第七章 刚体的平面运动.ppt

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1、理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动第一节第一节 刚体平面运动的概述和运动分解刚体平面运动的概述和运动分解第二节第二节 平面图形内各点速度的求解平面图形内各点速度的求解第三节第三节 平面图形内各点加速度的求解平面图形内各点加速度的求解第四节第四节 运动学综合应用运动学综合应用理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动 前面讨论了平移与定轴转动这两种刚体的基本运动，然前面讨论了平移与定轴转动这两种刚体的基本运动，然而工程中除了这两种简单的运动外，而工程中除了这两种简单的运动外，刚体

2、的平面运动也是刚体的平面运动也是工程上常见的一种运动，这是一种较为复杂的运动。可以在工程上常见的一种运动，这是一种较为复杂的运动。可以在研究刚体的平移和定轴转动的基础上，通过运动合成和分解研究刚体的平移和定轴转动的基础上，通过运动合成和分解的方法，将平面运动分解为上述两种基本运动。的方法，将平面运动分解为上述两种基本运动。本章将分析刚体平面运动的分解，本章将分析刚体平面运动的分解，应用合成运动的理应用合成运动的理论，分析平面运动刚体的角速度、角加速度以及平面运动刚论，分析平面运动刚体的角速度、角加速度以及平面运动刚体上点的速度和加速度。体上点的速度和加速度。理论力学电子教程理论力学电子教程 第

3、七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动 在运动过程中，刚体上任一点到某一固定平面的距离在运动过程中，刚体上任一点到某一固定平面的距离始终保持不变也就是说，始终保持不变也就是说，刚体上任一点都在与该固刚体上任一点都在与该固定平面平行的某一平面内定平面平行的某一平面内运动，具有这种特点的运运动，具有这种特点的运动称为动称为刚体的平面运动刚体的平面运动。例如例如第一节第一节 刚体平面运动的念刚体平面运动的念一、刚体平面运动的特征一、刚体平面运动的特征理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运

4、动理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动 用一个平行于固定平面用一个平行于固定平面S 1的平面的平面S 2来截平面运动刚体，得截面来截平面运动刚体，得截面S，它是一个平面图形。过平面图形上任意一点它是一个平面图形。过平面图形上任意一点A作垂直于图形的直线作垂直于图形的直线A1A2，显然直线显然直线A1A2作作平移，因此平移，因此A点的运动完全可以代表直线点的运动完全可以代表直线A1A2的的运动；运动；平面图形平面图形S的运动也就代表了整个刚体的运动。因此，的运动也就代表了整个刚体的

5、运动。因此，刚体的平面运动刚体的平面运动可简化为平面图形在其自身平面内的运动可简化为平面图形在其自身平面内的运动。理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动刚体的平面运动可简化为平面图形在其自刚体的平面运动可简化为平面图形在其自身平面内的运动。身平面内的运动。理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动为了确定代表平面运动刚体的平面图形的位置，我们只需确定平面为了确定代表平面运动刚体的平面图形的位置，我们只需确定平面图形内任意一条线段的位置图形内任意一条线段的位置 任意线段OM的位置可用O点的坐标和AB与x轴夹角表示因此图形S

6、的位置决定于 三个独立的参变量。点O的坐标和 角都是时间的函数，即二、平面运动方程二、平面运动方程理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动 当图形上O点不动时，则刚体作定轴转动 当图形上 角不变时，则刚体作平动。如果在平面图形上任取一点O定义为基点，假想在基点上固结一随基点O平移平移的动系Ox y z，那么刚体平面运动可以看成是随基点O的平移和绕基点O的转动这两部分运动的合成。平面运动方程对于每一瞬时 t，都可以求出对应的 ，平面图形S在该瞬时的位置也就确定了。三、平面运动分解为平移和转动三、平面运动分解为平移和转动理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第

7、七章 刚体的平面运动刚体的平面运动理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动平面运动分解为随基点的平移和平面运动分解为随基点的平移和绕基点的转动绕基点的转动理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动 由于基点是任取的，自然就会提出这样的问题：如果基由于基点是任取的，自然就会提出这样的问题：如果基点的选择不同，随基点的平动和绕基点的转动会有什么异同点的选择不同，随基点的平动和绕基点的转动会有什么异同呢？呢？理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章

