第六章《概率论与数理统计教程》课件.ppt

《第六章《概率论与数理统计教程》课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第六章《概率论与数理统计教程》课件.ppt（37页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、第六章第六章 参数估计参数估计概率论与数理统计教程概率论与数理统计教程 （第四版）（第四版）高等教育出版社高等教育出版社 沈恒范沈恒范 著著大大 纲纲 要要 求求一、理解点估计的概念一、理解点估计的概念.二、了解估计量的评选标准（无偏性、有效性、一致性）二、了解估计量的评选标准（无偏性、有效性、一致性）三、掌握矩估计法和极大似然估计法三、掌握矩估计法和极大似然估计法.四、理解区间估计的概念四、理解区间估计的概念.五、会求单个正态总体的均值和方差的置信区间五、会求单个正态总体的均值和方差的置信区间.六、了解两个正态总体的均值差和方差比的置信区间六、了解两个正态总体的均值差和方差比的置信区间.学学

2、 习习 内内 容容66.1 参数的点估计参数的点估计 6.2 衡量点估计量好坏的标准衡量点估计量好坏的标准6.3 正态总体参数的区间估计正态总体参数的区间估计 6.4 两个正态总体均值差与方差比两个正态总体均值差与方差比 的区间估计的区间估计 XP(),XE(),XN(,2)用所获得的样本值去估计参数取值称为用所获得的样本值去估计参数取值称为参数估计参数估计.点估计点估计区间估计区间估计在要求的精度范围内在要求的精度范围内指出参数所在的区间指出参数所在的区间6.1 参数的点估计参数的点估计参参数数估估计计用某一数值作为用某一数值作为参数的近似值参数的近似值 1.点估计点估计 定义定义 设总体设

3、总体X X分布函数为分布函数为F(x;F(x;1 1,2 2,m m),i i为未知为未知 参数参数(i=1,2,m),i=1,2,m),X X1 1,X,X2 2,X Xn n 为来自该总体的为来自该总体的s.r.s,s.r.s,若以若以 统计量统计量 =i i(x(x1 1,x,x2 2,x xn n)作为作为i i的近似值的近似值,则称则称 为为i i 的估计值的估计值(抽样后抽样后),),也称也称 为为i i的估计量的估计量(抽样前抽样前).).由于近似由于近似 值值(实数实数)与实数轴的点一一对应与实数轴的点一一对应,姑且又称姑且又称 为为i i的点估计的点估计 量（或值量（或值).

4、).X分布为分布为F(x;)待估待估选择统计量选择统计量估计量估计量带入样本值带入样本值估计值估计值即即:2.点估计的方法点估计的方法一、一、矩估计法矩估计法将总体的各阶原点矩用相应阶的样本原点将总体的各阶原点矩用相应阶的样本原点矩替代，布列方程组或方程，所得到的解，矩替代，布列方程组或方程，所得到的解，作为总体未知参数的点估计值。作为总体未知参数的点估计值。例例1 1 设总体设总体X X在区间在区间00，上服从均匀分布，其中上服从均匀分布，其中 0 0 是未知参数是未知参数,如果取得样本观测值为如果取得样本观测值为 求求 的矩估计值的矩估计值解：解：因为总体因为总体X的概率密度的概率密度总体

5、总体X的一阶原点矩的一阶原点矩 ，样本一阶原点矩样本一阶原点矩由矩估计值方法得由矩估计值方法得所以得到所以得到 的矩估计量的矩估计量而而 的矩估计值就是的矩估计值就是解：解：因为总体因为总体X的分布中有两个未知参数，所以应考虑一、二阶原的分布中有两个未知参数，所以应考虑一、二阶原点矩，我们有点矩，我们有 由矩估计值方法得由矩估计值方法得 所以得到矩估计量所以得到矩估计量而矩估计值是而矩估计值是例例2 2 设总体设总体 ,其中其中 及及 都是未知参数，如都是未知参数，如果取得样本观测值为果取得样本观测值为 求求 及及 的矩估计值。的矩估计值。（1）基本思想）基本思想 甲乙两人比较射击技术，分别射

