第二部分连续体平面应力有限元分析.ppt

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1、连续体平面应力有限元分析连续体平面应力有限元分析杨建国杨建国浙江工业大学浙江工业大学 化工机械设计研究所化工机械设计研究所第一部分 虚功原理第一部分第一部分虚功原理虚功原理n n问题的提出：问题的提出：n n基基基基于于于于弹弹弹弹簧簧簧簧系系系系统统统统的的的的一一一一些些些些假假假假设设设设条条条条件件件件，并并并并基基基基于于于于那那那那些些些些条条条条件件件件解解解解决决决决了了了了诸诸诸诸如如如如弹弹弹弹簧簧簧簧系系系系统统统统这这这这样样样样的的的的弹弹弹弹性性性性体体体体的的的的应应应应力力力力分分分分析析析析问问问问题题题题，同同同同时时时时应应应应用用用用以以以以上上上上条条

2、条条件件件件对对对对于于于于形形形形状状状状简简简简单单单单的的的的一一一一维维维维连连连连续续续续弹弹弹弹性性性性体体体体在在在在简简简简单单单单载载载载荷荷荷荷作作作作用用用用下下下下的的的的应应应应力力力力及及及及应应应应变变变变成功的进行了分析。成功的进行了分析。成功的进行了分析。成功的进行了分析。n n但但但但是是是是实实实实际际际际研研研研究究究究过过过过程程程程中中中中会会会会存存存存在在在在很很很很多多多多承承承承受受受受复复复复杂杂杂杂受受受受力力力力状状状状态态态态的的的的复复复复杂杂杂杂的的的的结结结结构构构构，此此此此时时时时基基基基于于于于以以以以上上上上的的的的条条

3、条条件件件件则则则则不不不不能能能能给给给给出出出出相相相相应应应应的的的的解解解解答答答答。这这这这样样样样就就就就需需需需要要要要一一一一些些些些其其其其他他他他的的的的条条条条件件件件来来来来完完完完成成成成分分分分析析析析，如如如如基基基基于于于于弹弹弹弹性性性性力力力力学学学学以以以以及及及及势势势势能能能能理理理理论论论论的的的的部部部部分分分分方方方方法法法法来来来来建建建建立立立立连连连连续续续续弹弹弹弹性性性性体体体体内内内内部部部部的的的的应应应应力力力力与与与与应应应应变关系。变关系。变关系。变关系。第一部分第一部分虚功原理虚功原理n n变变形形体体的的虚虚功功原原理理可

4、可以以叙叙述述如如下下：变变形形体体中中满满足足平平衡衡的的力力系系在在任任意意满满足足协协调调条条件件变变形形状状态态上上做做得得虚虚功功等等于于零零，即即体体系系的的外外力力的的虚虚功功与与内内力力的的虚虚功功之之和和等等于于零零。虚虚功功原原理理是是虚虚位位移移原原理理和和虚虚力力原原理理的的总总称称。一一般般的的有有限限元元分分析析中中经经常常采采用用的的是是虚虚位位移移原原理理，因因而而下下面面提提到到的的虚虚功功原原理理，在在没没有有特特定定说说明明的的情情况况下下指指的的就就是是虚虚位位移移原原理理的的虚虚功功原原理。理。第一部分第一部分虚功原理虚功原理n nP受受到到了了4个个

5、力力的的作作用用，处处于于平平衡衡状状态态，由由于于处处于于平平衡衡状状态态，那那么么在在任任意意方方向向上上的的这这4个力的分量和都应该为零。个力的分量和都应该为零。第一部分第一部分虚功原理虚功原理n n力力系系处处于于平平衡衡状状态态，所所以以这这4个个力力在在水水平平方方向的分量和为零，即：向的分量和为零，即：第一部分第一部分虚功原理虚功原理n n假假定定让让点点P在在水水平平方方向向移移动动一一个个非非常常小小的的位位移移 u，由由于于这这个个位位移移很很小小，所所以以与与之之相相关关的的四四个个力力不不发发生生变变化化。这这个个非非常常小小的的位位移移 u称称之之为为虚虚位位移移。由