8、刚体的平面运动刚体的平面运动如右下图所示，平面图形在时间内从位置I运动到位置II以A为基点:随基点A平动到AB后,绕基点转 角到AB以B为基点:随基点B平动到AB后,绕基点转 角到AB图中看出：AB AB AB，于是有SABABBA12SIII显然基点不同，轨迹也不同，因此随基点平移的速度和加速度与基点的选择有关。理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动 由上可得，平面运动随基平面运动随基点平动的运动规律与基点的选点平动的运动规律与基点的选择有关，而绕基点转动的规律择有关，而绕基点转动的规律与基点选取无关。与基点选取无关。即即 、与与基点选取无关基点选取无关

9、理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动第二节第二节 平面图形内各点速度的求解平面图形内各点速度的求解这些作平面运动的刚体，其上任一点的这些作平面运动的刚体，其上任一点的速度速度和和加速度加速度如何求？如何求？车轮作平面运动车轮作平面运动M连杆连杆AB作平面运动作平面运动M齿轮齿轮A作平面运动作平面运动理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动一、基点法一、基点法 求平面图形上一点速度的方法有求平面图形上一点速度的方法有3种：种：（1）基点法基点法；（2）速度投影法速度投影法；（；（3）速度瞬心法速度瞬心法。ASB 如图所示

10、，已知平面图形如图所示，已知平面图形S内一点内一点A的速度为的速度为vA，图形的图形的角速度为角速度为 。求图形上。求图形上B点的速度点的速度vB。理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动 由第一节的知识知，任何平面图形在自身平面内的运动都由第一节的知识知，任何平面图形在自身平面内的运动都可以分解为两个运动：可以分解为两个运动：（1）随基点）随基点A 的平移（牵连运动）的平移（牵连运动）；（2）绕基点）绕基点 A 的转动（相对运动）的转动（相对运动）。ASBxy 理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动 因此，平面图形内任

11、意一点因此，平面图形内任意一点B 的运动也是这两种运动的的运动也是这两种运动的合成，可用合成，可用点的速度合成定理点的速度合成定理来计算来计算B 点的速度。点的速度。取取B为动点为动点,则则B点的运动可视为牵连运动为平移和相对点的运动可视为牵连运动为平移和相对运动为圆周运动的合成。运动为圆周运动的合成。取取A为基点为基点,将动系固结于将动系固结于A点点,动系作平移动系作平移。ASB牵连运动为平移，则牵连运动为平移，则相对运动为转动，则相对运动为转动，则动点的绝对速度为动点的绝对速度为理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动ASB根据速度合成定理根据速度合成定

12、理则则B点速度为：点速度为：即平面图形上任一点的速度等于基点的速度与该点随图即平面图形上任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕基点转动的速度的矢量和。这种求解速度的方法称形绕基点转动的速度的矢量和。这种求解速度的方法称为为基点法基点法(method of pole)。理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动由基点法由基点法,有有式式()在求解时有几个量在求解时有几个量(包括方向和大小包括方向和大小)，最多，最多能求解几个未知量能求解几个未知量?其中其中()理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动例例7-1 7-1 已知：

13、曲柄连杆机构已知：曲柄连杆机构OA=AB=l，曲柄曲柄 OA以匀角速度以匀角速度 转动。转动。求：当求：当 =45时时,滑块滑块B的速度及的速度及AB杆的角速度。杆的角速度。理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动【解解】机构中，机构中，OA作定轴转动，作定轴转动，AB 作平面运动，滑块作平面运动，滑块B 作作 平动。平动。OA杆作定轴转动，有杆作定轴转动，有方向方向 OA以以 A为基点，则有为基点，则有理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动在在B 处作速度平行四边形，如图所示。处作速度平行四边形，如图所示。（）理论力学

14、电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动例7-27-2如图所示平面机构中，如图所示平面机构中，AB=BD=DE=l=300mm。在图在图示位置时示位置时,BDAE，杆杆AB的角速度为的角速度为=5rad/s。试求此瞬时试求此瞬时杆杆BD中点中点C的速度和杆的速度和杆DE 的角速度。的角速度。A AB BD DE E理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动运运运运 动动动动 演演演演 示示示示理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动【分析分析分析分析】（1 1）如何求）如何求）如何求）如何求BDB

