2019年数学新同步湘教版必修2第2章 2．3.2 第一课时 抛物线的简单几何性质.doc

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1、23.2 抛物线的简单几何性质抛物线的简单几何性质第一课时第一课时 抛物线的简单几何性质抛物线的简单几何性质读教材读教材填要点填要点抛物线的几何性质抛物线的几何性质类型类型y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py (p0)图象图象焦点焦点 F(p2， ，0)F(p2， ，0)F(0， ，p2)F(0， ，p2)准线准线 xp2xp2yp2yp2范围范围x0，yRx0，yRxR，y0xR，y0对称轴对称轴x 轴轴y 轴轴顶点顶点O(0,0)离心率离心率e1性性质质开口方向开口方向向右向右向左向左向上向上向下向下小问题小问题大思维大思维1抛物线抛物线 y22px(p0)有几

2、条对称轴？是否是中心对称图形？有几条对称轴？是否是中心对称图形？提示：提示：有一条对称轴，即有一条对称轴，即 x 轴，不是中心对称图形轴，不是中心对称图形2抛物线上一点与焦点抛物线上一点与焦点 F 的连线的线段叫作焦半径，过焦点的直线与抛物线相交所的连线的线段叫作焦半径，过焦点的直线与抛物线相交所得弦叫作焦点弦，若得弦叫作焦点弦，若 P(x0，y0)是抛物线上任意一点，焦点弦的端点为是抛物线上任意一点，焦点弦的端点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，根据上述定义，你能完成以下表格吗？根据上述定义，你能完成以下表格吗？标准方程标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x2

3、2py(p0)焦半径焦半径|PF|PF|_|PF|_|PF|_|PF|_焦点弦焦点弦|AB|_|AB|_|AB|_|AB|_|AB|提示：提示：标准方程标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)焦半径焦半径|PF|PF|x0p2|PF|p2x0|PF|y0p2|PF| y0p2焦点弦焦点弦|AB|AB|x1x2p|AB|px1x2|AB|y1y2p|AB|py1y2抛物线方程及其几何性质抛物线方程及其几何性质已知顶点在原点，以已知顶点在原点，以 x 轴为对称轴，且过焦点垂直于轴为对称轴，且过焦点垂直于 x 轴的弦轴的弦 AB 的长为的长为8，求出抛物线的方

4、程，并指出它的焦点坐标和准线方程，求出抛物线的方程，并指出它的焦点坐标和准线方程自主解答自主解答 当焦点在当焦点在 x 轴的正半轴上时，轴的正半轴上时，设方程为设方程为 y22px(p0)当当 x 时，时，yp，p2由由|AB|2p8，得，得 p4.故抛物线方程为故抛物线方程为 y28x，焦点坐标为焦点坐标为(2,0)，准线方程为，准线方程为 x2.当焦点在当焦点在 x 轴的负半轴上时，轴的负半轴上时，设方程设方程 y22px(p0)由对称性知抛物线方程为由对称性知抛物线方程为 y28x，焦点坐标为焦点坐标为(2,0)，准线方程为，准线方程为 x2.用待定系数法求抛物线的标准方程，其主要步骤为

5、：用待定系数法求抛物线的标准方程，其主要步骤为：1已知抛物线的焦点已知抛物线的焦点 F 在在 x 轴上，直线轴上，直线 l 过过 F 且垂直于且垂直于 x 轴，轴，l 与抛物线交于与抛物线交于 A，B两点，两点，O 为坐标原点，若为坐标原点，若OAB 的面积等于的面积等于 4，求此抛物线的标准方程，求此抛物线的标准方程解：解：由题意，抛物线方程为由题意，抛物线方程为 y22px(p0)，焦点焦点 F，直线，直线 l：x ，(p2， ，0)p2A，B 两点坐标为两点坐标为，.(p2， ，p) (p2， ，p)|AB|2|p|.OAB 的面积为的面积为 4， 2|p|4.12|p2|p2.2抛物线

6、方程为抛物线方程为 y24x.2抛物线几何性质的应用抛物线几何性质的应用已知已知 A，B 是抛物线是抛物线 y22px(p0)上两点，上两点，O 为坐标原点，若为坐标原点，若|OA|OB|，且且AOB 的垂心恰是此抛物线的焦点，求直线的垂心恰是此抛物线的焦点，求直线 AB 的方程的方程自主解答自主解答 |OA|OB|，设设 A，B 坐标分别为坐标分别为 A(x0，y0)，B(x0，y0)AOB 的垂心恰是此抛物线的焦点的垂心恰是此抛物线的焦点 F，kFAkOB1，即即1，y0x0p2(y0x0)y x02px0(x00，p0)2 0(x0p2)x0 p.直线直线 AB 的方程为的方程为 x p