6、由于于发发生生这这个个虚虚位位移移的的过过程程中中力力没没有有发发生生变变化化，也也就就是是水水平平方方向向的的应应力力分分量量也也没没发发生生变变化化，所所以以这这个个过过程程中做得功为中做得功为：第一部分第一部分虚功原理虚功原理n n由由由由于于于于发发发发生生生生这这这这个个个个虚虚虚虚位位位位移移移移的的的的过过过过程程程程中中中中力力力力没没没没有有有有发发发发生生生生变变变变化化化化，也也也也就就就就是是是是水水水水平平平平方方方方向向向向的的的的应应应应力力力力分分分分量量量量也也也也没没没没发发发发生生生生变变变变化化化化，依依依依旧旧旧旧满满满满足足足足公公公公式式式式分分分

7、分量量量量的的的的合合合合力力力力为为为为0 0，因因因因而而而而V Vu u0 0。也也也也就就就就是是是是说说说说在在在在平平平平衡衡衡衡力力力力系系系系中中中中，在在在在虚虚虚虚位位位位移移移移条条条条件件件件下下下下，系系系系统统统统做做做做的的的的功功功功为为为为零零零零，实实实实际际际际上上上上这这这这个个个个位位位位移移移移的的的的方方方方向向向向可可可可以以以以是是是是任任任任意意意意的的的的，只只只只不不不不过过过过相相相相应应应应的的的的应应应应力力力力分分分分量量量量也也也也要要要要与与与与之之之之一一一一致致致致而而而而已已已已，那那那那是是是是同同同同样样样样满满满满

8、足足足足以以以以上上上上的的的的结结结结果果果果。这这这这个个个个关关关关系系系系也也也也可可可可以以以以表表表表述述述述为为为为：一一一一个个个个点点点点处处处处于于于于力力力力学学学学平平平平衡衡衡衡状状状状态态态态的的的的充充充充要要要要条条条条件件件件为为为为该该该该点点点点在在在在任任任任何何何何虚虚虚虚位移下做的功都为零。位移下做的功都为零。位移下做的功都为零。位移下做的功都为零。n n如如如如果果果果这这这这几几几几个个个个力力力力中中中中即即即即有有有有内内内内力力力力又又又又有有有有外外外外力力力力，则则则则体体体体系系系系的的的的外外外外力的虚功与内力的虚功之和等于零。力的

9、虚功与内力的虚功之和等于零。力的虚功与内力的虚功之和等于零。力的虚功与内力的虚功之和等于零。第二部分 连续体的平面应力有限单元分析 2.1位移与节点坐标的关系位移与节点坐标的关系n n对对于于弹弹簧簧系系统统和和铰铰接接的的杆杆系系统统，有有限限元元分分析析过过程程中中的的主主要要结结果果都都可可以以直直接接获获得得，即即可可以以直直接接从从有有限限元元分分析析中中获获得得诸诸如如节节点点力力、节节点点位位移移等等信信息息，这这对对于于分分析析过过程程来来说说已已经经足足够够了了，但但是是对对于于二二维维或或者者三三维维连连续续体体问问题题，一一般般的的力力学学分分析析是是希希望望获获得得连连

10、续续体体内内部部的的应应力力应应变变场场，此此时时就就需需要要建建立立外外载载荷与结构的应力应变的关系。荷与结构的应力应变的关系。2.1位移与节点坐标的关系位移与节点坐标的关系n n分分分分析析析析过过过过程程程程也也也也是是是是首首首首先先先先实实实实现现现现连连连连续续续续体体体体的的的的单单单单元元元元离离离离散散散散，各各各各个个个个单单单单元元元元通通通通过过过过节节节节点点点点连连连连接接接接在在在在一一一一起起起起，之之之之后后后后我我我我们们们们就就就就需需需需要要要要建建建建立立立立每每每每个个个个单单单单元元元元相相相相关关关关的的的的节节节节点点点点力力力力与与与与节节节