6、击目标一次，甲中而乙未中，可甲乙两人比较射击技术，分别射击目标一次，甲中而乙未中，可 以认为：甲射击技术优于乙射击技术。以认为：甲射击技术优于乙射击技术。事件事件A发生的概率为发生的概率为0.1或或0.9，观察一次，事件，观察一次，事件A发生了，可以认发生了，可以认 为：事件为：事件A发生的概率为发生的概率为0.9。实际问题实际问题(医生看病、公安人员破案、技术人员进行质量医生看病、公安人员破案、技术人员进行质量检验等检验等)尽管千差万别尽管千差万别,但他们具有一个共同的规律但他们具有一个共同的规律,即在即在获得了观察资料之后获得了观察资料之后,给参数选取一个数值给参数选取一个数值,使得前面的

7、观使得前面的观察结果出现的可能性最大察结果出现的可能性最大.二、二、最大似然估计法最大似然估计法（2）似然函数似然函数v 设总体设总体X X为连续型为连续型,X Xf(x;f(x;1 1,2 2,m m),),i i为待为待估参数估参数(i=1,2,m),Xi=1,2,m),X1 1,X,X2 2,X Xn n为来自该总体的为来自该总体的s.r.s,s.r.s,则（则（X X1 1,X,X2 2,X Xn n）的联合密度函数为的联合密度函数为 如果如果v 设总体设总体X X为离散型为离散型,P(X=x)=P(x;P(X=x)=P(x;1 1,m m),),i i为待估参为待估参数数(i=1,2

8、,m),Xi=1,2,m),X1 1,X,X2 2,X Xn n为来自该总体的为来自该总体的s.r.s,s.r.s,则则P(P(X Xi i=x xi i)=P()=P(x xi i;1 1,2 2,m m),(i=1,2,m),(i=1,2,m)（X X1 1,X,X2 2,X Xn n）的似然函数为的似然函数为如如 XP(),即即 样本观察值出现可能性的大小跟似然函数在样本观察值出现可能性的大小跟似然函数在该样本值处的函数值有关该样本值处的函数值有关,L L越大越大,样本观察值样本观察值越可能出现越可能出现.若似然函数若似然函数 在在取到最大值取到最大值,则称则称 分别为分别为 的的最大似

9、然估计最大似然估计.（3）方法与步骤）方法与步骤设总体的分布密度设总体的分布密度(或概率密度或概率密度)其中其中 是待估参数是待估参数.（1 1）写出似然函数）写出似然函数(即样本的联合密度函数即样本的联合密度函数)（2 2）写出对数似然函数）写出对数似然函数(对似然函数求导对似然函数求导)（3 3）写出似然方程）写出似然方程（4 4）求解似然方程并写出估计量）求解似然方程并写出估计量(只有一个待估参数时求只有一个待估参数时求 )例例 3 求参数为求参数为p的的0-1分布的最大似然估计分布的最大似然估计.P(X=0)=1-pP(X=1)=pP(X=x)=px(1-p)1-x (x=0,1)解得

10、解得最大似然估计为最大似然估计为例例4.XN(,2),求参数求参数,2的最大似然估计的最大似然估计.解解:例例5.设设X服从服从0,区间上的均匀分布区间上的均匀分布,参数参数0,求求的最大似然估计的最大似然估计.解解:由题意得由题意得:无解无解.考虑考虑L的取值的取值,要使要使L取值最大取值最大,应最小应最小,取取此时此时,L取值最大取值最大,所以所以,所求最大似然估计为所求最大似然估计为应用最大似然估计基本思想应用最大似然估计基本思想:L越大越大,样本观察值越可能出现样本观察值越可能出现.6.2 衡量点估计量好坏的标准衡量点估计量好坏的标准 设设 为为的一个点估计的一个点估计,若若 则称则称

11、 为为的一个的一个无偏估计无偏估计.容易明白容易明白,对同一个未知参数对同一个未知参数,采用不同的采用不同的方法找到的点估计可能不同方法找到的点估计可能不同,那么那么,自然要问自然要问:究竟是用哪一个更究竟是用哪一个更“好好”些呢些呢?这里介绍三个这里介绍三个评价标准评价标准.标准一标准一:注意:无偏估计不是唯一存在无偏估计不是唯一存在.设总体设总体X X的均值和方差分别为：的均值和方差分别为：则则（1 1）样本均值样本均值 是总体均值是总体均值 的无偏估的无偏估计量；计量；（2 2）样本方差）样本方差 是总体方差是总体方差 的的无偏估计量。无偏估计量。两个重要结论两个重要结论是来自是来自X的