15、D杆中点杆中点杆中点杆中点C C的速度。的速度。的速度。的速度。vBvCvCBvBABCDE大小大小方向方向？以以B为基点求为基点求vC理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动vB A AB BD DE EvDvDBvB【分析分析分析分析】（2 2）如何求）如何求）如何求）如何求DEDE杆的角速度。杆的角速度。杆的角速度。杆的角速度。以以B为基点求为基点求vD,大小大小方向方向？理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动vB A AB BD DE EvDvDBvB【解解】(1)求求DE杆的角速度。杆的角速度。杆杆AB作定轴作

16、定轴转动，转动，vB 大小为大小为 以以B 点为基点，应用速度合点为基点，应用速度合成定理，成定理，D 点的速度可表示为点的速度可表示为方向与方向与 AB 垂直。垂直。其中，其中，D 点绕点绕 B 的转动速度的转动速度 vDB 的的方向与方向与 BD 垂直，垂直，D 点点的速度的速度 vD 与与DE 垂直。垂直。理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动由速度合成矢量图可得由速度合成矢量图可得于是可得此瞬时杆于是可得此瞬时杆BD 的角速度为的角速度为 又又vDB 为为D 点绕点绕B 的转动速的转动速度，有度，有 其转向为逆时针。其转向为逆时针。BDBDvB A

17、 AB BD DE EvDvDBvB则有则有转向为顺时针。转向为顺时针。理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动vBvCvCB其中其中vB大小和方向均为已知，大小和方向均为已知，vCB 方向与方向与 BD 杆垂直，大小为杆垂直，大小为vBABCDE 由此瞬时速度矢的几何关系，得出此时由此瞬时速度矢的几何关系，得出此时vC 的方向恰好的方向恰好沿杆沿杆BD，大小为大小为以以B点为基点，应用基点法，点为基点，应用基点法，C 点的速度可表示为点的速度可表示为理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动二、速度投影法二、速度投影法若将

18、由基点法得到的速度表达式若将由基点法得到的速度表达式向向AB的连线投影会得到什么样的结果？这个结果能否从刚的连线投影会得到什么样的结果？这个结果能否从刚体的概念来进行说明？体的概念来进行说明？ASB理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动ASB速度投影定理速度投影定理将上式在将上式在AB连线上投影，有连线上投影，有【分析分析】由速度合成定理得由速度合成定理得即平面图形上任意两点的速度在该两点连线上的投影彼此相即平面图形上任意两点的速度在该两点连线上的投影彼此相等。这种求解速度的方法称为等。这种求解速度的方法称为速度投影法速度投影法。理论力学电子教程理论力学电

19、子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动 这个定理也可以用下面的理由来说明：这个定理也可以用下面的理由来说明：A和和B是刚体上的是刚体上的两点，他们之间的距离应保持不变两点，他们之间的距离应保持不变，所以两点的速度在，所以两点的速度在AB方方向的分量必须相同。向的分量必须相同。ASB理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动例例7-37-3已知：曲柄连杆机构已知：曲柄连杆机构OA=AB=l，曲柄曲柄OA以匀角速度以匀角速度 转转 动。动。当当 =45时时,用速度投影定理求滑块用速度投影定理求滑块B 的速度。的速度。理论力学电子教程理论力学电子教程 第

20、七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动OA杆作定轴转动，有杆作定轴转动，有方向方向 OA物块物块B 作平动，则作平动，则vB方向沿方向沿 BO直线。直线。即 根据速度投影定理根据速度投影定理【解解】理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动如图平面机构，由四根杆依次铰接而成。已知如图平面机构，由四根杆依次铰接而成。已知ABBC2r，CDDEr，AB 杆与杆与ED杆分别以匀角速度杆分别以匀角速度 1 和和 2 绕绕A、E 轴转动。在图示瞬时轴转动。在图示瞬时AB 与与CD 铅直、铅直、BC 与与 DE水平，试求该水平，试求该瞬时瞬时 BC 杆转动的角速度。杆转

21、动的角速度。【思考与讨论思考与讨论】理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动【分析分析】分别以分别以B点和点和D点为基点分析点为基点分析C点的速度，其速度矢点的速度，其速度矢如图所示。如图所示。结合上述两式，即可求解。结合上述两式，即可求解。理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动如何解释如何解释这种现象？这种现象？离离离离车轮与地面的接触处近的钢丝看得较清楚车轮与地面的接触处近的钢丝看得较清楚车轮与地面的接触处近的钢丝看得较清楚车轮与地面的接触处近的钢丝看得较清楚，而离得远的，而离得远的，而离得远的，而离得远的钢丝则模糊

