大学线代d第二章.ppt

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1、第二章第二章 n维向量维向量 2.1 n维向量及其运算维向量及其运算 一一.n维向量的概念维向量的概念 2.22.2 2.32.3 2.42.4 2.5 2.5 2.6 2.6 n 维维向向量量 本本 质质 表现形式表现形式 几何背景几何背景 n个数个数a1,a2,an 构成的有序数组构成的有序数组 向量向量/点的坐标点的坐标 列矩阵列矩阵 行矩阵行矩阵 行向量行向量 列向量列向量 分量分量 第二章第二章第二章第二章 n n维列向量维列向量维列向量维列向量 2.1 2.1 n n维向量及其运算维向量及其运算维向量及其运算维向量及其运算 与矩阵的线性运算相同与矩阵的线性运算相同 二二.n维向量的

2、线性运算维向量的线性运算 与矩阵的线性运算性质相同与矩阵的线性运算性质相同 三三.n维向量的线性运算性质维向量的线性运算性质 n维向量维向量:1,2,s 四四.线性组合和线性表示线性组合和线性表示 常数常数:k1,k2,ks 线性组合线性组合:k1 1+k2 2+ks s 2.1 2.1 n n维向量及其运算维向量及其运算维向量及其运算维向量及其运算 =k1 1+k2 2+ks s n维向量维向量:,1,2,s 若存在常数若存在常数:k1,k2,ks使得使得 则称则称 能由向量组能由向量组 1,2,s线性表示线性表示.或称或称 能由向量组能由向量组 1,2,s生成生成.第二章第二章第二章第二章

3、 n n维列向量维列向量维列向量维列向量 2.1 2.1 n n维向量及其运算维向量及其运算维向量及其运算维向量及其运算 例例1.n维基本单位向量组维基本单位向量组 1=100,2=010,n=001.,第二章第二章第二章第二章 n n维列向量维列向量维列向量维列向量 2.1 2.1 n n维向量及其运算维向量及其运算维向量及其运算维向量及其运算 任何一个任何一个n维向量维向量 =a1a2an 都能由都能由 1,2,n线性表示线性表示.=a1 100+a2 010+an 001.事实上事实上,第二章第二章第二章第二章 n n维列向量维列向量维列向量维列向量 2.1 2.1 n n维向量及其运算

4、维向量及其运算维向量及其运算维向量及其运算 例例2.A=a11 a12 a1sa21 a22 a2s an1 an2 ans=(1,2,s),=b1b2bn,x=x1x2xs,能由能由 1,2,s线性表示线性表示 方程组方程组Ax=有解有解.第二章第二章第二章第二章 n n维列向量维列向量维列向量维列向量 2.2 2.2 向量组的秩和线性相关性向量组的秩和线性相关性向量组的秩和线性相关性向量组的秩和线性相关性 2.2 向量组的秩和线性相关性向量组的秩和线性相关性 一一.基本概念基本概念 列向量列向量:1,2,s 矩阵矩阵A=(1,2,s)矩阵矩阵A的秩的秩 向量组向量组 1,2,s的的秩秩 r

5、(1,2,s)第二章第二章第二章第二章 n n维列向量维列向量维列向量维列向量 行向量行向量:1,2,s 矩阵矩阵A的秩的秩 向量组向量组 1,2,s的的秩秩 矩阵矩阵A=1 2 s r(1,2,s)2.2 2.2 向量组的秩和线性相关性向量组的秩和线性相关性向量组的秩和线性相关性向量组的秩和线性相关性 第二章第二章第二章第二章 n n维列向量维列向量维列向量维列向量 r(1,2,s)s r(1,2,s)n时时,任意任意s个个n维向量都线性相关维向量都线性相关.例例3.设设 1,2,3线性无关线性无关,1=1+2 2,2=2+2 3,3=3+2 1.证明证明:1,2,3线性无关线性无关.(3)

6、含有零向量含有零向量的向量组一定的向量组一定线性相关线性相关.2.2 2.2 向量组的秩和线性相关性向量组的秩和线性相关性向量组的秩和线性相关性向量组的秩和线性相关性 第二章第二章第二章第二章 n n维列向量维列向量维列向量维列向量 二二.向量组秩的性质向量组秩的性质 I:1,2,r II:1,2,s 若若II组中的每个向量都能由组中的每个向量都能由I组中的向量组中的向量线性表示线性表示,则称向量组则称向量组II能由向量组能由向量组I线性线性 表示表示.若向量组若向量组II能由向量组能由向量组I线性表示线性表示;同时同时 向量组向量组I能由向量组能由向量组II线性表示线性表示,则称这则称这两个