12、的s.r.s,试证试证:为为 的无偏估计的无偏估计,且且 比比 更有效更有效.例例1 设总体设总体X X 的方差存在的方差存在标准二标准二:有效性有效性(方差最小性方差最小性)设设 和和 是是 的两个无偏估计的两个无偏估计,若若 ，则称，则称 比比 更更有效有效标准三标准三:一致性一致性 设统计量设统计量 是未知参数是未知参数 的点估计量，样本的点估计量，样本 容量为容量为 n，若对任意若对任意 则称则称 为为 的一致估计的一致估计.两个重要结论两个重要结论（1 1）设总体）设总体X X的均值的均值 ，方差，方差则样本均值则样本均值 是总体均值是总体均值 的一致估计的一致估计量。量。（2 2）

13、样本方差）样本方差 是总体方差是总体方差 的一致估计量。的一致估计量。点估计有使用方便、直观等优点点估计有使用方便、直观等优点,但它但它并没有提供关于估计精度的任何信息并没有提供关于估计精度的任何信息,为此为此提出了未知参数的区间估计法提出了未知参数的区间估计法.如如:对明年小麦的亩产量作出估计为对明年小麦的亩产量作出估计为:若设若设X表示明年亩产量表示明年亩产量,则估计结果为则估计结果为P(800X1000)=80%明年小麦亩产量八成为明年小麦亩产量八成为800-1000斤斤.6.36.3 正态总体参数的区间估计正态总体参数的区间估计区间估计区间估计1.区间估计的定义区间估计的定义设总体分布

14、中含有未知参数设总体分布中含有未知参数 ,根据来自该总体的根据来自该总体的s.r.s,s.r.s,如果能够找到两个统计量如果能够找到两个统计量 ,使得随机区间使得随机区间 包含包含 达到一定的把握达到一定的把握,那么那么,便称该随机区间为未知参便称该随机区间为未知参数的数的区间估计区间估计.即即 当当 成立时成立时,称概率称概率 为为置信度或置信水平置信度或置信水平;称区间称区间 是是 的置信度为的置信度为 的的置信区间置信区间;分别称为分别称为置信下限置信下限和和置信上限置信上限.注意注意:点估计给出的是未知参数的一个近似值点估计给出的是未知参数的一个近似值;区间区间估计给出的是未知参数的一

15、个近似范围估计给出的是未知参数的一个近似范围,并且知道并且知道这个范围包含未知参数值的可靠程度这个范围包含未知参数值的可靠程度.说法说法1:以概率以概率 包含包含 ;说法说法2:以概率以概率 落入落入 ;说法说法3:不包含不包含 的概率为的概率为 ;说法说法4:以以 的概的概率落在率落在 之外之外;例例1 总体分布中未知参数总体分布中未知参数 的的 置信区间置信区间 ,则在下列说法中则在下列说法中,正确的说法有正确的说法有()个个2 3 4 1例例 2.设总体设总体XN(,2),其中其中 2已知已知,X1,X2,Xn为为X 的的 一个样本一个样本,求一个区间求一个区间,使之以使之以1-的的 概

16、率概率 包含包含的真值的真值.解解:(1)选择包含选择包含的分布已知函数的分布已知函数:(2)构造构造Z的的 一个一个1-区间区间:不妨设不妨设即即(3)变形得到变形得到的的1-置信区间置信区间:所求所求1-置信区间为置信区间为P(|Z|)=1-/2/2X(x)1-=z/2-P(|Z|)=1-置信区间不是唯一的.对于同一个置信度,可以有不同的置信区间.置信度相同时,当然置信区间越短越好.一般来说,置信区间取成对称区间.注意注意:2.求置信区间的方法与步骤求置信区间的方法与步骤:第一步第一步 构造一个含未知参数的分布构造一个含未知参数的分布已知的随机变量已知的随机变量(样本的函数样本的函数)Z,

17、Z中除待中除待估参数外不含其它任何未知参数估参数外不含其它任何未知参数,一般是一般是从未知参数的点估计着手从未知参数的点估计着手,再进行再进行加工加工来构造来构造;第二步第二步 对给定的置信度对给定的置信度 ,根据根据Z的的分布定出满足分布定出满足 的的a,b(叫叫分位数分位数或临界点或临界点);第三步第三步 利用不等式变形利用不等式变形,求出未知参求出未知参数的数的 置信区间置信区间.3.3.单个正态总体均值和方差的区间估计单个正态总体均值和方差的区间估计:(1)选择包含选择包含的分布已知函数的分布已知函数:(2)构造构造Z的的 一个一个1-区间区间:(3)变形得到变形得到的的1-置信区间置

