固体物理课件——第二章.ppt

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1、第二章 晶体衍射和倒格子本章目的：本章目的：探测、验证第一章所讨论的晶体的周期性、对称性结构。了解某种晶体内的原子排列情况点阵的分布情况。（显微镜、粒子衍射）了解不同基元情况对衍射性质的影响-基元原子分布的影响。基元原子分布的影响。采用手段：采用手段：微观粒子的衍射微观粒子的衍射 波粒二象性。波粒二象性。常用的微观粒子：常用的微观粒子：x射线、电子、中子粒子波参量：能量、波矢（波长）、角频率粒子波参量：能量、波矢（波长）、角频率粒子波可用于探测的原因：粒子波可用于探测的原因：粒子波进入晶体，发生作用（被干扰），不同内部排列方式干扰情况不一样 反之，通过观察被作用后波的表现形式晶体内的原子分布情

2、况。1.电子衍射 电子波受电子和原子核散射，散射很强电子波受电子和原子核散射，散射很强透射力较弱透射力较弱透射力较弱透射力较弱，电子衍射主要用来观察薄膜。nm2.中子衍射 中子主要受中子主要受原子核原子核原子核原子核的散射，轻的原子对于中子的散射也很的散射，轻的原子对于中子的散射也很强，强，所以常用来决定氢、碳在晶体中的位置。另一方面，中子具有磁矩，尤其适合于研究磁性物质的结构。另一方面，中子具有磁矩，尤其适合于研究磁性物质的结构。常见的几种探测手段常见的几种探测手段3.X射线衍射 X射线是由被高电压射线是由被高电压V V加速了的电子打击在加速了的电子打击在“靶极靶极”物质上而物质上而产生的一

3、种产生的一种电磁波电磁波电磁波电磁波。在晶体衍射中，常取在晶体衍射中，常取U-40-40千伏，所以千伏，所以-0.03nm-0.03nm 。衍射：衍射：本质是一种同相干涉。本质是一种同相干涉。可见光波长：可见光波长：380780nm的电磁波的电磁波2 2 2 2、部分被散射、部分被散射、部分被散射、部分被散射（部分吸收或未吸收）部分吸收或未吸收）：内层电子：内层电子：通过电场电场晶体内电子(云)发生受迫振动，电子云成为新散射源，沿各个方向发射等频率等频率的球面电磁波。外层或近自由电子：外层或近自由电子：康普顿效应，能量部分传递给电子，光子频率相应有所增加。X射线与物质的相互作用形式射线与物质的

4、相互作用形式 1 1 1 1、部分被吸收部分被吸收部分被吸收部分被吸收(完全吸收)：如打出内层电子(荧光光电效应光电效应)或俄歇效应俄歇效应。3 3 3 3、部分继续传播部分继续传播部分继续传播部分继续传播当一束当一束X X射线照射到晶体上时，首先被电子所散射，每射线照射到晶体上时，首先被电子所散射，每个电子（个电子（电子云电子云电子云电子云）都是一个新的辐射波源，向空间辐射）都是一个新的辐射波源，向空间辐射出与入射波同频率的电磁波出与入射波同频率的电磁波(向任意方向都有散射，非向任意方向都有散射，非向任意方向都有散射，非向任意方向都有散射，非定向定向定向定向)。可以把晶体中每个原子都看作一个

5、新的散射波源，它们可以把晶体中每个原子都看作一个新的散射波源，它们各自各自各自各自向空间辐射与入射波同频率的电磁波。向空间辐射与入射波同频率的电磁波。这些同频率散射波之间具有这些同频率散射波之间具有干涉作用干涉作用干涉作用干涉作用，即空间任意方向，即空间任意方向上的波都保持相互叠加，但只有在某些特定方向才能保上的波都保持相互叠加，但只有在某些特定方向才能保持持“同相同相同相同相”干涉干涉干涉干涉，波振幅才能，波振幅才能达达到干涉极大，而另一些到干涉极大，而另一些方向上的波则始终是相方向上的波则始终是相互互抵消的，于是就没有衍射线产抵消的，于是就没有衍射线产生。生。X射线衍射的本质射线衍射的本质