7、向量组两个向量组等价等价.给定两个向量组给定两个向量组 2.2 2.2 向量组的秩和线性相关性向量组的秩和线性相关性向量组的秩和线性相关性向量组的秩和线性相关性 第二章第二章第二章第二章 n n维列向量维列向量维列向量维列向量 例例4.设有两个向量组设有两个向量组 I:1=1,1,2=1,1,3=2,1,II:1=1,0,2=1,2.即即I可以由可以由II线性表示线性表示.则则 1=1+2,2 1 2 1 2=1 2,2 3 2 1 3=1+2,2 3 2 1 即即II可以由可以由I线性表示线性表示.1=1+2+0 3,2 1 2 1 2=1 2+0 3,2 3 2 1 故向量组故向量组I与与

8、II等价等价.2.2 2.2 向量组的秩和线性相关性向量组的秩和线性相关性向量组的秩和线性相关性向量组的秩和线性相关性 第二章第二章第二章第二章 n n维列向量维列向量维列向量维列向量 2.3 2.3 向量组线性相关性的等价刻画向量组线性相关性的等价刻画向量组线性相关性的等价刻画向量组线性相关性的等价刻画 简记为简记为简记为简记为A A :1 1,2 2,s s,C C :1 1,2 2,n n.若若若若 j j=b b1 1j j 1 1 +b b2 2j j 2 2 +b bsj sj s s ,j j=1 1,2 2,n n,即即即即 =1 1 2 2 n n 1 1 2 2 s s第二

9、章第二章第二章第二章 n n维列向量维列向量维列向量维列向量 2.3 2.3 向量组线性相关性的等价刻画向量组线性相关性的等价刻画向量组线性相关性的等价刻画向量组线性相关性的等价刻画 简记为简记为简记为简记为B B:1 1,2 2,s s,C C :1 1,2 2,mm.若若若若 i i=a ai i1 1 1 1 +a ai i2 2 2 2 +a ais is s s,i i=1 1,2 2,mm,即即即即 B B:C C:=1 1 2 2 s s 第二章第二章第二章第二章 n n维列向量维列向量维列向量维列向量 2.3 2.3 向量组线性相关性的等价刻画向量组线性相关性的等价刻画向量组线

10、性相关性的等价刻画向量组线性相关性的等价刻画 矩阵的乘积矩阵的乘积Cm n=Am s Bs n,=行向量行向量行向量行向量 i i=a ai i1 1 1 1 +a ai i2 2 2 2 +a ais is s s,i i=1 1,2 2,mm.列向量列向量列向量列向量 j j=b b1 1j j 1 1 +b b2 2j j 2 2 +b bsj sj s s ,j j=1 1,2 2,n n,向量组的线性表示向量组的线性表示向量组的线性表示向量组的线性表示:第二章第二章第二章第二章 n n维列向量维列向量维列向量维列向量 定理定理2.1.若若向量组向量组 1,2,t可由向量组可由向量组

11、1,2,s线性表示线性表示,则则r(1,2,t)r(1,2,s).推论推论2.1.若若向量组向量组 1,2,t可由向量组可由向量组 1,2,s线性表示线性表示,并且并且t s,则则向量组向量组 1,2,t是是线性相关的线性相关的.推论推论2.2.若若向量组向量组 1,2,t与向量组与向量组 1,2,s等价等价,r(1,2,t)=r(1,2,s).2.2 2.2 向量组的秩和线性相关性向量组的秩和线性相关性向量组的秩和线性相关性向量组的秩和线性相关性 第二章第二章第二章第二章 n n维列向量维列向量维列向量维列向量 推论推论2.3.若若向量组向量组 1,2,s 和和 1,2,t 都线性无关都线性