22、不清，甚至看不见。钢丝则模糊不清，甚至看不见。钢丝则模糊不清，甚至看不见。钢丝则模糊不清，甚至看不见。三、速度瞬心法三、速度瞬心法理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动1 1速度瞬心的概念速度瞬心的概念 一般情况下，在每一瞬时，平面图形一般情况下，在每一瞬时，平面图形S及其延伸扩展部分上都唯一地存在一及其延伸扩展部分上都唯一地存在一个速度为零的点，该点称为速度瞬心。个速度为零的点，该点称为速度瞬心。如如图所图所示，已知点示，已知点A的速度为的速度为vA，图形角速度大小为图形角速度大小为 ，转向如图所示。，转向如图所示。理论力学电子教程理论力学电子教程 第七

23、章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动如以点如以点A为基点，为基点，则在则在vA的垂线的垂线AN上（由上（由vA到到AN的转向的转向与角速度的转向一致）任意一点与角速度的转向一致）任意一点M的速度的速度vM的的大小为大小为随着点随着点M在垂线上的位置的变化，在垂线上的位置的变化，vM的的大小也随之变化，因此总可以在大小也随之变化，因此总可以在AN上找到一点上找到一点C（该点是唯一的），该点是唯一的），使得该瞬时的使得该瞬时的vC为为零。显然，只要令零。显然，只要令则点C称为瞬时速度中心，简称速度瞬心速度瞬心。理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动CDABv

24、DvAvBC(a)(b)2.2.平面图形内各点的速度及其分布平面图形内各点的速度及其分布如果以速度瞬心如果以速度瞬心C为基点，为基点，图（图（a)中各点的速度可以中各点的速度可以写成写成大小为这样，平面图形上各点的速度在某瞬时的分布情况，与图这样，平面图形上各点的速度在某瞬时的分布情况，与图形绕定轴转动时各点的速度分布情况类似（图形绕定轴转动时各点的速度分布情况类似（图b)。因此，平因此，平面图形的运动可看成为绕速度瞬心的瞬时转动。面图形的运动可看成为绕速度瞬心的瞬时转动。理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动 需要强调的是，速度瞬心在平面图形及扩展部分上

25、的需要强调的是，速度瞬心在平面图形及扩展部分上的位置是随时间变化的。位置是随时间变化的。（1）已知图形上一点的速度 和图形角速度可以确定速度瞬心的位置。（C点）且C在 绕A点顺转向转90的方向一侧几种确定速度瞬心位置的方法几种确定速度瞬心位置的方法理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动(2)已知某瞬间平面图形上已知某瞬间平面图形上A,B两点速度两点速度 的方向，且的方向，且 ，过过A,B两点分别作速度两点分别作速度 的垂线的垂线,交点交点C即为该瞬即为该瞬间的速度瞬心。间的速度瞬心。C理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面

26、运动（3）已知某瞬时图形上A,B两点速度的大小,且CC理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动（5）已知某瞬时图形上）已知某瞬时图形上A,B两点的速度方向相同，且不与两点的速度方向相同，且不与AB连线垂直。此时连线垂直。此时,图形的瞬图形的瞬心在无穷远处心在无穷远处,图形的角速度图形的角速度 =0,图形上各点速度相等图形上各点速度相等,这这种情况称为瞬时平动种情况称为瞬时平动.(此时各此时各点的加速度不相等点的加速度不相等)（4）已知一平面图形在固定面）已知一平面图形在固定面上作无滑动的滚动上作无滑动的滚动,则图形与固则图形与固定面的接触点定面的接触点C为速

27、度瞬心为速度瞬心 理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动 例如例如:曲柄连杆机构在图示位置时，连杆曲柄连杆机构在图示位置时，连杆BC作瞬时平动作瞬时平动此时连杆此时连杆BC的图形角速度的图形角速度 ，BC杆上各点的速度都相等杆上各点的速度都相等.但各点的加速度并不相等但各点的加速度并不相等设匀设匀，则，则而的方向沿而的方向沿AC的，的，瞬时平动与平动不同瞬时平动与平动不同理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动.速度瞬心法速度瞬心法 利用速度瞬心求解平面图形上点的速度的方法利用速度瞬心求解平面图形上点的速度的方法,称为速