7、.5252若将若将“AOB 的垂心恰是此抛物线的焦点的垂心恰是此抛物线的焦点”改为改为“OAOB” ，求，求|AB|的值的值解：解：由题意知，由题意知，AOB 为等腰直角三角形，且为等腰直角三角形，且 A，B 两点关于两点关于 x 轴对称轴对称如图，设如图，设 A(x0，y0)，则，则 kOA1 且且 y 2px0，y0x02 0x0y02p，|AB|2y04p.抛物线的几何性质在解与抛物线有关的问题时具有广泛的应用，但是在解题的过程中抛物线的几何性质在解与抛物线有关的问题时具有广泛的应用，但是在解题的过程中又容易忽视这些隐含条件本题的关键是根据抛物线的对称性可知线段又容易忽视这些隐含条件本题

8、的关键是根据抛物线的对称性可知线段 AB 垂直于垂直于 x轴故求直线轴故求直线 AB 的方程时求出的方程时求出 A 的横坐标即可的横坐标即可2已知已知 A，B 是抛物线是抛物线 y22px(p0)上两点，上两点，O 为坐标原点，若为坐标原点，若 OAOB，且，且 OA 的的方程为方程为 y2x，|AB|5，求抛物线的方程，求抛物线的方程3解：解：OAOB，AOB 为直角三角形为直角三角形OA 所在直线为所在直线为 y2x，OB 所在直线方程为所在直线方程为 y x.12由由Error!Error!得得 A 点坐标点坐标.(p2， ，p)由由Error!Error!得得 B 点坐标为点坐标为(8

9、p，4p)|AB|5，3 5. p4p 2(p28p)2 3p0，解得，解得 p，2 3913所求抛物线方程为所求抛物线方程为 y2x.4 3913抛物线中过焦点的弦长问题抛物线中过焦点的弦长问题过抛物线过抛物线 y24x 的焦点作直线交抛物线于点的焦点作直线交抛物线于点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，若，若|AB|7，求，求 AB 的中点的中点 M 到抛物线准线的距离到抛物线准线的距离自主解答自主解答 抛物线的焦点为抛物线的焦点为 F(1,0)，准线方程为，准线方程为 x1.由抛物线定义知由抛物线定义知|AB|AF|BF|x1 x2 x1x2p，p2p2即即 x1x227，得，得 x1

10、x25，于是弦于是弦 AB 的中点的中点 M 的横坐标为的横坐标为 ，52因此点因此点 M 到抛物线准线的距离为到抛物线准线的距离为 1 .5272抛物线抛物线 y22px(p0)的过焦点的弦长的过焦点的弦长|AB|x1x2p，其中，其中 x1，x2分别是点分别是点 A，B 横横坐标的绝对值；抛物线坐标的绝对值；抛物线 x22py(p0)的过焦点的弦长的过焦点的弦长|AB|y1y2p，其中，其中 y1，y2分别是分别是点点 A，B 纵坐标的绝对值纵坐标的绝对值3已知直线已知直线 l：y4x6 与抛物线与抛物线 y26x 交于交于 A，B 两点，求两点，求|AB|.解：解：设点设点 A，B 的坐

11、标分别是的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)联立联立Error!Error!消去消去 y 得得8x227x180，则则 x1，x2是方程是方程的两根，的两根，x1x2.278y4x64过抛物线的焦点过抛物线的焦点，(x32)(32， ，0)|AB|x1x233.278518解题高手解题高手 妙解题妙解题 什么是智慧，智慧就是简单、高效、不走弯路什么是智慧，智慧就是简单、高效、不走弯路已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为 x 轴，且与圆轴，且与圆 x2y24 相交于相交于 A，B 两点，两点，|AB|2，求抛物线方程，求抛物线方程3巧思巧思 抛物线与圆相

12、交，根据已知可设抛物线方程为抛物线与圆相交，根据已知可设抛物线方程为 y2ax(a0)，由圆和抛物线的，由圆和抛物线的对称性，可判断对称性，可判断 A 与与 B 关于关于 x 轴对称，结合轴对称，结合|AB|2可得可得 A，B 坐标，从而求出方程坐标，从而求出方程3妙解妙解 由已知抛物线的焦点可能在由已知抛物线的焦点可能在 x 轴正半轴上，也可能在负半轴上轴正半轴上，也可能在负半轴上故可设抛物线方程为故可设抛物线方程为 y2ax(a0)设抛物线与圆设抛物线与圆 x2y24 的交点的交点 A(x1，y1)，B(x2，y2)抛物线抛物线 y2ax(a0)与圆与圆 x2y24 都关于都关于 x 轴对