12、无关,并且这两个向量组等价并且这两个向量组等价,则则s=t.例例5.设设 1=1+2 2,2=2+2 3,3=3+2 1.证明证明:1,2,3线性无关线性无关 1,2,3线性线性 无关无关.2.2 2.2 向量组的秩和线性相关性向量组的秩和线性相关性向量组的秩和线性相关性向量组的秩和线性相关性 第二章第二章第二章第二章 n n维列向量维列向量维列向量维列向量 2.3 2.3 向量组线性相关性的等价刻画向量组线性相关性的等价刻画向量组线性相关性的等价刻画向量组线性相关性的等价刻画 2.3 向量组线性相关性的等价刻画向量组线性相关性的等价刻画 定理定理2.2.向量组向量组 1,2,s线性相关线性相

13、关 存在一组不全为零的数存在一组不全为零的数k1,k2,ks,使得使得k1 1+k2 2+ks s=0.证明证明:()1,2,s线性相关线性相关 r(A)s,其中其中A=(1,2,s)存在存在s阶可逆矩阵阶可逆矩阵P使得使得APes=0 令令(k1,k2,ks)=(Pes)T.则则(k1,k2,ks)0且且 k1 1+k2 2+ks s=0.第二章第二章第二章第二章 n n维列向量维列向量维列向量维列向量 2.3 2.3 向量组线性相关性的等价刻画向量组线性相关性的等价刻画向量组线性相关性的等价刻画向量组线性相关性的等价刻画 ()设设k1,k2,ks不全为零且不全为零且不妨设不妨设k1 0,则

14、则 k1 1+k2 2+ks s=0.根据根据推论推论2.1可知可知 1,2,s线性相关线性相关.1=k1 k2 2 k1 k3 3 k1 ks s 因而因而 1,2,s能由能由 2,s线性表示线性表示.第二章第二章第二章第二章 n n维列向量维列向量维列向量维列向量 2.3 2.3 向量组线性相关性的等价刻画向量组线性相关性的等价刻画向量组线性相关性的等价刻画向量组线性相关性的等价刻画 推论推论2.4.若若 1,2,s线性相关线性相关,反之反之,若若 1,2,s,s+1,t线性线性 无关无关,则则 1,2,s也也线性无关线性无关.则则 1,2,s,s+1,t也也线性相线性相 关关.第二章第二

15、章第二章第二章 n n维列向量维列向量维列向量维列向量 2.3 2.3 向量组线性相关性的等价刻画向量组线性相关性的等价刻画向量组线性相关性的等价刻画向量组线性相关性的等价刻画 若向量组若向量组,线性相关线性相关,其中其中 1,2,s是维数相同的列向量是维数相同的列向量,1,2,s也是维数相同的列向量也是维数相同的列向量,则则 1,2,s也是也是线性相关的线性相关的.反之反之,若若 1,2,s线性无关线性无关,则则也是也是线性无关的线性无关的.,1 1 2 2 s s 1 1 2 2 s s 第二章第二章第二章第二章 n n维列向量维列向量维列向量维列向量 2.3 2.3 向量组线性相关性的等

16、价刻画向量组线性相关性的等价刻画向量组线性相关性的等价刻画向量组线性相关性的等价刻画 推论推论2.5.1,2,s线性无关线性无关 由由k1 1+k2 2+ks s=0可推出可推出 k1=k2=ks=0.例例6.设设n维列向量维列向量 和和n n矩阵矩阵A满足满足 Ak 1 0,但但Ak =0,证明证明:向量组向量组,A,A2,Ak 1 线性无关线性无关.第二章第二章第二章第二章 n n维列向量维列向量维列向量维列向量 2.3 2.3 向量组线性相关性的等价刻画向量组线性相关性的等价刻画向量组线性相关性的等价刻画向量组线性相关性的等价刻画 定理定理2.3.向量组向量组 1,2,s线性相关线性相关

17、 1,2,s至少有一个可以由其余至少有一个可以由其余 s 1个个向量线性表示向量线性表示.定理定理2.4.若若向量组向量组 1,2,s线性无关线性无关,而而 1,2,s,线性相关线性相关,则则 一定一定 能由能由 1,2,s线性表示线性表示,并且表并且表示的方式是唯一的示的方式是唯一的.第二章第二章第二章第二章 n n维列向量维列向量维列向量维列向量 2.3 2.3 向量组线性相关性的等价刻画向量组线性相关性的等价刻画向量组线性相关性的等价刻画向量组线性相关性的等价刻画 例例7.证明证明:n个个n维列向量维列向量 1,2,n线性无线性无 关的充分必要条件是关的充分必要条件是:任何一个任何一个n