11、节点点点点位位位位移移移移之之之之间间间间的的的的单单单单元元元元刚刚刚刚度度度度矩矩矩矩阵阵阵阵，最最最最后后后后再再再再将将将将所所所所有有有有的的的的单单单单元元元元的的的的刚刚刚刚度度度度矩矩矩矩阵阵阵阵组组组组装装装装到到到到一一一一起起起起形形形形成成成成一一一一个个个个整整整整体体体体刚刚刚刚度度度度矩矩矩矩阵阵阵阵(此此此此过过过过程程程程与与与与弹弹弹弹簧簧簧簧系系系系统统统统的的的的组组组组装装装装过过过过程程程程类类类类似似似似)。从从从从而而而而建建建建立立立立了了了了整整整整个个个个结结结结构构构构的的的的节节节节点点点点力力力力与与与与节节节节点点点点位位位位移移移

12、移之之之之间间间间的的的的关关关关系系系系，再再再再通通通通过过过过载载载载荷荷荷荷边边边边界界界界条条条条件件件件、位位位位移移移移边边边边界界界界条条条条件件件件求求求求解解解解这这这这个个个个矩矩矩矩阵阵阵阵方方方方程程程程，获获获获得得得得每每每每个个个个节节节节点点点点的的的的位位位位移移移移。在在在在获获获获得得得得了了了了节节节节点点点点位位位位移移移移之之之之后后后后，可可可可以以以以通通通通过过过过力力力力学学学学理理理理论论论论方方方方法法法法获获获获得得得得单单单单元元元元的的的的弹弹弹弹性性性性应应应应变变变变，进进进进而而而而获获获获得得得得单单单单元元元元的的的的应

13、应应应力力力力结结结结果果果果。如如如如果果果果实实实实现现现现了了了了上上上上面面面面的的的的整整整整个个个个计计计计算算算算过过过过程程程程，则则则则能能能能够获得在外载荷的作用下的结构的应力分布状态。够获得在外载荷的作用下的结构的应力分布状态。够获得在外载荷的作用下的结构的应力分布状态。够获得在外载荷的作用下的结构的应力分布状态。2.1位移与节点坐标的关系位移与节点坐标的关系n n网格划分原则网格划分原则n na)在在存存在在应应力力应应变变集集中中的的区区域域应应该该选选择择尽尽量量细细的的单单元元，这这样样能能够够使使得得该该区区域域的的计算结果更接近实际；计算结果更接近实际；n n

14、b)尽尽量量保保证证良良好好的的单单元元的的形形状状的的，一一般般来来说说应应该该控控制制单单元元的的长长宽宽比比，通通常常建建议议长长宽宽比比在在3以以内内，最最多多不不要要超超过过10。因因为为单单元元的的形形状状过过于于奇奇异异，将将导导致致计计算算无无法法收敛。从而无法获得相关的结果。收敛。从而无法获得相关的结果。2.1位移与节点坐标的关系位移与节点坐标的关系2.1位移与节点坐标的关系位移与节点坐标的关系n n节节节节点点点点的的的的位位位位移移移移也也也也分分分分解解解解成成成成基基基基于于于于该该该该坐坐坐坐标标标标系系系系的的的的位位位位移移移移分分分分量量量量。如如如如i i点

15、点点点的的的的位位位位移移移移分分分分量量量量为为为为u ui i和和和和v vi i。这这这这样样样样这这这这个个个个单单单单元元元元是是是是一一一一个个个个有有有有6 6个个个个位位位位移移移移自自自自由由由由度度度度的的的的三节点单元。其节点位移向量为三节点单元。其节点位移向量为三节点单元。其节点位移向量为三节点单元。其节点位移向量为 ：n n在三个节点发生位移的条件下，单元内在三个节点发生位移的条件下，单元内在三个节点发生位移的条件下，单元内在三个节点发生位移的条件下，单元内的点也会发生相应的位移，比如单元内的点也会发生相应的位移，比如单元内的点也会发生相应的位移，比如单元内的点也会发

16、生相应的位移，比如单元内的点的点的点的点P P，关于这个点的位移在此用，关于这个点的位移在此用，关于这个点的位移在此用，关于这个点的位移在此用(u u，v v)表示。表示。表示。表示。n n节点力也用基于该坐标系的节点力分量节点力也用基于该坐标系的节点力分量节点力也用基于该坐标系的节点力分量节点力也用基于该坐标系的节点力分量来表示，如来表示，如来表示，如来表示，如j j点的节点力分量分别为点的节点力分量分别为点的节点力分量分别为点的节点力分量分别为F Fujuj和和和和F Fvj vj。六个节点力分量共同构成了节点。六个节点力分量共同构成了节点。六个节点力分量共同构成了节点。六个节点力分量共同