6、衍射：衍射：本质是一种同相干涉。本质是一种同相干涉。n n 不使用电子波来探测的原因？不使用电子波来探测的原因？2.1 布拉格反射定律1.1.布拉格布拉格“反射反射”公式公式 衍射加强的条件：衍射加强的条件：n为整数，称为衍射级数。为整数，称为衍射级数。布拉格反射公式布拉格反射公式 BAC1 12 2可见，对入射波波长有要求可见，对入射波波长有要求.不能用可见光进行晶体衍射。不能用可见光进行晶体衍射。2dsin=n形象描述：形象描述：形象描述：形象描述：2d距离内能装入多少个波长，即存在几级衍射。可见，选择合适的，可使只产生一级衍射纹（环）。不是每个晶面都会反射不是每个晶面都会反射不是每个晶面

7、都会反射不是每个晶面都会反射：面间距过小的晶面族，无衍射。衍射的角度衍射的角度2 2（衍射、入射方向的夹角）：不考虑晶面方向不考虑晶面方向 a、与波长成正比，与d成反比。b b、仅考虑一级衍射纹情况(不考虑n级衍射)，一级衍射纹的方向有多个（存在多个晶面）.【此时勿需知道晶面的具体方向，只需知道d的可能取值即可】物理图像物理图像 缺点：缺点：由上分析可知，布拉格方程体现的是由上分析可知，布拉格方程体现的是由上分析可知，布拉格方程体现的是由上分析可知，布拉格方程体现的是晶体结构晶体结构晶体结构晶体结构中晶胞大小及形状的影响。但无具体考虑反映出晶胞中晶胞大小及形状的影响。但无具体考虑反映出晶胞中晶

8、胞大小及形状的影响。但无具体考虑反映出晶胞中晶胞大小及形状的影响。但无具体考虑反映出晶胞中原子的品种和位置对衍射的影响。中原子的品种和位置对衍射的影响。中原子的品种和位置对衍射的影响。中原子的品种和位置对衍射的影响。优点：优点：布拉格方程布拉格方程布拉格方程布拉格方程 将晶体的原子排列将晶体的原子排列将晶体的原子排列将晶体的原子排列(对应的点阵对应的点阵对应的点阵对应的点阵)等等等等效于效于效于效于 一系列平行平面，从而从反射的角度，通过简单的一系列平行平面，从而从反射的角度，通过简单的一系列平行平面，从而从反射的角度，通过简单的一系列平行平面，从而从反射的角度，通过简单的推导，直观地给出了晶

9、体衍射可能出现的各个方向推导，直观地给出了晶体衍射可能出现的各个方向推导，直观地给出了晶体衍射可能出现的各个方向推导，直观地给出了晶体衍射可能出现的各个方向。布拉格方程的优缺点：布拉格方程的优缺点：a a、无法解释实际中部分衍射消失的情况。、无法解释实际中部分衍射消失的情况。、无法解释实际中部分衍射消失的情况。、无法解释实际中部分衍射消失的情况。b b、无法给出衍射波振幅的情况（衍射斑强度）、无法给出衍射波振幅的情况（衍射斑强度）、无法给出衍射波振幅的情况（衍射斑强度）、无法给出衍射波振幅的情况（衍射斑强度）2.2 倒倒 格格 子子 第四节第四节 倒倒 格格 本节（本节（2.4）主要内容）主要

10、内容:2.4.1 2.4.1 倒格定义倒格定义 （G G）2.4.3 2.4.3 倒格与傅里叶变换倒格与傅里叶变换2.4.2 2.4.2 倒格与正格的关系倒格与正格的关系2.4 2.4 倒倒 格格 矢矢 倒格倒格正格矢：正格矢：倒格基矢倒格基矢:倒格矢：倒格矢：电子浓度的傅立叶函数：电子浓度的傅立叶函数：R与与k的联系的联系正格基矢正格基矢:正格正格2.4.1 倒格定义倒格基矢定义为：倒格基矢定义为：其中其中 是正格基矢，是正格基矢，与与 所联系的各点所联系的各点的列阵即为的列阵即为倒格倒格倒格倒格。是固体物理学原胞体积是固体物理学原胞体积一个倒格基矢是和正格原胞中一组晶面相对应的，一个倒格基