18、维列向维列向 量量 都能由都能由 1,2,n线性表示线性表示.证明证明:(充分性充分性)任何一个任何一个n维列向量维列向量 都能由都能由 1,2,n线性表示线性表示 1=100,2=010,n=001 都能由都能由 1,2,n线性表示线性表示 n=r(1,n)r(1,n)n 第二章第二章第二章第二章 n n维列向量维列向量维列向量维列向量 2.3 2.3 向量组线性相关性的等价刻画向量组线性相关性的等价刻画向量组线性相关性的等价刻画向量组线性相关性的等价刻画 证明证明:(必要性必要性)由于由于n+1个个n维列向量总是线维列向量总是线 性相关的性相关的,所以所以 1,2,n,线性相线性相 关关.

19、又因为又因为 1,2,n线性无关线性无关,根据定理根据定理 2.4可知可知 都能由都能由 1,2,n线性表示线性表示.第二章第二章第二章第二章 n n维列向量维列向量维列向量维列向量 例例7.证明证明:n个个n维列向量维列向量 1,2,n线性无线性无 关的充分必要条件是关的充分必要条件是:任何一个任何一个n维列向维列向 量量 都能由都能由 1,2,n线性表示线性表示.2.4 2.4 向量组的极大线性无关组向量组的极大线性无关组向量组的极大线性无关组向量组的极大线性无关组 第二章第二章第二章第二章 n n维列向量维列向量维列向量维列向量 2.4 向量组的极大线性无关组向量组的极大线性无关组 一一

20、.定义定义 如果向量组如果向量组 1,2,s的部分组的部分组 满足以下列条件满足以下列条件:,i i1 1 ,i i2 2 i ir r 线性无关线性无关;,i i1 1 (1),i i2 2 i ir r (2)1,2,s中任一向量都可由中任一向量都可由线性表示线性表示,i i1 1 ,i i2 2 i ir r 极大极大(线性线性)无关组无关组.为为 1,2,s的一个的一个,i i1 1 则称则称 ,i i2 2 i ir r 2.4 2.4 向量组的极大线性无关组向量组的极大线性无关组向量组的极大线性无关组向量组的极大线性无关组 第二章第二章第二章第二章 n n维列向量维列向量维列向量维

21、列向量 二二.有关结论有关结论 定理定理2.5.秩为秩为r的的向量组向量组 1,2,s一定有由一定有由 r个个向量构成的极大无关组向量构成的极大无关组.命题命题2.1.秩为秩为r的的向量组中向量组中任何任何r个线性个线性无无关的关的 向量都构成它向量都构成它的一个极大无关组的一个极大无关组.2.4 2.4 向量组的极大线性无关组向量组的极大线性无关组向量组的极大线性无关组向量组的极大线性无关组 第二章第二章第二章第二章 n n维列向量维列向量维列向量维列向量 定理定理2.6.一个一个向量组向量组的任何两个的任何两个极大无关组极大无关组 都是等价的都是等价的,因而因而任意两个任意两个极大无关极大

22、无关组所含向量的组所含向量的个个数都相同数都相同,且等于这且等于这 个向量组的秩个向量组的秩.命题命题2.2.一个一个向量组与它向量组与它的任何一个的任何一个极大无极大无 关组关组都是等价的都是等价的.2.4 2.4 向量组的极大线性无关组向量组的极大线性无关组向量组的极大线性无关组向量组的极大线性无关组 第二章第二章第二章第二章 n n维列向量维列向量维列向量维列向量 三三.计算计算 理论依据理论依据:(1)命题命题2.1(2)定理定理1.11(初等变换不改变矩阵的秩初等变换不改变矩阵的秩).例例8.已知向量组已知向量组 1,2,3线性无关线性无关,求求 1 2,2 3,3 1,的一个极大无