18、信区间:设总体设总体XN(,2),X1,X2,Xn 为一组样本，为一组样本，1）2已知已知,求求的置信度为的置信度为1-置信区间：置信区间：例例 3.设总体设总体XN(,0.92),X1,X2,X 9为来自总体的简单随为来自总体的简单随机样本，样本均值为机样本，样本均值为5，求，求的置信度为的置信度为95%的置信区间。的置信区间。解解:由题意得由题意得:这是方差已知的总体均值的区间估计，结果为这是方差已知的总体均值的区间估计，结果为其中其中n=9z0.025=1.96,代入得代入得4.412,5.588,所求置信区间为所求置信区间为(4.412，5.588)设总体设总体XN(,2),X1,X2

19、,Xn 为一组样本，为一组样本，2）2未知未知,求求的置信度为的置信度为1-置信区间：置信区间：(1)选择包含选择包含的分布已知函数的分布已知函数:(2)构造构造T的的 一个一个1-区间区间:(3)变形得到变形得到的的1-置信区间置信区间:Xf(x)/2/21-设总体设总体XN(,2),X1,X2,Xn 为一组样本，为一组样本，3）求）求2置信度为置信度为1-的置信区间：的置信区间：总体均值总体均值 已知，已知，由定理由定理3知，样本函数知，样本函数 选取选取 ，使得，使得 所以所以即：即：的置信水平为的置信水平为 的置信区间为：的置信区间为：Xf(x)(a)选择包含选择包含2的分布已知函数的

20、分布已知函数:(c)变形得到变形得到2的的1-置信区间置信区间:/2/21-121-/2(b)构造构造 的的 一个一个1-区间区间:总体均值总体均值 未知，则未知，则 的置信区间的置信区间6 6.4 两个正态总体均值差两个正态总体均值差 与方差比的区间估计与方差比的区间估计1.1.两个正态总体均值差的区间估计两个正态总体均值差的区间估计:设原总体设原总体XN(1,12),改变后的总体改变后的总体Y N(2,22),X,Y相互独相互独立立,从中分别抽取容量为从中分别抽取容量为n1,n2的样本的样本,样本均值和样本方差分样本均值和样本方差分别记为别记为1)12,22已知已知,1-2的的1-置信区间

21、置信区间:(1)选择包含选择包含1-2的分布已知函数的分布已知函数:(2)构造构造Z的的 一个一个1-区间区间:(3)变形得到变形得到1-2的的1-置信区间置信区间:2)12=22=2,2未知未知,1-2的的1-置信区间置信区间:(1)选择包含选择包含1-2的分布已知函数的分布已知函数:(2)构造构造T的的 一个一个1-区间区间:(3)变形得到变形得到1-2的的1-置信区间置信区间:2.两个正态总体方差比两个正态总体方差比 12/22的的1-置信区间置信区间:(1)选择包含选择包含12/22 的分布已知函数的分布已知函数:(2)构造构造F的的 一个一个1-区间区间:(3)变形得到变形得到12/

22、22 的的1-置信区间置信区间:Xf(x)/2/212P(1F 2)=1-(1)(2)(1)选择包含选择包含12/22 的分布已知函数的分布已知函数:(2)构造构造F的的 一个一个1-区间区间:(3)变形得到变形得到12/22 的的1-置信区间置信区间:Xf(x)/2/212P(1F 2)=1-实际操作起来实际操作起来,依据样本依据样本,按照第三步按照第三步求求出的出的 置置信区间信区间,查查出分位数出分位数,算算得上下限得上下限,最后最后写写出数值区出数值区间间单正态总体参单正态总体参数的区间估计数的区间估计双正态总体双正态总体区间估计区间估计小结小结:期望的区间估计期望的区间估计方差的区间

23、估计方差的区间估计2已知已知2未知未知ZT均值差的区间估计均值差的区间估计方差比的区间估计方差比的区间估计两个方差都已知两个方差都已知两个方差未知但相等两个方差未知但相等ZTF一、理解点估计的概念一、理解点估计的概念.二、了解估计量的评选标准（无偏性、有效性、一致性）二、了解估计量的评选标准（无偏性、有效性、一致性）三、掌握矩估计法和极大似然估计法三、掌握矩估计法和极大似然估计法.四、理解区间估计的概念四、理解区间估计的概念.五、会求单个正态总体的均值和方差的置信区间五、会求单个正态总体的均值和方差的置信区间.六、了解两个正态总体的均值差和方差比的置信区间六、了解两个正态总体的均值差和方差比的置信区间.本本 章章 小小 结结