11、矢是和正格原胞中一组晶面相对应的，它的它的方向是该晶面的法线方向方向是该晶面的法线方向方向是该晶面的法线方向方向是该晶面的法线方向，它的，它的大小则为该晶面族大小则为该晶面族大小则为该晶面族大小则为该晶面族面间距倒数的面间距倒数的面间距倒数的面间距倒数的2 2 倍倍倍倍。倒倒 格格 基基 矢矢 的的 方方 向向 和和 长长 度度1.2.4.2 2.4.2 倒格与正格的关系（特点）倒格与正格的关系（特点）其中其中 分别为分别为正格点位矢正格点位矢和和倒格点位矢倒格点位矢。2.(为整数为整数)3.3.(其中其中 和和*分别为正、倒格原胞体积分别为正、倒格原胞体积)4.4.倒格矢倒格矢 与正格中晶面

12、族与正格中晶面族(h1h2h3)正交，且其正交，且其长度为长度为 。(1)(1)证明证明 与晶面族与晶面族(h1h2h3)正交。正交。ABCBCOA 设设ABC为晶面族为晶面族(h1h2h3)中离原点最近的晶面，中离原点最近的晶面，ABC在基矢在基矢 上的上的 截距分别为截距分别为 。由图可知：由图可知：所以所以 与晶面族与晶面族(h1h2h3)正交。正交。晶 面 间 距(2)证明证明 的长度等于的长度等于 。由平面方程：由平面方程：得：得：在晶胞坐标系在晶胞坐标系 中，中，晶体结构晶体结构 正格正格 倒格倒格1.1.1.2.与晶体中原子位置与晶体中原子位置 相对应；相对应；2.与晶体中一族晶

13、面相与晶体中一族晶面相对应；对应；3.是与真实空间相联系的是与真实空间相联系的傅里叶空间中点的周期性傅里叶空间中点的周期性排列；排列；3.是真实空间中点的周是真实空间中点的周期性排列；期性排列；4.线度量纲为线度量纲为长度长度4.线度量纲为线度量纲为长度长度-1已知晶体结构已知晶体结构,如何求其倒格呢？如何求其倒格呢？晶体晶体结构结构正格正格正格正格基矢基矢倒格倒格基矢基矢倒格倒格例例1 1：下图是一个二维晶体结构图，试画出其倒格点的排列。：下图是一个二维晶体结构图，试画出其倒格点的排列。倒格是边长为的正方形格子。倒格是边长为的正方形格子。若若a a1 1、a a2 2不垂直，如何求得？不垂直

14、，如何求得？例例2 2：证明体心立方的倒格是面心立方。：证明体心立方的倒格是面心立方。解：解：体心立方的原胞基矢：体心立方的原胞基矢：体 心 立 方 倒 格 矢倒格矢：倒格矢：同理得：同理得：体心立方的倒格是边长为体心立方的倒格是边长为4 4/a的面心立方的面心立方 。面 心 立 方 倒 格 矢例例3 3：证明面心立方的倒格是体心立方。：证明面心立方的倒格是体心立方。b1、b2、b3正是面心立方的基矢表达方式。问题得证。同理：同理：例例4 4：证明简立方晶面：证明简立方晶面(h1 1h2 2h3 3)的面间距为的面间距为证明：证明：简立方：简立方：法一：法一：第二节 散射波振幅 本节将从位相差

15、本节将从位相差本节将从位相差本节将从位相差 krkr 角度出发，角度出发，角度出发，角度出发，【k k沿着任沿着任沿着任沿着任意方向意方向意方向意方向】2 2(或或或或0)0)，分析得到衍射极大位置（，分析得到衍射极大位置（，分析得到衍射极大位置（，分析得到衍射极大位置（结论结论结论结论与布拉格方程相同）。与布拉格方程相同）。与布拉格方程相同）。与布拉格方程相同）。除此之外，它除此之外，它除此之外，它除此之外，它还还还还能分析出基元的影响情况能分析出基元的影响情况能分析出基元的影响情况能分析出基元的影响情况【结结结结构因子构因子构因子构因子】导导导导致振幅致振幅致振幅致振幅发发发发生生生生变变

