第五章 非平稳序列的随机分析hu.ppt

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1、第五章第五章非平稳序列的随机分析非平稳序列的随机分析本章结构本章结构n差分运算差分运算nARIMA模型模型nAuto-Regressive模型模型n异方差的性质异方差的性质n方差齐性变化方差齐性变化n条件异方差模型条件异方差模型5.1 差分运算差分运算n差分运算的实质差分运算的实质n差分方式的选择差分方式的选择n过差分过差分差分运算的实质差分运算的实质n差分方法是一种非常简便、有效的确定差分方法是一种非常简便、有效的确定性信息提取方法性信息提取方法nCramer分解定理在理论上保证了适当阶分解定理在理论上保证了适当阶数的差分一定可以充分提取确定性信息数的差分一定可以充分提取确定性信息n差分运算

2、的实质是使用自回归的方式提差分运算的实质是使用自回归的方式提取确定性信息取确定性信息 差分方式的选择差分方式的选择n序列蕴含着显著的线性趋势，一阶差分序列蕴含着显著的线性趋势，一阶差分就可以实现趋势平稳就可以实现趋势平稳 n序列蕴含着曲线趋势，通常低阶（二阶序列蕴含着曲线趋势，通常低阶（二阶或三阶）差分就可以提取出曲线趋势的或三阶）差分就可以提取出曲线趋势的影响影响 n对于蕴含着固定周期的序列进行步长为对于蕴含着固定周期的序列进行步长为周期长度的差分运算，通常可以较好地周期长度的差分运算，通常可以较好地提取周期信息提取周期信息 例例5.1 【例【例1.1】1964年年1999年中国纱年年中国纱

3、年产量序列蕴含着一个近似线性的递增趋产量序列蕴含着一个近似线性的递增趋势。对该序列进行一阶差分运算势。对该序列进行一阶差分运算 考察差分运算对该序列线性趋势信息的提考察差分运算对该序列线性趋势信息的提取作用取作用 差分前后时序图差分前后时序图n原序列时序图原序列时序图n差分后序列时序图差分后序列时序图例例5.2n尝试提取尝试提取1950年年1999年北京市民年北京市民用车辆拥有量序列用车辆拥有量序列的确定性信息的确定性信息差分后序列时序图差分后序列时序图n一阶差分一阶差分n二阶差分二阶差分例例5.3n差分运算提取差分运算提取1962年年1月月1975年年12月平月平均每头奶牛的月产奶量序列中的

4、确定性信息均每头奶牛的月产奶量序列中的确定性信息 差分后序列时序图差分后序列时序图n一阶差分一阶差分n1阶阶12步差分步差分过差分过差分 n足够多次的差分运算可以充分地提取原足够多次的差分运算可以充分地提取原序列中的非平稳确定性信息序列中的非平稳确定性信息n但过度的差分会造成有用信息的浪费但过度的差分会造成有用信息的浪费 例例5.4n假设序列如下假设序列如下 n考察一阶差分后序列和二阶差分序列考察一阶差分后序列和二阶差分序列 的平稳性与方差的平稳性与方差 比较比较n一阶差分一阶差分n平稳平稳n方差小方差小n二阶差分（过差分）二阶差分（过差分）n平稳平稳n方差大方差大5.2 ARIMA模型模型n

5、ARIMA模型结构模型结构nARIMA模型性质模型性质nARIMA模型建模模型建模nARIMA模型预测模型预测n疏系数模型疏系数模型n季节模型季节模型ARIMA模型结构模型结构n使用场合使用场合n差分平稳序列拟合差分平稳序列拟合n模型结构模型结构ARIMA 模型族模型族nd=0ARIMA(p,d,q)=ARMA(p,q)nP=0ARIMA(P,d,q)=IMA(d,q)nq=0ARIMA(P,d,q)=ARI(p,d)nd=1,P=q=0ARIMA(P,d,q)=random walk model随机游走模型随机游走模型(random walk)n模型结构模型结构n模型产生典故模型产生典故nK