23、关组的一个极大无关组.2.4 2.4 向量组的极大线性无关组向量组的极大线性无关组向量组的极大线性无关组向量组的极大线性无关组 第二章第二章第二章第二章 n n维列向量维列向量维列向量维列向量 例例9.设设A=3 2 0 5 03 2 3 6 12 0 1 5 31 6 4 1 4,求求A的列向量组的列向量组 的一个极大无关组的一个极大无关组.1 1 6 6 4 4 1 1 4 40 0 4 4 3 3 1 1 1 10 0 0 0 0 0 4 4 1 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0解解:A A=3 2 0 5 03 2 0 5 03 3 2 3 6 2 3 6 1 12 0 1 5

24、 2 0 1 5 3 31 6 1 6 4 4 1 41 4初等初等初等初等行行行行变换变换变换变换可见可见A的第的第1,2,4列构成列构成A的列向量组的一的列向量组的一个极大无关组个极大无关组.2.5 2.5 向量空间向量空间向量空间向量空间 第二章第二章第二章第二章 n n维列向量维列向量维列向量维列向量 2.5 向量空间向量空间 一一.向量空间向量空间的概念的概念 1.n维实维实(列列)向量的全体向量的全体 Rn=(x1,x2,xn)T|x1,x2,xn R 关于向量关于向量(即列矩阵即列矩阵)的加法和数乘运算的加法和数乘运算 满足如下满足如下8条基本性质条基本性质:关于加法关于加法关于

25、加法关于加法:(1):(1)交换律交换律交换律交换律;(2);(2)结合律结合律结合律结合律;(3);(3)0;(4)0;(4)关于数乘关于数乘关于数乘关于数乘:(5)1:(5)1 =;(6);(6)k k(l l )=)=(klkl);(7)(7)(k k+l l)=k k +l l ;(8)(8)k k(+)=)=k k +k k .第二章第二章第二章第二章 n n维列向量维列向量维列向量维列向量 2.5 2.5 向量空间向量空间向量空间向量空间 2.设设V是是Rn的非空子集的非空子集,且对向量的加法及数且对向量的加法及数 乘封闭乘封闭,即即 仅含有零向量仅含有零向量0的集合的集合0关于向

26、量的线性运关于向量的线性运算也构成一个向量空间算也构成一个向量空间,我们称之为我们称之为零空间零空间.Rn和和0称为称为Rn的的平凡子空间平凡子空间.则称则称V是是Rn的一个的一个子空间子空间,或直接称为一个或直接称为一个(实实)向量空间向量空间.,V,k R,有有+V,k V,第二章第二章第二章第二章 n n维列向量维列向量维列向量维列向量 2.5 2.5 向量空间向量空间向量空间向量空间 例例10.检验下列集合是否构成向量空间检验下列集合是否构成向量空间.(1)V=(x,y,0)|x,y R;(2)V=(x,y,z)|x,y,z R,x+y z=0;(3)A Rm n,b Rm,b 0,K

27、A=Rn|A =0;SB=Rn|A =b.第二章第二章第二章第二章 n n维列向量维列向量维列向量维列向量 2.5 2.5 向量空间向量空间向量空间向量空间 (4)1,2,s Rn,L(1,2,s)=|诸诸ki R.s s ki i i i=1=1 称为称为由由 1,2,s生成的向量空间生成的向量空间,1,2,s称为称为生成元生成元.第二章第二章第二章第二章 n n维列向量维列向量维列向量维列向量 2.5 2.5 向量空间向量空间向量空间向量空间 二二.向量空间向量空间的的基与维数基与维数 设设V是一个向量空间是一个向量空间,1,2,r是是V中一中一 线性无关向量组线性无关向量组,并且并且V中

28、任一向量都能由中任一向量都能由 1,2,r 线性表示线性表示,则称则称(有序有序)向量组向量组 1,2,r 是向量空间是向量空间V的一组的一组基基.r称为称为V的的维数维数.记为维记为维(V)或或dim(V).n维基本单位向量组就是维基本单位向量组就是Rn的一组基的一组基,dimRn=n;例例11.求求例例10中的各向量空间的基与维数中的各向量空间的基与维数.零空间没有基零空间没有基,规定规定dim0=0.第二章第二章第二章第二章 n n维列向量维列向量维列向量维列向量 2.5 2.5 向量空间向量空间向量空间向量空间 定理定理2.7.向量组向量组 1,2,s的任一极大无关的任一极大无关 组都