28、度瞬心法。称为速度瞬心法。平面图形在任一瞬时的运动可以视为绕速度瞬心的瞬时转动，速度平面图形在任一瞬时的运动可以视为绕速度瞬心的瞬时转动，速度瞬心又称为平面图形的瞬时转动中心。瞬心又称为平面图形的瞬时转动中心。若若P点为速度瞬心，则任意一点点为速度瞬心，则任意一点A的速度的速度方向方向 AP，指向与指向与 一致。一致。（1）速度瞬心在平面图形上的位置不是固定的，而是随时间不断变化）速度瞬心在平面图形上的位置不是固定的，而是随时间不断变化的。在任一瞬时是唯一存在的。的。在任一瞬时是唯一存在的。（2）速度瞬心处的速度为零）速度瞬心处的速度为零,加速度不一定为零。不同于定轴转动。加速度不一定为零。不

29、同于定轴转动。（3）刚体作瞬时平动时，虽然各点的速度相同，但各点的加速度是不）刚体作瞬时平动时，虽然各点的速度相同，但各点的加速度是不一定相同的。不同于刚体作平动。一定相同的。不同于刚体作平动。.注意的问题注意的问题理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动【解】机构中,OA作定轴转动,AB作平面运 动,滑块B作平动。例例7-4 已知：曲柄连杆机构已知：曲柄连杆机构OA=AB=l，取柄取柄OA以匀以匀 转动。转动。试用速度瞬心法求当试用速度瞬心法求当 =45时时,滑块滑块B的速度及的速度及AB杆的角速杆的角速度。度。理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七

30、章 刚体的平面运动刚体的平面运动（）研究AB，已知的方向，因此可确定出P点为速度瞬心。如图所示。理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动例例7-57-5 在图中，杆在图中，杆AB长长l，滑倒时滑倒时B 端靠着铅垂墙壁。已知端靠着铅垂墙壁。已知A点以速度点以速度u沿水平轴线运动，试求图示位置杆端沿水平轴线运动，试求图示位置杆端B点的速度点的速度及杆的角速度。及杆的角速度。A AB B u uO O理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动运运运运 动动动动 演演演演 示示示示理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体

31、的平面运动刚体的平面运动 方法一：选方法一：选A点为基点，点为基点，A点的点的速度速度vA=v，则则B点的速度可表示点的速度可表示为为 式中式中vB方向沿方向沿OB向下，向下，vBA方向方向垂直于杆垂直于杆AB，由速度合成矢量由速度合成矢量图可得图可得ABvOv vA A =v vv vB Bv vBABAAB【解解】（1 1）基点法求解。）基点法求解。）基点法求解。）基点法求解。所以(逆时针)理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动O O解法二：以选解法二：以选B B点为基点，则点为基点，则A A点的速度可表示为点的速度可表示为 式式式式中中中中v vB

32、B方方方方向向向向沿沿沿沿BOBO向向向向下下下下，v vABAB方方方方向向向向垂垂垂垂直直直直杆杆杆杆ABAB，且且且且v vBABA=ABABABAB，但但但但 ABAB未未未未知知知知，而而而而v vA A=v=v。由由由由速速速速度合成矢量图可得度合成矢量图可得度合成矢量图可得度合成矢量图可得A AB Bv vA A=v=vv vB Bv vA AB B ABABv vB B所以(逆时针)理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动 因为杆因为杆ABAB上上A A点的速度已知，点的速度已知，B B点的速度方点的速度方向也已知，故可求出杆向也已知，故可求

33、出杆ABAB的速度瞬心在的速度瞬心在C C 点。点。所得结果自然与前相同，但求解步骤却简单得多。所得结果自然与前相同，但求解步骤却简单得多。注意到注意到 v vA A =v v ，所以可以求得所以可以求得2 2 2 2、用瞬心法求解。、用瞬心法求解。、用瞬心法求解。、用瞬心法求解。(逆时针逆时针 )A AB B O O ABABu uC Cv vv vB B理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动第三节第三节 平面图形内各点加速度的求解平面图形内各点加速度的求解已知：图形S 内一点A 的加速度 和图形 的,（某一瞬时）。求：该瞬时图形上任一点B的加速度。理论

34、力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动由由以及对应关系以及对应关系可得可得即平面图形内任一点的加速度等于基点的加速度与该点随图即平面图形内任一点的加速度等于基点的加速度与该点随图形绕基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和。这一方形绕基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和。这一方法称为法称为基点法基点法，又称为，又称为速度合成法速度合成法。其中其中理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动【分析】：大小？2 方向？故应先求出。（）【解】轮O作平面运动，P为速度瞬心，有例例7-67-6半径为R的车轮沿直线作纯滚动,已知轮心O点