6、arl Pearson(19051905)在在自自然然杂杂志志上上提提问问：假假如如有有个个醉醉汉汉醉醉得得非非常常严严重重，完完全全丧丧失失方方向向感感，把把他他放放在在荒荒郊郊野野外外，一一段段时时间间之之后后再再去去找找他他，在在什什么么地地方方找找到到他他的概率最大呢？的概率最大呢？不平稳！方差越来越大不平稳！方差越来越大原点。原点。时间连续：Brownian motionARIMA模型的平稳性模型的平稳性nARIMA(p,d,q)模模型型共共有有p+d个个特特征征根根，其其中中p个个在在单单位位圆圆内内，d个个在在单单位位 圆圆 上上。所所 以以 当当 时时 ARIMA(p,d,q)

7、模型非平稳。模型非平稳。n例例5.5ARIMA(0,1,0)时序图时序图ARIMA模型的方差齐性模型的方差齐性n 时，原序列方差非齐性时，原序列方差非齐性nd d阶差分后，差分后序列方差齐性阶差分后，差分后序列方差齐性ARIMA模型建模步骤模型建模步骤获获得得观观察察值值序序列列平稳性平稳性检验检验差分差分运算运算YN白噪声白噪声检验检验Y分分析析结结束束N拟合拟合ARMA模型模型例例5.6n对对1952年年1988年中国农业实际国年中国农业实际国民收入指数序列建模民收入指数序列建模 一阶差分序列时序图一阶差分序列时序图一阶差分序列自相关图一阶差分序列自相关图一阶差分后序列白噪声检验一阶差分后

8、序列白噪声检验延迟阶数 统计量P值615.330.01781218.330.10601824.660.1344拟合拟合ARMA模型模型n偏自相关图偏自相关图建模建模n定阶定阶nARIMA(0,1,1)n参数估计参数估计n模型检验模型检验n模型显著模型显著n参数显著参数显著ARIMA模型预测模型预测n原则原则:最小均方误差预测原理最小均方误差预测原理 nGreen函数递推公式函数递推公式预测值预测值例例5.7n已知已知ARIMA(1,1,1)模型为模型为 且且n求求 的的95的置信区间的置信区间 预测值预测值n等价形式等价形式n计算预测值计算预测值计算置信区间计算置信区间nGreen函数值函数值

9、n方差方差n95置信区间置信区间怎么知道怎么知道 t=0.8？例例5.6续：续：对中国农业实际国民收入指对中国农业实际国民收入指数序列做为期数序列做为期10年的预测年的预测 疏系数模型疏系数模型nARIMA(p,d,q)模型是指模型是指d阶差分后自相阶差分后自相关最高阶数为关最高阶数为p，移动平均最高阶数为移动平均最高阶数为q的模型，通常它包含的模型，通常它包含p+q个独立的未知个独立的未知系数：系数：n如果该模型中有部分自相关系数如果该模型中有部分自相关系数 或部分移动平滑系数或部分移动平滑系数 为零，即原为零，即原模型中有部分系数省缺了，那么该模型模型中有部分系数省缺了，那么该模型称为称为

10、疏系数模型疏系数模型。疏系数模型类型疏系数模型类型n如果只是自相关部分有省缺系数，那么该疏系如果只是自相关部分有省缺系数，那么该疏系数模型可以简记为数模型可以简记为n 为非零自相关系数的阶数为非零自相关系数的阶数n如果只是移动平滑部分有省缺系数，那么该疏如果只是移动平滑部分有省缺系数，那么该疏系数模型可以简记为系数模型可以简记为n 为非零移动平均系数的阶数为非零移动平均系数的阶数n如如果果自自相相关关和和移移动动平平滑滑部部分分都都有有省省缺缺，可可以以简简记为记为例例5.8n对对1917年年1975年美国年美国23岁妇女每万岁妇女每万人生育率序列建模人生育率序列建模 一阶差分一阶差分自相关图

11、自相关图偏自相关图偏自相关图建模建模n定阶定阶nARIMA(1,4),1,0)n参数估计参数估计n模型检验模型检验n模型显著模型显著n参数显著参数显著其他模型怎么样？其他模型怎么样？ARIMA(0,1,6)ARIMA(4,1,0)ARIMA(1,1,1)季节模型季节模型n简单季节模型简单季节模型(加法季节模型加法季节模型)n乘积季节模型乘积季节模型 简单季节模型简单季节模型ARIMA(p,d,q)sn简单季节模型是指序列中的季节效应和简单季节模型是指序列中的季节效应和其它效应之间是加法关系其它效应之间是加法关系n简单季节模型通过简单的趋势差分、季简单季节模型通过简单的趋势差分、季节差分之后序列