17、构成了节点力向量：力向量：力向量：力向量：2.1位移与节点坐标的关系位移与节点坐标的关系n n假假假假设设设设单单单单元元元元内内内内部部部部的的的的位位位位移移移移随随随随着着着着具具具具体体体体坐坐坐坐标标标标位位位位置置置置发发发发生生生生变变变变化化化化，如如如如果果果果采采采采用用用用多多多多项项项项式式式式表表表表示示示示这这这这种种种种关关关关系系系系，则则则则多多多多项项项项式式式式的的的的级级级级数数数数越越越越高高高高，获获获获得得得得位位位位移移移移与与与与坐坐坐坐标标标标之之之之间间间间的的的的关关关关系系系系越越越越精精精精确确确确。在在在在这这这这里里里里我我我我们

18、们们们的的的的目目目目的的的的只只只只是是是是希希希希望望望望大大大大家家家家能能能能够够够够明明明明确确确确三三三三角角角角形形形形单单单单元元元元的的的的分分分分析析析析过过过过程程程程，因因因因而而而而在在在在此此此此选选选选择择择择了了了了最最最最简简简简单单单单的的的的多多多多项项项项式式式式，即单元内部的点的位移与其坐标之间呈线性关系。即单元内部的点的位移与其坐标之间呈线性关系。即单元内部的点的位移与其坐标之间呈线性关系。即单元内部的点的位移与其坐标之间呈线性关系。n n基基基基于于于于位位位位移移移移与与与与坐坐坐坐标标标标之之之之间间间间呈呈呈呈线线线线性性性性关关关关系系系系

19、的的的的假假假假设设设设，这这这这里里里里将将将将这种关系明确如下：这种关系明确如下：这种关系明确如下：这种关系明确如下：这这里里的的 1到到 6在在这这个个单单元元内内保保持持为为常常数数，不不同同的的单单元元一一般般这这些些常常数数是是不不同的。同的。2.1位移与节点坐标的关系位移与节点坐标的关系n n这这个个单单元元的的三三个个节节点点处处也也满满足足此此关关系系，如如对对于于节节点点1满满足足这这种种关关系系，则则获获得得了了如如下下的的方程：方程：n n其他两点也满足，则其他两点也满足，则 2.1位移与节点坐标的关系位移与节点坐标的关系n n逆矩阵表达如下：逆矩阵表达如下：式中式中N

20、i、Nj和和Nm是坐标的函数，它们反映单元位移的形是坐标的函数，它们反映单元位移的形态，故称为单元形函数。态，故称为单元形函数。2.2单元内的弹性应变单元内的弹性应变n n已已知知了了单单元元内内部部的的位位移移与与坐坐标标之之间间的的关关系系，则则我我们们可可以以确确定定单单元元内内部部的的弹弹性性应应变变，再再根根据据本本构构关关系系可可确确定定单单元元内内的的应应力力，继继而而根根据据虚虚功功原原理理建建立立节节点点力力与与单单元元应应力力之之间间的的关关系系。这这样样就就获获得得了了节节点点力力与与位位移移之之间间的关系，依靠边界条件即可求解。的关系，依靠边界条件即可求解。2.2单元内

21、的弹性应变单元内的弹性应变n n根根据据弹弹性性力力学学的的知知识识，可可以以获获得得如如下下的的关关系系：2.2单元内的弹性应变单元内的弹性应变n n由由由由于于于于在在在在某某某某一一一一特特特特定定定定的的的的单单单单元元元元内内内内部部部部的的的的 1 1到到到到 6 6保保保保持持持持为为为为常常常常数数数数，所所所所以以以以可可可可以以以以看看看看出出出出在在在在单单单单元元元元内内内内部部部部的的的的应应应应变变变变是是是是独独独独立立立立于于于于具具具具体体体体坐坐坐坐标标标标位位位位置置置置的的的的常常常常数数数数。所所所所以以以以我我我我们们们们将将将将这这这这类类类类单单