16、变变化化化化衍射消光衍射消光衍射消光衍射消光。说明：布拉格方程 从“波长角度”n时 本 节 从“相位角度”-2n时布拉格的不足：布拉格的不足：其中，布拉格方程中，只考虑了相位的影响。其中，布拉格方程中，只考虑了相位的影响。本节将作进一步分析，本节将作进一步分析，继续考虑散射强度继续考虑散射强度（振（振幅表示）的影响。幅表示）的影响。描述波动性的三个参数：Asin(kr+t)推导前作合理推导前作合理 假设：假设：空间任何一个空间任何一个“点元点元”受迫振动后，发射出二受迫振动后，发射出二级级球面波，其振幅球面波，其振幅(平均强度平均强度)正比于该处电子正比于该处电子浓度浓度n(rn(r)。点元产

17、生的球面波：点元产生的球面波：(k沿任意方向沿任意方向)x射线从P出发，到目标Q。空间电荷不同点经入射波激发后在各点产生的波函数的情况：a.a.以以O为原点（参考点为原点（参考点,参考电荷量为参考电荷量为1 1），设其经入射波激发后，），设其经入射波激发后，在在Q Q点产生的波函数为点产生的波函数为。b.b.则点元则点元A经经入射波激发后在入射波激发后在Q Q点产生的波函数情况是：点产生的波函数情况是：kPQAkk（1 1）可见，可见，n(rn(r)的表达形式对分析结果具有重要影响。的表达形式对分析结果具有重要影响。若若 n(rn(r)均匀分布均匀分布 常数常数 若若 n(rn(r)具有波函数

18、的表达形式具有波函数的表达形式附加位相差附加位相差点元产生的球面波点元产生的球面波“波函数差波函数差”：总强度总强度（对整个空间积分）：（对整个空间积分）：电子浓度的分布情况电子浓度的分布情况电子浓度的分布情况电子浓度的分布情况 必然对散射具有重要影响。必然对散射具有重要影响。必然对散射具有重要影响。必然对散射具有重要影响。1.1.具有周期性具有周期性2.2.受晶体内部基元分布的影响受晶体内部基元分布的影响因此，若能获得因此，若能获得n(rn(r)的表达式，并代入（的表达式，并代入（1 1）式，）式，即可求得即可求得 晶体的周期性和基元内原子分布对衍射晶体的周期性和基元内原子分布对衍射情况的影

19、响。情况的影响。即：即：即：即：F F F F极大，衍射条纹极大，衍射条纹极大，衍射条纹极大，衍射条纹 F F F F0 0 0 0，消光。，消光。，消光。，消光。n(rn(r)分分布特点布特点傅立叶函数的说明傅立叶函数的说明:1.G 1.G是所有能使是所有能使G G R R=2n=2n 的所有的所有k k的集合。的集合。2.2.系数具体值：略，将来只利用其表达形式即系数具体值：略，将来只利用其表达形式即可，无需具体的值。可，无需具体的值。（2 2）n(r)具有周期性具有周期性傅立叶展开傅立叶展开1、傅立叶函数的说明:1、G是所有能使GR=2n的所有k的集合。2、系数：若系数“常数”，说明有意

20、义。其中，其中，V Vc c为晶体中一个晶胞的体积。为晶体中一个晶胞的体积。（2 2）（3 3）n(r)具有周期性具有周期性傅立叶展开傅立叶展开1、隐藏隐藏显然，傅立叶展开式仍只考虑了晶胞周期性的影响，仍未涉及到基元原子的影响（与布拉格反射一样）。代入上式得散射表达式得当当k kG G时，时，F FV Vn nG G，出现衍射条纹。，出现衍射条纹。G G是所有使是所有使exp(iGexp(iGR)R)1 1的的k k的集合。的集合。结结 论论将kG 上式得到的结果：与布拉格方程：2dsin=n是等价的。相关证明稍后进行。衍射最大条件衍射最大条件：k k k kG G G Gn(r)表达式2考虑