35、的速度 及加速度 ,求车轮与轨道接触点P的加速度。理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动 由于此式在任何瞬时都成立，且由于此式在任何瞬时都成立，且O点作直线运动，故而点作直线运动，故而（）由此看出，速度瞬心由此看出，速度瞬心P的加速度并不等于零，即它不是加的加速度并不等于零，即它不是加速度瞬心。当车轮沿固定的直线轨道作纯滚动时，其速度瞬速度瞬心。当车轮沿固定的直线轨道作纯滚动时，其速度瞬心心P的加速度指向轮心。的加速度指向轮心。以以O为基点，有为基点，有 其中：其中：做出加速度矢量图，由图中看出：做出加速度矢量图，由图中看出：（与与 等值反向）等值反向）即

36、即理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动例例7-7 7-7 曲曲柄柄滑滑块块机机构构如如图图所所示示，曲曲柄柄OA长长R，连连杆杆AB长长l。设设曲曲柄柄以以匀匀角角速速度度沿沿逆逆钟钟向向绕绕定定轴轴 O 转转动动。试试求求当当曲曲柄柄转角为转角为 时滑块时滑块B的加速度和连杆的加速度和连杆AB的角加速度。的角加速度。O OA AB B 理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动O OA AB B vAvAvBvBA因为因为A A点速度点速度 v vA A已知，故选已知，故选A A为基点。为基点。应用速度合成定理，应用速

37、度合成定理，B B点的速度可点的速度可表示为表示为 其中其中v vA A的大小的大小 v vA A=R R 。v vB B =v vA A+v vBABA【解解】先先求求连杆连杆ABAB的角速度。的角速度。由速度合成矢量图可得由速度合成矢量图可得理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动所以所以 其中其中 可求得连杆可求得连杆AB AB 的角速度的角速度顺时针转向。顺时针转向。O OA AB B v vA AvAvBvBABxyv vA Av vB Bv vBABA理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动OABaAaAatB

38、Aa an nBABAa aB B选点选点A A为基点，则滑块为基点，则滑块B B的加速度为的加速度为 其中，基点其中，基点A A 加速度的大小为加速度的大小为方向沿方向沿AOAO；动点动点 B B 绕基点绕基点 A A 相对转相对转动的切向加速度的动的切向加速度的 大小为大小为连杆的角加速度连杆的角加速度 AB AB 尚属未知。暂时尚属未知。暂时假定假定 AB AB 沿逆钟向，故沿逆钟向，故 如图所示。如图所示。求滑块求滑块求滑块求滑块B B的加速度。的加速度。的加速度。的加速度。理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动OABaAaAatBAa an nB

39、ABAa aB B 求求 的大小时，为了消去未知量的大小时，为了消去未知量 ，把式把式 投影到与投影到与 相垂直相垂直的方向的方向BA BA 上得上得从而求得滑块从而求得滑块B B的加速度的加速度相对转动法向加速度相对转动法向加速度相对转动法向加速度相对转动法向加速度 的大小为的大小为的大小为的大小为 滑块滑块B B 的加速度的加速度a aB B的方向为水平并假定的方向为水平并假定向左，大小待求。向左，大小待求。理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动O OA AB B a aA Aa aA Aa at tBABA转向为逆钟向。转向为逆钟向。同样，把同样，把

40、 投影到投影到铅直轴铅直轴 y y上，有上，有连杆连杆ABAB的角加速度的角加速度从而求得从而求得求连杆求连杆求连杆求连杆ABAB的角加速度。的角加速度。的角加速度。的角加速度。y ya aB Ba an nBABA理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动第四节第四节 运动学运动学综合应用综合应用 在求解此类问题时，首先要依据各刚体的运动特征，分辨它们各自在求解此类问题时，首先要依据各刚体的运动特征，分辨它们各自作什么运动，是平动、定轴转动还是平面运动，其次，刚体之间是靠约作什么运动，是平动、定轴转动还是平面运动，其次，刚体之间是靠约束连接来传递运动，这就需

