn）为为向量向量与与的和，的和，记为记为+.（2 2）设设=（a1 1,a2 2,an）是是n元元向向量量，k是是数数，称下列向量称下列向量 （ka1 1,ka2 2,kan）的数量乘积的数量乘积，记为记为

4、k .为为数数k与向量与向量 例例2.1.12.1.1 设设=（a1 1,a2 2,an）是是任任一一n元元向量，则向量，则0 0 =（0,0,00,0,0）(-1)(-1)=（-a1 1,-,-a2 2,-,-an）我们称分量全为零的向量（0,0,00,0,0）为零零向向量量，记为；称向量（-a1 1,-,-a2 2,-,-an）为向向量量的的负负向量向量，记为-.向量的减法向量的减法 性性质质2.1.12.1.1 设设，是是任任意意三三个个n元元向向量量,k,l 是任意两个数是任意两个数，则有则有（1 1）+=+（2 2）（+）+=+（+）（3 3）+=（是是 n 元零向量元零向量）（4

5、4）+（-）=（5 5）1 1 =（6 6）（kl）=k(l)（7 7）(k+l)=(=(k +l)（8 8）k(+)=)=k +k 除此之外，向量的线性运算还有下述性质：（1 1）若）若k =,则则 k=0 或或=（2 2）向量方程）向量方程+x=有唯一解有唯一解 x=-二二 向量的线性相关性向量的线性相关性是向量组 的一个线线性性组组合合.此时，也称向量 可由向量组 线性表出线性表出.定定义义2.1.42.1.4 设 是m个n元向量，k1 1,k2,2,，km是任意m个数，称下列向量例例2.1.3已知向量组已知向量组问问能否由能否由线性表出？线性表出？则则解解设设由此得由此得故故可由可由线

6、性表出。线性表出。能否由能否由线性表出线性表出(2)是否有解是否有解表出方式是否唯一表出方式是否唯一(2)的解是否唯一的解是否唯一.0,:22112121=+mmmmkkkkkkAa aa aa aa aa aa aLLL使全为零的数全为零的数如果存在不给定向量组2.1.5定义定义注注则称向量组 是 线性相关线性相关的，否则称它线性无关线性无关.4.组是线性相关的组是线性相关的包含零向量的任何向量包含零向量的任何向量.,.5量量共面共面向向量相关的几何意义是三量相关的几何意义是三是两向量是两向量共线共线；三个向；三个向义义量量对应成比例，对应成比例，几何意几何意充要条件是两向量的分充要条件是两

7、向量的分它线性相关的它线性相关的量组量组对于含有两个向量的向对于含有两个向量的向.,0,0,3.线性无关线性无关则说则说若若线性相关线性相关则说则说若若时时向量组只包含一个向量向量组只包含一个向量a aa aa aa aa a=例例2.1.42.1.4 在一个向量组中，如果有一个部分组（即由其中一个部分向量构成的向量组）线性相关，则整个向量组也线性相关.相关于是例 判断向量组是否线性相关。解 设则有（存存在在不不全全为为零零的的使使（1）成立）成立它们也使（它们也使（2）成立，即）成立，即线性相关线性相关齐次线性方程组（齐次线性方程组（2）有非零解。）有非零解。）故故线性相关。线性相关。线性无

8、关的等价定义线性无关的等价定义：（1）不存在不存在不全为零的数 ，使（2）对任意不全为零的数 ，均有（3）由 必可导出例例 指出向量组 的线性相关性。解解 令则 因方程的个数 n）线性相关。线性相关。证明证明充分性充分性设设中有一个向量（比如中有一个向量（比如）能由其余向量线性表示能由其余向量线性表示.即有即有 定理2.1.1 向量组 线性相关的充分必要条件是：至少存在一个 可由其余向量 线性表出。故故因因这这个数不全为个数不全为0，故故线性相关线性相关.必要性必要性设设线性相关，线性相关，则有不全为则有不全为0的数使的数使即即能由其余向量线性表示能由其余向量线性表示.不妨设不妨设则有则有例例

9、设设是是n个个n元向量，称之为元向量，称之为n元元基本向量组基本向量组，线性无关线性无关，对任一对任一n元向量元向量，有，有线性相关，线性相关，且且可由可由线性表出。线性表出。定理定理 已知向量组 线性无关，线性相关，而向量组可由线性表出且表示法唯一。则 例例2.1.122.1.12 一个向量组可线性表出它的任一个向量组可线性表出它的任一个部分组。一个部分组。.能由向量组 .,:,:2121这两个表示，则称量组与向若向量组称线性表示，则向量组组中的每个向量都能由若及设有两个向量组BAABBAsmbbbaaaLL线性表示向量组等价 定义定义2.1.62.1.6向量组 能相互线性例2.1.11 讨论下列向量之间的关系：（1）与(2)与 性质2.1.2 向量组的等价具有 ，对称性：若 自反性：，则 ；，则 传递性：若 ,；设 是一组n元向量。若 存在另一组n元向量 ,使则向量组 线性相关.。(1)可由 线性表出(2)s t;定理2.1.3 推论 设 与 是两组n元向量.若(2(2）线性无关;（1 1）可由 线性表出则