积分变换第4讲卷积定理与相关函数.ppt

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1、积分变换积分变换第第4讲讲1卷积卷积定理与定理与相关相关函数函数2卷积的概念卷积的概念若已知函数f1(t),f2(t),则积分称为函数f1(t)与f2(t)的卷积,记为f1(t)*f2(t)3卷积的图示f1(t)f2(t)tOf2(t)OttOtf2(tt)4在积分中,令u=tt,则t=tu,du=dt,则即卷积满足交换律卷积满足交换律.5下证卷积满足结合律,即f1(t)*f2(t)*f3(t)=f1(t)*f2(t)*f3(t)则为此,令6交换二重积分的次序,得令v=tu,则u=tv,7例1 证明卷积满足分配率卷积满足分配率：f1(t)*f2(t)+f3(t)=f1(t)*f2(t)+f1(

2、t)*f3(t)证:根据卷积的定义8任给函数f(t),都有f(t)*d(t)=f(t),这是因为因此,单位脉冲函数d(t)在卷积运算中起着类似数的运算中的1的作用.另外,9例2 若求f1(t)*f2(t)f1(t)1OttOf2(tt)1t10由卷积的定义有tO1et111【卷积定理】假定f1(t),f2(t)都满足傅氏积分定理中的条件,如 f1(t)F1(w)f2(t)F2(w)则 f1(t)*f2(t)F1(w)F2(w)以及*以以2f来代替来代替w w来表示的傅立叶变换有：来表示的傅立叶变换有：12证 按傅氏变换的定义,有13【相关函数】对两个不同的实函数f1(t)和f2(t),则积分称

3、为两个函数的互相关函数,记为R12(t),即14当f1(t)=f2(t)=f(t)时,积分称为f(t)的自相关函数(简称相关函数).用记号R(t)表示,即15根据R(t)的定义,自相关函数是一个偶函数,R(t)=R(t)事实上,令t=u+t,可得关于互相关函数,有如下的性质:R21(t)=R12(t)16前面已经证明过，当f1,f2为实函数时：令f1(t)=f(t),f2(t)=f(t+t),设f(t)F(w),则S(w):能量谱密度17假设f1(t)F1(w),f2(t)F2(w),称S12(w)=F1(w)F2(w)为互能量谱密度.则即R12(t)S12(w),且易证S21(w)=S12(

4、w)18例3 求指数衰减函数的自相关函数和能量谱密度tOf(t)1tOf(t+t)1tOf(t+t)1tt19当t0时,积分区间为0,+)当t0时,积分区间为t,+)20因此,当t时,自相关函数可合写为并求得能量谱密度为21例4 利用傅氏变换的性质,求d(tt0),22例5 若f(t)=cosw0t u(t),求F f(t)23例6 若F(w)=F f(t),证明24END25奈奎斯特采样率26假设时间函数f(t)在区间a,a之外全为零,并假设f(t)F(w)tOf(t)aaOwF(w)27现将f(t)进行周期化,产生fT(t),T=2a,然后用傅氏级数表示.tOfT(t)aa28tOfT(t)aaOwFT(w)w1w2.29根据对称原理有FT(t)2pfT(w)OtFT(t)i1t2.wOfT(-w)aa30假设时间函数f(t)的频谱函数F(w)在2pB,2pB之外为0.B称为f(t)的带宽.wOF(w)2pB2pBOtf(t)31现对f(t)进行间隔为Dt的采样得g(t)32如图所示:Oti1t2.wOG(w)Dw/2g(t)-Dw/23334作业 习题 35请提问36