12、即可转化为平稳，它的节差分之后序列即可转化为平稳，它的模型结构通常如下模型结构通常如下 例例5.9n拟合拟合19621991年德国工人季度失业率序列年德国工人季度失业率序列 差分平稳差分平稳n对原序列作一阶差分消除趋势，再作对原序列作一阶差分消除趋势，再作4步差分消除季节步差分消除季节效应的影响，差分后序列的时序图如下效应的影响，差分后序列的时序图如下 白噪声检验白噪声检验延迟阶数 统计量P值643.840.00011251.710.00011854.480.0001差分后序列自相关图差分后序列自相关图差分后序列偏自相关图差分后序列偏自相关图模型拟合模型拟合n定阶定阶nARIMA(1,4),(

13、1,4),0)n参数估计参数估计1步差分后，再步差分后，再4步差分步差分AR疏系数疏系数模型检验模型检验残差白噪声检验参数显著性检验延迟阶数 统计量P值待估参数 统计量P值62.090.71915.480.00011210.990.3584-3.410.0001拟合效果图拟合效果图乘积季节模型乘积季节模型n使用场合使用场合n序列的季节效应、长期趋势效应和随机波动之间有着复序列的季节效应、长期趋势效应和随机波动之间有着复杂地相互关联性，简单的季节模型不能充分地提取其中杂地相互关联性，简单的季节模型不能充分地提取其中的相关关系的相关关系 n构造原理构造原理n短期相关性用低阶短期相关性用低阶ARIM

14、A(p,d,q)模型提取模型提取n季节相关性用以周期步长季节相关性用以周期步长S为单位的为单位的ARIMA(P,D,Q)模模型提取型提取n假设短期相关和季节效应之间具有乘积关系，模型结构假设短期相关和季节效应之间具有乘积关系，模型结构 ARIMA(p,d,q)sARIMA(p,d,q)x(P,D,Q)s例例5.10:拟合拟合19481981年美国女性月度失业率序列年美国女性月度失业率序列 差分平稳差分平稳n一阶、一阶、12步差分步差分差分后序列自相关图差分后序列自相关图差分后序列偏自相关图差分后序列偏自相关图简单季节模型拟合结果简单季节模型拟合结果延迟阶数拟合模型残差白噪声检验AR(1,12)

15、MA(1,2,12)ARMA(1,12),(1,12)值P值 值P值 值P值614.580.00579.50.023315.770.00041216.420.088314.190.115817.990.0213结果拟合模型均不显著乘积季节模型拟合乘积季节模型拟合n模型定阶模型定阶nARIMA(1,1,1)(0,1,1)12n参数估计参数估计模型检验模型检验残差白噪声检验参数显著性检验延迟阶数 统计量P值待估参数 统计量P值64.500.2120-4.660.0001129.420.400223.030.00011820.580.1507-6.810.0001结果模型显著参数均显著乘积季节模型拟

16、合效果图乘积季节模型拟合效果图5.3 Auto-Regressive模型模型nARIMA缺点：难以解释缺点：难以解释nAuto-Regressive构造思想构造思想n首首先先通通过过确确定定性性因因素素分分解解方方法法提提取取序序列列中中主主要的确定性信息要的确定性信息n然然后后对对残残差差序序列列拟拟合合自自回回归归模模型型，以以便便充充分分提取相关信息提取相关信息 Auto-Regressive模型结构模型结构对趋势效应的常用拟合方法对趋势效应的常用拟合方法n自变量为时间自变量为时间t的幂函数的幂函数n自变量为历史观察值自变量为历史观察值对季节效应的常用拟合方法对季节效应的常用拟合方法n给

17、定季节指数给定季节指数n建立季节自回归模型建立季节自回归模型例例5.6续续n使用使用Auto-Regressive模型分析模型分析1952年年1988年中国年中国农业实际国民收入指数序列。农业实际国民收入指数序列。n时序图显示该序列有显著的线性递增趋势，但没有季节时序图显示该序列有显著的线性递增趋势，但没有季节效应，所以考虑建立如下结构的效应，所以考虑建立如下结构的Auto-Regressive模型模型 趋势拟合趋势拟合n方法一：方法一：变量为时间变量为时间t t的幂函数的幂函数n方法二：变量为一阶延迟序列值方法二：变量为一阶延迟序列值 趋势拟合效果图趋势拟合效果图残差自相关检验残差自相关检验