41、要建立刚体之间连接点的运动学条件。特别束连接来传递运动，这就需要建立刚体之间连接点的运动学条件。特别是两刚体间的连接点有相对运动的情形。例如，用滑块和滑槽连接两刚是两刚体间的连接点有相对运动的情形。例如，用滑块和滑槽连接两刚体时，连接点的速度和加速度是不相同的。需要应用点的合成运动去建体时，连接点的速度和加速度是不相同的。需要应用点的合成运动去建立连接点的运动学条件。如果被连接的刚体中有作平面运动的，则需要立连接点的运动学条件。如果被连接的刚体中有作平面运动的，则需要综合应用点的合成运动和刚体平面运动和理论去求解。求解时，应从已综合应用点的合成运动和刚体平面运动和理论去求解。求解时，应从已知运

42、动条件的刚体开始，然后通过已建立的运动学条件过渡到相邻的刚知运动条件的刚体开始，然后通过已建立的运动学条件过渡到相邻的刚体，直至最后将解全部求得。体，直至最后将解全部求得。在工程实际中需要综合应用很多平面运动机构皆是复杂的和综合的，在工程实际中需要综合应用很多平面运动机构皆是复杂的和综合的，因此对其运动分析是运动学理论。而其难点一般出现在因此对其运动分析是运动学理论。而其难点一般出现在点的合成运动理点的合成运动理论与刚体平面运动理论的综合应用论与刚体平面运动理论的综合应用中。中。理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动例例7-87-8 导槽滑块机构。导槽滑块

43、机构。已知：曲柄OA=r,匀角速度 转动,连杆AB的中点C处连接一 滑块C可沿导槽O1D滑动,AB=l,图示瞬时O,A,O1三点 在同一水平线上,OAAB,AO1C=30。求：该瞬时O1D的角速度。理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动（2）用合成运动方法，求用合成运动方法，求O1D杆上与滑块杆上与滑块C 接触的点的速度。接触的点的速度。【解解】OA,O1D均作定轴转动均作定轴转动,AB作平面运动。作平面运动。（1）研究）研究AB:,图示位置图示位置,作作瞬时平动瞬时平动,所以所以 动点动点:AB杆上C(或滑块C),动系动系:O1D杆,静系静系:机架绝对运

44、动绝对运动：曲线运动，方向相对运动相对运动：直线运动，方向/O1D牵连运动牵连运动：定轴转动，方向 O1D理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动根据，作速度平行四边形作速度平行四边形 这是一个需要联合应用点的合成运动和刚体平面运动理这是一个需要联合应用点的合成运动和刚体平面运动理论求解的综合性问题论求解的综合性问题。理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动例例7-97-9 如图所示，已知OA=20 cm,O1B=25cm,曲柄OA的转速n=70 r/min,当筛子CD运动到与OO1同一水平线上时，试求此瞬时筛子CD 的速

45、度。理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动【解解】滑块滑块A在滑槽内运动，则取滑块在滑槽内运动，则取滑块A为动点，动作标系为动点，动作标系固接在固接在BO1E上，则上，则A点之绝对速度、牵连速度和相对速度如点之绝对速度、牵连速度和相对速度如图所示。图所示。理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动由此可得到BO1E的角加速度为：筛子CD 作平动，则求得vC的速度，即求得筛子CD的速度。BC杆作平面运动，如图所示，由速度投影定理：C理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动即筛子CD的速度大

46、小为91.56 cm/s,方向如图所示。理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动1.选择题选择题(1)平面图形上任意两点A、B的速度在其连线上的投 影分别用 和 表示，A、B两点的加速度在其连线上的投影分别用 和 来表示，则（）A.可能有 ，B.必有 ,C.必有 ,D.可能有 ，A【思考与讨论思考与讨论】理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动 A.B.C.D.C （2）一半径为 r 的圆盘以匀角速度在半径为R的圆形曲面 上作纯滚动，则圆盘边缘上图示M点的加速度大小aA为 （）理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动2.2.试画出各图中作平面运动刚体的速度瞬心试画出各图中作平面运动刚体的速度瞬心,并在图上画出并在图上画出A、B、C、D各点速度的方向。各点速度的方向。（a）（b）（c）理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动3.滚压用的机构,如图所示.已知长为 r 的曲柄以匀角速度0转动,某瞬时曲柄转角是60。,且曲柄与连杆垂直,试求此瞬时AB杆的角速度 和圆轮上的最高点D的速度.圆轮的半径为R,且作无滑动的滚动。答案：答案：