22、单单元元元元称称称称之之之之为为为为常常常常应应应应变单元。变单元。变单元。变单元。2.2单元内的弹性应变单元内的弹性应变n n此时，应变向量可写为如下形式：此时，应变向量可写为如下形式：此时，应变向量可写为如下形式：此时，应变向量可写为如下形式：简写为简写为2.2单元内的弹性应变单元内的弹性应变n n通通过过这这个个公公式式中中的的矩矩阵阵B建建立立了了单单元元的的应应变与单元节点位移之间的关系变与单元节点位移之间的关系n n通通过过前前面面提提到到的的C和和A1的的矩矩阵阵，可可以以计算出矩阵计算出矩阵B 2.3单元内的应力单元内的应力n n根根根根据据据据弹弹弹弹性性性性力力力力学学学学

23、的的的的本本本本构构构构方方方方程程程程的的的的相相相相关关关关知知知知识识识识，能能能能够够够够获获获获得得得得应力与应变之间的关系。应力与应变之间的关系。应力与应变之间的关系。应力与应变之间的关系。n n这这这这个个个个矩矩矩矩阵阵阵阵方方方方程程程程给给给给出出出出了了了了平平平平面面面面应应应应力力力力条条条条件件件件下下下下的的的的应应应应力力力力与与与与应应应应变的关系，这个方程可以简写为：变的关系，这个方程可以简写为：变的关系，这个方程可以简写为：变的关系，这个方程可以简写为：=D D n n D D 矩阵称之为弹性常数矩阵矩阵称之为弹性常数矩阵矩阵称之为弹性常数矩阵矩阵称之为弹

24、性常数矩阵 2.3单元内的应力单元内的应力n n=D=D(Bu)=DBu n n这这个个关关系系在在等等应应变变单单元元的的有有限限元元分分析析的的过过程程中中非非常常重重要要，因因为为它它建建立立了了单单元元应应力力与与节节点点位位移移之之间间的的关关系系。再再通通过过单单元元应应力力与与节节点点应应力力之之间间的的关关系系，能能够够导导出出节节点点位位移移与节点载荷之间的关系，从而实现求解。与节点载荷之间的关系，从而实现求解。2.4单元应力与节点力之间的关系单元应力与节点力之间的关系n n设单元厚度为设单元厚度为t2.4单元应力与节点力之间的关系单元应力与节点力之间的关系n n通过虚功原理

25、可得：通过虚功原理可得：K=VBTDB刚度矩阵刚度矩阵2.4单元应力与节点力之间的关系单元应力与节点力之间的关系n n对对于于等等应应变变三三角角形形单单元元，K中中的的所所有有的的数数据据都都能能够够获获得得，所所以以在在已已知知节节点点力力的的条条件件下下，可可以以获获得得节节点点位位移移。如如果果能能够够建建立立所所有有的的单单元元的的相相应应的的刚刚度度矩矩阵阵方方程程，则则可可以以通通过过组组装装的的方方式式，获获得得整整体体矩矩阵阵，而而组组装装的的方方法法可可以以参参照照弹弹簧簧系系统统的的整整体体矩矩阵阵的的组组装装方方式式。获获得得了了整整体体矩矩阵阵之之后后，我我们们可可以

26、以通通过过矩矩阵阵求求逆逆的的方方法法或或者者高高斯斯消消元元法法解解决决相关问题。相关问题。2.5总结总结应用等应变三角形单元求解的具体过程应用等应变三角形单元求解的具体过程n n通通通通过过过过前前前前面面面面的的的的推推推推导导导导可可可可知知知知这这这这里里里里提提提提出出出出的的的的等等等等应应应应变变变变三三三三角角角角形形形形单单单单元元元元适适适适用用用用于于于于二二二二维维维维平平平平面面面面应应应应力力力力问问问问题题题题，因因因因而而而而应应应应用用用用这这这这种种种种单单单单元元元元之之之之前前前前首首首首先先先先判判判判断断断断该该该该问问问问题题题题是是是是否否否否