29、是组都是L(1,2,s)的一组基的一组基,故故 dimL(1,s)=r(1,s).特别地特别地,设矩阵设矩阵A Rn s,A1,A2,As依次为依次为A s个列向量个列向量.则称则称L(A1,A2,As)为为矩阵矩阵A的列的列空间空间.dim(L(A1,A2,As)=秩秩(A).求求L(A1,A2,A3,A4)的一组基和维数的一组基和维数.例例12.设设A=A1,A2,A3,A4=1 0 1 2 1 0 1 1 1 1 1 1,第二章第二章第二章第二章 n n维列向量维列向量维列向量维列向量 2.5 2.5 向量空间向量空间向量空间向量空间 1 0 1 2 1 0 1 1 1 1 1 1 解解

30、:初等初等 行行变换变换 可见可见dim L(A1,A2,A3,A4)=2,A1,A2是是L(A1,A2,A3,A4)的一组基的一组基.注注:此外此外A1,A3也也是是L(A1,A2,A3,A4)的一组基的一组基.还有还有A1,A4.1 0 0 2 1 0 1 1 0 1 1 0 事实上事实上,对于这个例子对于这个例子,除了除了A3,A4以外以外,A1,A2,A3,A4中任意两个向量都构成中任意两个向量都构成L(A1,A2,A3,A4)的一组基的一组基.第二章第二章第二章第二章 n n维列向量维列向量维列向量维列向量 2.5 2.5 向量空间向量空间向量空间向量空间 三三.向量在向量在基下基下

31、的的坐标坐标 设设V是一个向量空间是一个向量空间,1,2,r是是V 的的 一组一组基基.由定义由定义,对对 V,唯一唯一的一组有序实数的一组有序实数 k1,k2,kr使得使得 =k1 1+k2 2+kr r.我们把我们把r维向量维向量k1,k2,krT 称为称为 在在 1,2,r 这组基下的这组基下的坐标坐标.第二章第二章第二章第二章 n n维列向量维列向量维列向量维列向量 2.5 2.5 向量空间向量空间向量空间向量空间 四四.基变换与坐标变换基变换与坐标变换 设设 1,2,r和和 1,2,r是是V 的两组基的两组基,则存在则存在r r矩阵矩阵P使使(1,2,r)=(1,2,r)P.称称P为

32、为从基从基 1,2,r到到 1,2,r的过的过 渡矩阵渡矩阵.由由r=r(1,2,r)r(P)r可得可得r(P)=r.故故|P|0,即即P可逆可逆.第二章第二章第二章第二章 n n维列向量维列向量维列向量维列向量 2.5 2.5 向量空间向量空间向量空间向量空间 定理定理2.8.设设 1,2,r和和 1,2,r是是V 的的 两组基两组基,V 在这两组基下的坐标在这两组基下的坐标 分别为分别为x,y,则则证明证明:=(1,2,r)x=(1,2,r)y =(1,2,r)Py x=Py,y=P 1x.(1,2,r)(x Py)=0.又因为又因为 1,2,r线性无关线性无关,所以所以x Py=0,即即

33、x=Py,进而进而y=P 1x.第二章第二章第二章第二章 n n维列向量维列向量维列向量维列向量 2.6 2.6 内积与正交矩阵内积与正交矩阵内积与正交矩阵内积与正交矩阵 2.6 内积与正交矩阵内积与正交矩阵 一一.Rn中向量的内积中向量的内积,长度和夹角长度和夹角 1.设 =(a1,a2,an)T,=(b1,b2,bn)T,记为记为,即即 则称实数则称实数 aibi 为向量为向量 与与 的的内积内积,n n i i=1 =1 ,=aibi=T.n n i i=1 =1 第二章第二章第二章第二章 n n维列向量维列向量维列向量维列向量 2.6 2.6 内积与正交矩阵内积与正交矩阵内积与正交矩阵

34、内积与正交矩阵 2.内积的基本性质内积的基本性质(1)对称性对称性对称性对称性:,=,;(2)(2)线性性线性性线性性线性性:k k1 1 1 1+k k2 2 2 2,=k k1 1 1 1,+k k2 2 2 2,;(3)(3),0;0;且且且且 ,=0 =0 =0.0.(4)|(4)|,|,.考察考察y=,x2+2,x+,.n n=(xai+bi)2 0 i i=1=1 =(2,)2 4,0 ,2 ,.第二章第二章第二章第二章 n n维列向量维列向量维列向量维列向量 2.6 2.6 内积与正交矩阵内积与正交矩阵内积与正交矩阵内积与正交矩阵 3.对于对于n维实向量维实向量,称称 ,为为 的

