高中数学选修1-1第三章课件3.3.4生活中的优化问题举例 人教A版.ppt

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1、一、如何判断函数函数的单调性？f(x)为为增函数增函数f(x)为为减函数减函数 设函数设函数y=f(x)在在 某个区间某个区间 内可导，内可导，二、如何求函数的极值与最值？求函数极值的一般步骤求函数极值的一般步骤（1）确定定义域）确定定义域（2）求导数）求导数f(x)（3）求）求f(x)=0的根的根（4）列表）列表（5）判断）判断求求f(x)在在闭区间闭区间a,b上的最值的步骤：上的最值的步骤：(1)求求f(x)在区间在区间(a,b)内极值；内极值；(2)将将y=f(x)的各极值与的各极值与f(a)、f(b）比较）比较,从而确定函数的最值。从而确定函数的最值。生活中经常遇到求利润最大、用料最省

2、、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题.通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具，本节我们运用导数，解决一些生活中的优化问题.例例1 1：海报版面尺寸的设计海报版面尺寸的设计 学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图宣传。现让你设计一张如图3.4-1所示的竖向张贴所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为的海报，要求版心面积为128dm2，上、下两边各，上、下两边各空空2dm，左、右两边各空，左、右两边各空1dm，如何设计海报的，如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？尺寸，才能使四周空白面积最小？图图3.4

3、-1 分析：已知版心的面分析：已知版心的面积，你能否设出版心的积，你能否设出版心的高，求出版心的宽，从高，求出版心的宽，从而列出海报四周的面积而列出海报四周的面积来？来？因此因此,=16是函数是函数 的极小的极小值值点，也是最小点，也是最小值值点点.所以当所以当版心高版心高为为16dm，宽为时宽为时8dm，能使四周空白面，能使四周空白面积积最小。最小。=令于是宽为=8 解解:设版心的高为设版心的高为 m,则版心的宽为则版心的宽为 m，此时四周空，此时四周空白面积为白面积为 你还有其他解法你还有其他解法吗？例如用基本吗？例如用基本不等式行不？不等式行不？规格（规格（L）21.250.6价格（元）

4、价格（元）5.14.52.5例例2：饮料瓶大小对饮料公司利润的影响饮料瓶大小对饮料公司利润的影响 下面是某品牌饮料的三种规格不同的产品，若它们下面是某品牌饮料的三种规格不同的产品，若它们的价格如下表所示，则的价格如下表所示，则（1）对对消消费费者而言，者而言，选择选择哪一种更合算呢？哪一种更合算呢？（2）对对制造商而言，哪一种的利制造商而言，哪一种的利润润更大？更大？某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是成本是0.8p pr2分，其中分，其中r是瓶子的半径，单位是厘米，已知每出是瓶子的半径，单位是厘米，已知每出售售1ml的饮料，制

5、造商可获利的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制造的瓶子的分，且制造商能制造的瓶子的最大半径为最大半径为6cm，则每瓶饮料的利润何时最大，何时最小呢？，则每瓶饮料的利润何时最大，何时最小呢？r(0，2)2(2，6f(r)0f(r)-+减函数减函数 增函数增函数-1.07p p解：解：每个瓶的容积为每个瓶的容积为:每瓶每瓶饮饮料的利料的利润润：解：由于瓶子的半径为r，所以每瓶饮料的利润是231、当半径为2cm时,利润最小,这时f(2)0,2、当半径为6cm时，利润最大。从图中可以看出:从图中，你还能看出什么吗？例3下文请看课本P111解：存储量解：存储量=磁道数磁道数每磁道的比特数每磁道的比

6、特数 设存储区的半径介于r与R之间，由于磁道之间的宽度必须大于m，且最外面的磁道不存储人行信息，所以磁道最多可达 又由于每条磁道上的比特数相同，为获得最大的存储量，最内一条磁道必须装满，即每条磁道上的比特数可达到 所以，磁道总存储量（1）它是一个关于r的二次函数，从函数的解析式上可以判断，不是r越小，磁盘的存储量越大.(2)为求 的最大值，计算令解得因此，当 时，磁道具有最大的存储量，最大存储量为 由上述例子，我们不难发现，解决优化问题的基本思路是：优化问题优化问题用函数表示的数学问题用函数表示的数学问题用导数解决数学问题用导数解决数学问题优化问题的答案优化问题的答案上述解决优化问题的过程是一

7、个典型的数学建模过程。1:在边长为在边长为60cm的正的正 方形铁皮方形铁皮的四角切去相等的正方形的四角切去相等的正方形,再把再把它的边沿虚线折起它的边沿虚线折起(如图如图),做成一做成一个无盖的方底箱子个无盖的方底箱子,箱底边长为箱底边长为多少时多少时,箱子的容积最大箱子的容积最大?最大容积是多少最大容积是多少?解解:设箱底边长为设箱底边长为x,则箱高则箱高h=(60-x)/2.箱子容积箱子容积 V(x)=x2h=(60 x2-x3)/2(0 x60).令令 ,解得解得x=0(舍去舍去),x=40.且且V(40)=16000.由题意可知由题意可知,当当x过小过小(接近接近0)或过大或过大(接

8、近接近60)时时,箱箱子的容积很小子的容积很小,因此因此,16000是最大值是最大值.答答:当当x=40cm时时,箱子容积最大箱子容积最大,最大容积最大容积16000cm3.2:圆柱形金属饮料罐的容积一定时圆柱形金属饮料罐的容积一定时,它的高与底半径它的高与底半径 应应怎样选取怎样选取,才能使所用的材料最省才能使所用的材料最省?解解:设圆柱的高为设圆柱的高为h,底半径为底半径为r,则表面积则表面积S=2rh+2r2.由由V=r2h,得得 ,则则令令 ,解得解得 ,从而从而 ,即即h=2r.由于由于S(r)只有一个极值只有一个极值,所以它是最小值所以它是最小值.答答:当罐的高与底直径相等时当罐的

9、高与底直径相等时,所用的材料最省所用的材料最省.rhxy练习练习3 如图如图,在二次函数在二次函数f(x)=4x-x2的图象与的图象与x轴所轴所 围成的图形中有一个内接围成的图形中有一个内接矩形矩形ABCD,求这求这 个矩形的个矩形的最大面积最大面积.解解:设设B(x,0)(0 x2),则则 A(x,4x-x2).从而从而|AB|=4x-x2,|BC|=2(2-x).故矩形故矩形ABCD的面的面积积为为:S(x)=|AB|BC|=2x3-12x2+16x(0 x0得得x=1.而而0 x1时时,所以所以x=1是是f(x)的极小值点的极小值点.所以当所以当x=1时时,f(x)取最小值取最小值f(1)=1.从而当从而当x0时时,f(x)1恒成立恒成立,即即:成立成立.作业：课本作业：课本P37 习题习题1.4 A组组 1、3、5 课后练习：课后练习：学案学案