18、n检验原理检验原理n回归模型拟合充分，残差的性质回归模型拟合充分，残差的性质n回归模型拟合得不充分，残差的性质回归模型拟合得不充分，残差的性质Durbin-Waston检验（检验（DW检检验）验）n假设条件假设条件n原假设：残差序列不存在一阶自相关性原假设：残差序列不存在一阶自相关性 n备择假设：残差序列存在一阶自相关性备择假设：残差序列存在一阶自相关性 DW统计量统计量n构造统计量构造统计量nDW统计量和自相关系数的关系统计量和自相关系数的关系DW统计量的判定结果统计量的判定结果正相关相关性待定不相关相关性待定负相关042例例5.6续续 n检验第一个确定性趋势模型检验第一个确定性趋势模型 残

19、差序列的自相关性。残差序列的自相关性。DW检验结果检验结果n检验结果检验结果n检验结论检验结论n检验结果显示残差序列高度正自相关。检验结果显示残差序列高度正自相关。DW统计量的值P值0.13781.421.530.0001Durbin h检验检验 nDW统计量的缺陷统计量的缺陷n当当回回归归因因子子包包含含延延迟迟因因变变量量时时，残残差差序序列列的的DW统统计计量量是是一一个个有有偏偏统统计计量量。在在这这种种场场合合下下使使用用DW统统计计量量容容易易产产生生残残差差序序列列正正自自相相关性不显著的误判关性不显著的误判 nDurbin h检验检验例例5.6续续n检验第二个确定性趋势模型检验

20、第二个确定性趋势模型 残差序列的自相关性。残差序列的自相关性。Dh检验结果检验结果n检验结果检验结果n检验结论检验结论n检验结果显示残差序列高度正自相关。检验结果显示残差序列高度正自相关。Dh统计量的值P值2.80380.0025残差序列拟合残差序列拟合n确定自回归模型的阶数确定自回归模型的阶数n参数估计参数估计n模型检验模型检验例例5.6续续n对第一个确定性趋势模型对第一个确定性趋势模型的残差序列的残差序列 进行拟合进行拟合残差序列自相关图残差序列自相关图残差序列偏自相关图残差序列偏自相关图模型拟合模型拟合n定阶定阶nAR(2)n参数估计方法参数估计方法n极大似然估计极大似然估计n最终拟合模

21、型口径最终拟合模型口径例例5.6n第二个第二个AutoRegressive模型的模型的拟合结果拟合结果三个拟合模型的比较三个拟合模型的比较模型AICSBCARIMA(0,1,1)模型：249.3305252.4976AutoRegressive模型一：260.8454267.2891AutoRegressive模型二：250.6317253.7987拟合最好解释性好5.4 异方差的性质异方差的性质n异方差的定义异方差的定义n如如果果随随机机误误差差序序列列的的方方差差会会随随着着时时间间的的变变化化而变化，这种情况被称作为异方差而变化，这种情况被称作为异方差n异方差的影响异方差的影响n忽视异方

22、差的存在会导致残差的方差会被严忽视异方差的存在会导致残差的方差会被严重低估，继而参数显著性检验容易犯纳伪错重低估，继而参数显著性检验容易犯纳伪错误，这使得参数的显著性检验失去意义，最误，这使得参数的显著性检验失去意义，最终导致模型的拟合精度受影响。终导致模型的拟合精度受影响。异方差直观诊断异方差直观诊断n残差图残差图n残差平方图残差平方图残差图残差图n方差齐性残差图方差齐性残差图n递增型异方差残差图递增型异方差残差图残差平方图残差平方图n原理原理n残差序列的方差实际上就是它平方的期望。残差序列的方差实际上就是它平方的期望。n所所以以考考察察残残差差序序列列是是否否方方差差齐齐性性，主主要要是是

23、考考察残差平方序列是否平稳察残差平方序列是否平稳 例例5.11n直观考察美国直观考察美国1963年年4月月1971年年7月月短期国库券的月度收益率序列的方差齐性。短期国库券的月度收益率序列的方差齐性。一阶差分后残差图一阶差分后残差图一阶差分后残差平方图一阶差分后残差平方图异方差处理方法异方差处理方法n假如已知异方差函数具体形式，进行方假如已知异方差函数具体形式，进行方差齐性变化差齐性变化n假如不知异方差函数的具体形式，拟合假如不知异方差函数的具体形式，拟合条件异方差模型条件异方差模型 5.5 方差齐性变换方差齐性变换n使用场合使用场合n序列显示出显著的异方差性，且方差与均值之间具序列显示出显著