35、的长度长度或或 模模,记为记为|,即即 4.长度的基本性质长度的基本性质(1)正定性正定性:|0;且且|=0 =;(2)齐次性齐次性:|k|=|k|(k R);(3)三角不等式三角不等式:|+|+|.,|=ai2 n n i i=1 =1 第二章第二章第二章第二章 n n维列向量维列向量维列向量维列向量 2.6 2.6 内积与正交矩阵内积与正交矩阵内积与正交矩阵内积与正交矩阵 5.长度为长度为1的向量称为的向量称为单位向量单位向量.对于非零向量对于非零向量,|1 是一个单位向量是一个单位向量.用用|1乘乘 称为把称为把 单位化单位化或或标准化标准化.6.设设,Rn,若若 0,0,则定义则定义,

36、的的若若,=0,即即 =/2,则称则称 与与 正交正交.夹角夹角为为 =arccos,|,0 第二章第二章第二章第二章 n n维列向量维列向量维列向量维列向量 2.6 2.6 内积与正交矩阵内积与正交矩阵内积与正交矩阵内积与正交矩阵 例例13.设设,Rn,且且 与与 线性无关线性无关,求常数求常数k 使使 +k 与与 正交正交.|=|cos=,|=|,|=|=,|,.=第二章第二章第二章第二章 n n维列向量维列向量维列向量维列向量 2.6 2.6 内积与正交矩阵内积与正交矩阵内积与正交矩阵内积与正交矩阵 二二.正交向量组和正交向量组和Schmidt正交化方法正交化方法 1.一组两两正交的向量

37、组称为一组两两正交的向量组称为正交向量组正交向量组.由单位向量组成的正交向量组称为由单位向量组成的正交向量组称为标准标准 正交向量组正交向量组.向量空间的一组基如果是正交向量组向量空间的一组基如果是正交向量组,就就 称之为称之为正交基正交基;如果是标准正交向量组如果是标准正交向量组,就称之为就称之为标准正交基标准正交基.定理定理2.9.设设 1,2,s是正交向量组是正交向量组,则则 1,2,s线性无关线性无关.第二章第二章第二章第二章 n n维列向量维列向量维列向量维列向量 2.6 2.6 内积与正交矩阵内积与正交矩阵内积与正交矩阵内积与正交矩阵 命题命题2.3.设设 1,2,s是标准正交向量

38、组是标准正交向量组,且且 =k1 1+k2 2+ks s,则则ki=,i,i=1,2,s.2.施密特施密特(Schmidt)方法方法 命题命题2.4.设设 1,2,s线性无关线性无关(s 2),则存在则存在 一个正交向量组一个正交向量组 1,2,s使得使得 1,2,t与与 1,2,t等价等价 (1 t s).第二章第二章第二章第二章 n n维列向量维列向量维列向量维列向量 2.6 2.6 内积与正交矩阵内积与正交矩阵内积与正交矩阵内积与正交矩阵 1=1,正交化正交化过程如下过程如下:2=2 2,1 1,1 1,s=s s,1 1,1 1 s,s 1 s 1,s 1 s 1再将再将 1,2,s单

39、位化得单位化得:1=1|1|,2=2|2|,s=s|s|.第二章第二章第二章第二章 n n维列向量维列向量维列向量维列向量 2.6 2.6 内积与正交矩阵内积与正交矩阵内积与正交矩阵内积与正交矩阵 三三.正交矩阵正交矩阵 1.满足足QTQ=E(即即Q 1=QT)的的实方方阵Q称称 为为正交矩阵正交矩阵,简称为简称为正交阵正交阵.定理定理2.10.设设Q为为n阶阶实方阵实方阵,则下列条件等价则下列条件等价:推论推论.(1)Q为正交阵为正交阵|Q|=1,Q 1也是也是正交阵正交阵;(2)Q的的列向量组构成列向量组构成Rn的一组标准的一组标准 正交基正交基;(1)Q是是正交矩阵正交矩阵;(3)QT是是正交矩阵正交矩阵.(2)A,B为正交阵为正交阵 AB为正交阵为正交阵.