21、各基元原子贡献考虑各基元原子贡献代入散射表达式代入散射表达式代入散射表达式代入散射表达式得：得：2、S SG G：基元基元结构因结构因子子r是相对于格点的坐标R是相对于基元原子的坐标令fj称为原子形状因子称为原子形状因子,它反映原子周围电子云分布对衍射的影响。体心立方体心立方体心立方体心立方面心立方面心立方面心立方面心立方 作为简单立方作为简单立方作为简单立方作为简单立方(惯用晶胞惯用晶胞惯用晶胞惯用晶胞)，有可能，有可能，有可能，有可能出现消光条件，即出现消光条件，即出现消光条件，即出现消光条件，即S S S SG G G G0.0.0.0.形式类似于基元结构因子，形式类似于基元结构因子，只

22、是相对坐标发生改变只是相对坐标发生改变多出来的部分多出来的部分若一基元中含有多个全同原子，则SG有重要意义。2 2、几何结构因子、几何结构因子消光的方向消光的方向结论：1 1、k kG 劳厄方程劳厄方程(布拉格反射布拉格反射)布里渊区概念布里渊区概念第三节第三节 劳厄方程劳厄方程结论应用结论应用1：1、kG 劳厄方程劳厄方程弹性散射中，能量守恒：k kG G k k k kG (2)G (2)得(数量值数量值)：kk (1)Ck k kG G k k k kG G(kG)2 2=k=k2 2 2k2k G=GG=G2 2(kG)2 2=k=k2 2 2k2k G=GG=G2 2G可能含一公因子

23、n，则对应的晶面也是(nh1 nh2 nh3),根据密勒指数定义可知，该面间距为（h1h2h3）面间距的1/n劳厄方程与布拉格反射方程关系劳厄方程与布拉格反射方程关系根据k2=k2 2KG=G22、劳厄方程与布里渊区、劳厄方程与布里渊区 本式所代表的几何意义：沿任一倒格点本式所代表的几何意义：沿任一倒格点(原点原点)出发，作它另一倒格点的连线，则作其中垂面。出发，作它另一倒格点的连线，则作其中垂面。则能满足则能满足(发生发生)衍射的入射波的波矢必然都落在衍射的入射波的波矢必然都落在这些中垂面上。即这些中垂面涵括了所有可能发这些中垂面上。即这些中垂面涵括了所有可能发生衍射的入射波的波矢情况。生衍

24、射的入射波的波矢情况。第一布里渊区实质上就是第一布里渊区实质上就是第一布里渊区实质上就是第一布里渊区实质上就是 倒格子空间的魏格纳倒格子空间的魏格纳倒格子空间的魏格纳倒格子空间的魏格纳塞茨晶胞。塞茨晶胞。塞茨晶胞。塞茨晶胞。结论应用结论应用2：2 2、几何结构因子、几何结构因子 部分衍射的消失（消光）部分衍射的消失（消光）几何结构因子几何结构因子消光的方向消光的方向G 对应某个面的消光实例：消光方向实例：消光方向面心立方晶格的几何结构因子。面心立方晶格的几何结构因子。面心立方平均每个布拉维原胞包含面心立方平均每个布拉维原胞包含4个原子，将其坐标个原子，将其坐标代入公式代入公式:得：得：例例1

25、当当 部分为奇数或部分为偶数时，几何结构因子为部分为奇数或部分为偶数时，几何结构因子为零，相应的反射消失。零，相应的反射消失。金刚石结构的几何结构因子金刚石结构的几何结构因子金刚石结构平均每个布拉维原胞包含金刚石结构平均每个布拉维原胞包含8 8个原子，将其坐标：个原子，将其坐标：代入代入例例2 S1正是在面心立方格点上所放置的基元正是在面心立方格点上所放置的基元 的结构因子的结构因子。一氯化铯结构的一氯化铯结构的AB晶体，晶体，A与与B离子的散射因子分别为离子的散射因子分别为fA和和fB，且为实数。且为实数。(1)(1)求出晶体的几何结构因子；求出晶体的几何结构因子；(2)(2)设设fA=fB，求求衍射消光条件；衍射消光条件；(3)(3)设设fA=fB，粉末衍射中最小衍射角为粉末衍射中最小衍射角为300，X光光波长为波长为求晶格常数。求晶格常数。解解:(1)A A离子坐标为离子坐标为 ,B,B离子坐标为离子坐标为(2)全为奇数时消光全为奇数时消光。例例3体心立方消光面体心立方消光面(3)对应于最小的衍射角对应于最小的衍射角=30=300 0，