2019年数学新同步湘教版必修2第5章 章末小结数系的扩充与复数.doc

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1、1虚数单位虚数单位 i(1)i21(即即1 的平方根是的平方根是i)(2)实数可以与实数可以与 i 进行四则运算，进行运算时原有的加、乘运算律仍然成立进行四则运算，进行运算时原有的加、乘运算律仍然成立(3)i 的幂具有周期性：的幂具有周期性：i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i(nN)，则有，则有inin1in2in30(nN)2复数的分类复数的分类复数复数 abi(a，bR)Error!Error!3共轭复数共轭复数设复数设复数 z 的共轭复数为的共轭复数为 ，则，则z(1)z |z|2| |2；zz(2)z 为实数为实数z ；z 为纯虚数为纯虚数z .zz4复数相等的条件复数相等的

2、条件复数相等的充要条件为复数相等的充要条件为 abicdiac，bd(a，b，c，dR)特别地，特别地，abi0ab0(a，bR)5复数的运算复数的运算(1)加法和减法运算：加法和减法运算：(abi)(cdi)(ac)(bd)i(a，b，c，dR)(2)乘法和除法运算：复数的乘法按多项式相乘进行运算，即乘法和除法运算：复数的乘法按多项式相乘进行运算，即(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i；复数除法是乘法的逆运算，其实质是分母实数化；复数除法是乘法的逆运算，其实质是分母实数化复数的概念复数的概念例例 1 复数复数 zlog3(x23x3)ilog2(x3)，当，当 x 为何实数时，为何

3、实数时，(1)zR？(2)z 为虚数？为虚数？(3)z 为纯虚数？为纯虚数？解解 (1)一个复数是实数的充要条件是虚部为一个复数是实数的充要条件是虚部为 0，Error!Error!由由得得 x4，经验证满足，经验证满足式式当当 x4 时，时，zR.(2)一个复数是虚数的充要条件是虚部不等于一个复数是虚数的充要条件是虚部不等于 0，Error!Error!解得解得Error!Error!即即4.3 212当当4 时，时，z 为虚数为虚数3 212(3)一个复数是纯虚数的充要条件是其实部为一个复数是纯虚数的充要条件是其实部为 0 且虚部不为且虚部不为 0，Error!Error!解得解得Erro

4、r!Error!无解无解复数复数 z 不可能是纯虚数不可能是纯虚数解决此类问题的关键是正确理解复数的分类与复数的实部和虚部之间的关系，另外要解决此类问题的关键是正确理解复数的分类与复数的实部和虚部之间的关系，另外要注意某些函数的定义域注意某些函数的定义域1若复数若复数 z(2i)为纯虚数，求实数为纯虚数，求实数 a.a2i1i解：解：z(2i)(2i)a2i1i a2i 1i 2(2i) a2 2a i2 i 为纯虚数，为纯虚数，a62a20，即，即 a6.a622已知已知 z(x0)，且复数，且复数 z(zi)的实部减去它的虚部所得的差等于的实部减去它的虚部所得的差等于 ，求，求xi1i32

5、 .解：解：z(zi)xi1i(xi1ii)i.xi1ix11ix12x2x2根据题意根据题意 ，得，得 x213.x12x2x232x0，x2， 3i.32 .(323i)(323i)454复数的四则运算复数的四则运算例例 2 计算：计算：(1)； 22i 4 1 3i 5(2)(2i)(15i)(34i)2i.解解 (1)原式原式16 1i 4 1 3i 4 1 3i 16 2i 2 22 3i 2 1 3i 1i.644 1 3i 2 1 3i 16 1 3i 441 3i3(2)原式原式(311i)(34i)2i5321i2i5323i.复数加减乘除运算的实质是实数的加减乘除，加减法是

6、对应实、虚部相加减，而乘法复数加减乘除运算的实质是实数的加减乘除，加减法是对应实、虚部相加减，而乘法类比多项式乘法，除法类比分式的分子分母有理化，注意类比多项式乘法，除法类比分式的分子分母有理化，注意 i21.3计算计算.1i 1i 21i 1i 2解：解：1.1i 1i 21i 1i 21i2i1i2i2i2i4若复数若复数 z12i(i 为虚数单位为虚数单位)，求，求 z z.z解：解：z12i， 12i.zz z(12i)(12i)(12i)512i62i.z复数问题实数化复数问题实数化例例 3 设存在复数设存在复数 z 同时满足下列条件：同时满足下列条件：(1)复数复数 z 在复平面内