13、称，轴对称，点点 A 与与 B 关于关于 x 轴对称轴对称|y1|y2|且且|y1|y2|2.3|y1|y2|.3代入圆代入圆 x2y24 得得 x234，解得，解得 x1，A(1，)或或 A(1，)33代入抛物线方程，得代入抛物线方程，得()2a，a3.3所求抛物线方程是所求抛物线方程是 y23x 或或 y23x.1顶点在原点，焦点为顶点在原点，焦点为 F的抛物线的标准方程是的抛物线的标准方程是( )(32， ，0)Ay2 x By23x32Cy26xDy26x解析：解析：抛物线的焦点为抛物线的焦点为，(32， ，0)p3，且抛物线开口向右，且抛物线开口向右，抛物线的标准方程为抛物线的标准方

14、程为 y26x.答案：答案：C2抛物线抛物线 y28x 上的点上的点 P 到焦点的距离的最小值是到焦点的距离的最小值是( )A2B4C6D8解析：解析：设抛物线上的点设抛物线上的点 P 的坐标为的坐标为(x0，y0)，则，则 P 点到焦点的距离点到焦点的距离 d|x0| ，故，故p2dmin 2.p2答案：答案：A3边长为边长为 1 的等边三角形的等边三角形 OAB，O 为原点，为原点，ABx 轴，以轴，以 O 为顶点且过为顶点且过 A，B 的抛的抛物线方程为物线方程为( )Ay2xBy2x3636Cy2xDy2x3633解析：解析：由题意可知，抛物线的对称轴为由题意可知，抛物线的对称轴为 x

15、 轴，当抛物线开口向右时，设抛物线方程为轴，当抛物线开口向右时，设抛物线方程为y22px(p0)，且，且 A 为为 x 轴上方的点，则易求轴上方的点，则易求 A，(32， ，12) p.p.143312抛物线方程为抛物线方程为 y2x.36同理，当抛物线开口向左时，抛物线方程为同理，当抛物线开口向左时，抛物线方程为 y2x.36答案：答案：C4已知已知 AB 是抛物线是抛物线 2x2y 的焦点弦，若的焦点弦，若|AB|4，则，则 AB 的中点的纵坐标为的中点的纵坐标为_解析：解析：设设 AB 的中点为的中点为 P(x0，y0)，分别过，分别过 A，P，B 三点作准线的垂线，垂足分别为三点作准线

16、的垂线，垂足分别为A，Q Q，B.由题意得由题意得|AA|BB|AB|4，|PQ Q|2.又又|AA|BB|2|PQ Q|y0 ，所以，所以 y0 2，解得，解得 y0.1818158答案：答案：1585抛物线抛物线 y2x 上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为_解析：解析：设所求点设所求点(x0，y0)，则，则 x y 2，2 02 0(x014)又又 y x0，2 0x0 .y0.1824答案：答案：(18， ， 24)6已知过抛物线已知过抛物线 y24x 的焦点的焦点 F 的弦长为的弦长为 36，求弦所在的直线的方程，求弦所在的直线的方程解：解：抛物线

17、抛物线 y24x 的焦点为的焦点为 F(1,0)，过焦点过焦点 F，垂直于，垂直于 x 轴的弦长为轴的弦长为 436.弦所在直线斜率存在，弦所在直线斜率存在，由题意可设弦所在的直线的斜率为由题意可设弦所在的直线的斜率为 k，且与抛物线交于，且与抛物线交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点两点设直线方程为设直线方程为 yk(x1)由由Error!Error!消去消去 y，整理得整理得 k2x2(2k24)xk20，x1x2.2k24k2|AB|AF|BF|x1x222.2k24k2又又|AB|36，236.2k24k2k.24故所求直线的方程为故所求直线的方程为 yx1 或或 yx1.24

18、24一、选择题一、选择题1设抛物线的焦点到顶点的距离为设抛物线的焦点到顶点的距离为 3，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是( )A(6，)B6，)C(3，)D3，)解析：解析：抛物线的焦点到顶点的距离为抛物线的焦点到顶点的距离为 3， 3，即，即 p6.p2又抛物线上的点到准线的距离的最小值为又抛物线上的点到准线的距离的最小值为 ，p2抛物线上的点到准线的距离的取值范围为抛物线上的点到准线的距离的取值范围为3，)答案：答案：D2过抛物线的焦点且垂直于其对称轴的弦是过抛物线的焦点且垂直于其对称轴的弦是 AB，抛物线的准线交，抛物线的准线交 x 轴于点轴