24、的异方差性，且方差与均值之间具有某种函数关系有某种函数关系 其中：其中：是某个已知函数是某个已知函数n处理思路处理思路n尝试寻找一个转换函数尝试寻找一个转换函数 ，使得经转换后的变量，使得经转换后的变量满足方差齐性满足方差齐性转换函数的确定原理转换函数的确定原理n转换函数转换函数 在在 附近作一阶泰勒展开附近作一阶泰勒展开n求转换函数的方差求转换函数的方差n转换函数的确定转换函数的确定常用转换函数的确定常用转换函数的确定n假定假定n转换函数的确定转换函数的确定例例5.11续续n对美国对美国1963年年4月月1971年年7月短期月短期国库券的月度收益率序列使用方差齐性国库券的月度收益率序列使用方

25、差齐性变换方法进行分析变换方法进行分析 n假定假定n函数变换函数变换对数序列时序图对数序列时序图一阶差分后序列图一阶差分后序列图白噪声检验白噪声检验延迟阶数LB统计量P值63.580.73371210.820.54411821.710.2452拟合模型口径及拟合效果图拟合模型口径及拟合效果图5.6 条件异方差模型条件异方差模型nARCH模型模型nGARCH模型模型nGARCH模型的变体模型的变体nEGARCH模型模型nIGARCH模型模型nGARCH-M模型模型nAR-GARCH模型模型用时间序列模型来拟合异方差函数ARCH模型模型n假定假定n原理原理n通过构造残差平方序通过构造残差平方序列的

26、列的移动平均移动平均模型来模型来拟合异方差函数拟合异方差函数 nARCH(q)模型结构模型结构(移动平均自相关截尾)GARCH 模型结构模型结构n使用场合使用场合nARCH模型实际上适模型实际上适用于异方差函数短期用于异方差函数短期自相关过程自相关过程 nGARCH模型实际上模型实际上适用于异方差函数长适用于异方差函数长期自相关过程期自相关过程(在在ARCHARCH基础上增加了自基础上增加了自回归部分回归部分)n模型结构模型结构GARCH模型的约束条件模型的约束条件n参数非负参数非负 n参数有界参数有界 EGARCH模型模型IGARCH模型模型GARCH-M模型模型AR-GARCH模型模型GA

27、RCH模型拟合步骤模型拟合步骤n回归拟合回归拟合n残差自相关性检验残差自相关性检验n异方差自相关性检验异方差自相关性检验nARCH模型定阶模型定阶n参数估计参数估计n正态性检验正态性检验例例5.12n使用条件异方差模型拟合某金融时间序列。使用条件异方差模型拟合某金融时间序列。回归拟合回归拟合n拟合模型拟合模型n参数估计参数估计n参数显著性检验参数显著性检验nP P值值0.0001,0.0001,参数高度显著参数高度显著 残差自相关性检验残差自相关性检验n残差序列残差序列DW检验结果检验结果nDurbin h=-2.6011n n拟合残差自回归模型拟合残差自回归模型n方法：逐步回归方法：逐步回归

28、n模型口径模型口径异方差自相关检验异方差自相关检验nPortmanteaPortmantea Q Q检验检验n拉格朗日乘子（拉格朗日乘子（LMLM）检验检验 PortmanteaPortmantea Q Q检验检验n假设条件假设条件n检验统计量检验统计量n检验结果检验结果n拒绝原假设拒绝原假设n接受原假设接受原假设LM检验检验n假设条件假设条件n检验统计量检验统计量n检验结果检验结果n拒绝原假设拒绝原假设n接受原假设接受原假设例例5.12残差序列异方差检验残差序列异方差检验ARCH模型拟合模型拟合n定阶：定阶：GARCH(1,1)n参数估计：极大似然估计参数估计：极大似然估计n拟合模型口径：拟合模型口径：AR(2)-GARCH(1,1)模型检验模型检验n检验方法：正态性检验检验方法：正态性检验n假设条件：假设条件：n检验统计量检验统计量n检验结果检验结果n拒绝原假设拒绝原假设n接受原假设接受原假设例例5.13正态性检验结果正态性检验结果 P值值0.5603 nAR(2)-GARCH(1,1)模型显著成立模型显著成立拟合效果图拟合效果图