27、是是是是平平平平面面面面应应应应力力力力问问问问题题题题，如如如如果果果果符符符符合合合合，则则则则对对对对该该该该结结结结构构构构进进进进行行行行有有有有限限限限元元元元网网网网格格格格的的的的划划划划分分分分，划划划划分分分分过过过过程程程程中中中中依依依依然然然然要要要要遵遵遵遵循循循循相相相相应应应应的的的的原原原原则则则则，即即即即在在在在应应应应力力力力变变变变化化化化比比比比较较较较剧剧剧剧烈烈烈烈的的的的区区区区域域域域使使使使用用用用比比比比较较较较细细细细的的的的网网网网格格格格，另另另另外外外外要要要要保保保保证证证证单单单单元元元元的的的的长长长长宽宽宽宽比比比比。单单

28、单单元元元元划划划划分分分分之之之之后后后后，要要要要对对对对单单单单元元元元进进进进行行行行编编编编号号号号。同同同同时时时时对对对对单单单单元元元元节节节节点点点点进进进进行行行行编编编编号号号号，单单单单元元元元和和和和节节节节点点点点编编编编号号号号的的的的基基基基本本本本准准准准则则则则是是是是保保保保证证证证相相相相邻邻邻邻的的的的单单单单元元元元及及及及节节节节点点点点编编编编号号号号的的的的差差差差距距距距尽尽尽尽量量量量小小小小，这这这这样样样样在在在在进进进进行行行行整整整整体体体体刚刚刚刚度度度度矩矩矩矩阵阵阵阵组组组组装装装装的的的的时时时时候候候候更更更更加加加加容容

29、容容易获得半带宽比较小的矩阵。易获得半带宽比较小的矩阵。易获得半带宽比较小的矩阵。易获得半带宽比较小的矩阵。2.5总结总结应用等应变三角形单元求解的具体过程应用等应变三角形单元求解的具体过程2.5总结总结应用等应变三角形单元求解的具体过程应用等应变三角形单元求解的具体过程n n以上是应用等应变三角形单元进行结构有限元分以上是应用等应变三角形单元进行结构有限元分以上是应用等应变三角形单元进行结构有限元分以上是应用等应变三角形单元进行结构有限元分析的基本流程，应该说等应变三角形单元是假定析的基本流程，应该说等应变三角形单元是假定析的基本流程，应该说等应变三角形单元是假定析的基本流程，应该说等应变三

30、角形单元是假定单元内部的位移在单元内呈线性关系，从而导致单元内部的位移在单元内呈线性关系，从而导致单元内部的位移在单元内呈线性关系，从而导致单元内部的位移在单元内呈线性关系，从而导致了单元内部的应力与应变为常数，而对于应力应了单元内部的应力与应变为常数，而对于应力应了单元内部的应力与应变为常数，而对于应力应了单元内部的应力与应变为常数，而对于应力应变变化非常剧烈的结构来说，如果仍然使用这种变变化非常剧烈的结构来说，如果仍然使用这种变变化非常剧烈的结构来说，如果仍然使用这种变变化非常剧烈的结构来说，如果仍然使用这种单元，就必须采用非常小的单元才能获得比较接单元，就必须采用非常小的单元才能获得比较

31、接单元，就必须采用非常小的单元才能获得比较接单元，就必须采用非常小的单元才能获得比较接近的结果。另外一种解决这个问题的方法是使用近的结果。另外一种解决这个问题的方法是使用近的结果。另外一种解决这个问题的方法是使用近的结果。另外一种解决这个问题的方法是使用高级的单元，也就是说单元内部的位移与坐标之高级的单元，也就是说单元内部的位移与坐标之高级的单元，也就是说单元内部的位移与坐标之高级的单元，也就是说单元内部的位移与坐标之间的关系不再呈线性，而呈现出二次或者三次关间的关系不再呈线性，而呈现出二次或者三次关间的关系不再呈线性，而呈现出二次或者三次关间的关系不再呈线性，而呈现出二次或者三次关系，这样在结构内部的应变与应力将随着具体的系，这样在结构内部的应变与应力将随着具体的系，这样在结构内部的应变与应力将随着具体的系，这样在结构内部的应变与应力将随着具体的坐标位置的不同而呈现出一定的变化，能够更加坐标位置的不同而呈现出一定的变化，能够更加坐标位置的不同而呈现出一定的变化，能够更加坐标位置的不同而呈现出一定的变化，能够更加反映实际的应力分布情况。反映实际的应力分布情况。反映实际的应力分布情况。反映实际的应力分布情况。