19、于点 M，则，则AMB 是是( )A锐角锐角B直角直角C钝角钝角D锐角或钝角锐角或钝角解析：解析：由题意可得由题意可得|AB|2p.又焦点到准线距离又焦点到准线距离|FM|p，F 为为 AB 中点，中点，|FM| |AB|.12AMB 为直角三角形且为直角三角形且AMB90.答案：答案：B3已知抛物线已知抛物线 y24x 的焦点为的焦点为 F，准线，准线 l 交交 x 轴于轴于 R，过抛物线上点，过抛物线上点 P(4，4)作作PQ Ql 于于 Q Q，则梯形，则梯形 PQ QRF 的面积是的面积是( )A18B16C14D12解析：解析：由题意知由题意知 PQ QRF 为一直角梯形，为一直角梯

20、形，其中其中 PQ QRF，且，且|PQ Q|415，|RF|2，SPQ QRF414.522答案：答案：C4设设 M(x0，y0)为抛物线为抛物线 C：x28y 上一点，上一点，F 为抛物线为抛物线 C 的焦点，以的焦点，以 F 为圆心、为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线为半径的圆和抛物线 C 的准线相交，则的准线相交，则 y0的取值范围是的取值范围是( )A(0,2)B0,2C(2，)D2，)解析：解析：圆心到抛物线准线的距离为圆心到抛物线准线的距离为 p，即，即 4，根据已知只要根据已知只要|FM|4 即可即可根据抛物线定义，根据抛物线定义，|FM|y02，由，由 y024，解得解得 y

21、02，故，故 y0的取值范围是的取值范围是(2，)答案：答案：C二、填空题二、填空题5以原点为顶点，以原点为顶点，x 轴为对称轴且焦点在轴为对称轴且焦点在 2x4y30 上的抛物线方程是上的抛物线方程是_解析：解析：由题意知，抛物线的焦点为由题意知，抛物线的焦点为 F，(32， ，0)抛物线方程是抛物线方程是 y26x.答案：答案：y26x6若抛物线若抛物线 y2mx 与椭圆与椭圆1 有一个共同的焦点，则有一个共同的焦点，则 m_.x29y25解析：解析：椭圆的焦点为椭圆的焦点为(2,0)当抛物线焦点为当抛物线焦点为(2,0)时，时，m8，当抛物线焦点为，当抛物线焦点为(2,0)时，时，m8.

22、答案：答案：87对于抛物线对于抛物线 y24x 上任意一点上任意一点 Q Q，点，点 P(a,0)都满足都满足|PQ Q|a|，则，则 a 的取值范围是的取值范围是_解析：解析：设点设点 Q Q 的坐标为的坐标为.(y2 04， ，y0)由由|PQ Q|a|，得，得|PQ Q|2a2，即，即 y 2a2，2 0(y2 04a)整理整理，得得 y (y 168a)0.2 0 2 0y 0，y 168a0.即即 a2恒成立恒成立2 02 0y2 08而而 2的最小值为的最小值为 2，a2.y2 08答案：答案：(，28已知顶点与原点已知顶点与原点 O 重合，准线为直线重合，准线为直线 x 的抛物线

23、上有两点的抛物线上有两点 A(x1，y1)和和14B(x2，y2)，若，若 y1y21，则，则AOB 的大小是的大小是_解析：解析：由已知得抛物线方程为由已知得抛物线方程为 y2x，因此，因此x1x2y1y2y y y1y2OAOB2 1 2 2(1)2(1)0.OAOBAOB90.答案答案：90三、解答题三、解答题9若抛物线的顶点是双曲线若抛物线的顶点是双曲线 16x29y2144 的中心，准线过双曲线的左顶点，且垂的中心，准线过双曲线的左顶点，且垂直于坐标轴，求抛物线的标准方程直于坐标轴，求抛物线的标准方程解：解：双曲线方程双曲线方程 16x29y2144，化为标准形式为，化为标准形式为1

24、，中心为原点，左顶点为，中心为原点，左顶点为x29y216(3,0)，故抛物线顶点在原点，准线为，故抛物线顶点在原点，准线为 x3.由题意可设抛物线的标准方程为由题意可设抛物线的标准方程为y22px(p0)，可得，可得 3，故，故 p6.因此，所求抛物线的标准方程为因此，所求抛物线的标准方程为 y212x.p210证明：以抛物线的焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切证明：以抛物线的焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切证明：证明：如图，设抛物线方程如图，设抛物线方程 y22px(p0)，准线为，准线为 l，AB 为抛物线的为抛物线的焦点弦，点焦点弦，点 P 为为 AB 的中点，的中点，P 为以为以 AB 为直径的圆的圆心，为直径的圆的圆心，AMl，BNl，PQ Ql，垂足分别为，垂足分别为 M，N，Q Q.则则|AB|AF|BF|AM|BN|2|PQ Q|，即即|PQ Q| |AB|，12所以以所以以 AB 为直径的圆必与准线相切为直径的圆必与准线相切即得证即得证