7、对应的点位于第二象限；在复平面内对应的点位于第二象限；(2)z 2iz8ai(aR)试求试求 a 的取值范围的取值范围z解解 设设 zxyi(x，yR)，则，则 xyi.z由由(1)，知，知 x0，y0.又又 z 2iz8ai(aR)，z故故(xyi)(xyi)2i(xyi)8ai，即即(x2y22y)2xi8ai.Error!Error!消去消去 x，整理，得，整理，得 4(y1)236a2，y0，4(y1)20.36a20.6a6.又又 2xa，而，而 x0，a0.6a0.a 的取值范围为的取值范围为6,0)复数问题实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的思想方法，桥梁是设复数问题实数化是

8、解决复数问题的最基本也是最重要的思想方法，桥梁是设zxyi(x，yR)，依据是复数相等的充要条件，依据是复数相等的充要条件5已知复数已知复数 z(1i)213i.(1)求求|z|；(2)若若 z2azb ，求实数，求实数 a，b 的值的值z解：解：z(1i)213i2i13i1i.(1)|z|.12122(2)z2azb(1i)2a(1i)b2iaaibab(a2)i， 1i，zab(a2)i1i，Error!Error!a3，b4.复数的几何意义复数的几何意义例例 4 已知已知 z 是复数，是复数，z2i，均为实数均为实数(i 为虚数单位为虚数单位)，且复数，且复数(zai)2在复平面在复平

9、面z2i上对应的点在第一象限，求实数上对应的点在第一象限，求实数 a 的取值范围的取值范围解解 设设 zxyi(x，yR)，则则 z2ix(y2)i， (xyi)(2i)z2ixyi2i15 (2xy) (2yx)i.1515由题意知由题意知Error!Error!Error!Error!z42i.(zai)24(a2)i2(124aa2)8(a2)i，由已知得由已知得Error!Error!2a6.实数实数 a 的取值范围是的取值范围是(2,6)复数复数 zabi(a，bR)和复平面上的点和复平面上的点 P(a，b)一一对应，和向量一一对应，和向量一一对应，正一一对应，正OP确求出复数的实部

10、和虚部是解决此类题目的关键确求出复数的实部和虚部是解决此类题目的关键6已知等腰梯形已知等腰梯形 OABC 的顶点的顶点 A，B 在复平面上对应的复数分别为在复平面上对应的复数分别为12i，26i，OABC.求顶点求顶点 C 所对应的复数所对应的复数 z.解：解：设设 zxyi，x，yR，如图，如图，因为因为 OABC，|OC|BA|，所以所以 kOAkBC，|zC|zBzA|，即即Error!Error!解得解得Error!Error!或或Error!Error!因为因为|OA|BC|，所以所以 x3，y4(舍去舍去)，故故 z5.(时间时间 120 分钟，满分分钟，满分 150 分分)一、选

11、择题一、选择题(本大题共本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 60 分在每小题给出的四个选项中，分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的)1把复数把复数 z 的共轭复数记作的共轭复数记作，i 为虚数单位若为虚数单位若 z1i，则，则(1z)( )zzA3i B3iC13i D3解析：解析：(1z)(2i)(1i)3i.z答案：答案：A2(全国卷全国卷)设复数设复数 z 满足满足(1i)z2i，则，则|z|( )A. B.1222C.D22解析：解析：因为因为 zi(1i)1i，所以，所以|z|.2i1i2i 1i 1i 1i 2答案

12、：答案：C3复数复数 z13i，z21i，则，则 zz1z2在复平面内对应的点位于在复平面内对应的点位于( )A第一象限第一象限 B第二象限第二象限C第三象限第三象限 D第四象限第四象限解析：解析：zz1z2(3i)(1i)33iii242i.在复平面内对应的点为在复平面内对应的点为(4，2)，位于第四象限，位于第四象限答案：答案：D4已知已知 z 是纯虚数，是纯虚数，是实数，那么是实数，那么 z 等于等于( )z21iA2i BiCi D2i解析：解析：设设 zbi(b0)，则，则.z21i2bi1i 2bi 1i 2 2b 2b i2是实数，是实数，2b0.z21ib2，z2i.答案：答案

13、：D5设设 z1i(i 是虚数单位是虚数单位)，则，则 z2( )2zA1i B1iC1i D1i解析：解析： z2(1i)21i2i1i.2z21i答案：答案：D6已知复数已知复数 z12ai(aR)，z212i，若，若为纯虚数，则为纯虚数，则|z1|( )z1z2A. B.23C2 D.5解析：解析：由于由于z1z22ai12i 2ai 12i 12i 12i 为纯虚数，则为纯虚数，则 a1，22a 4a i5则则|z1|，故选，故选 D.5答案：答案：D7若若 z1(2x1)yi 与与 z23xi(x，yR)互为共轭复数，则互为共轭复数，则 z1对应的点在对应的点在( )A第一象限第一象

14、限 B第二象限第二象限C第三象限第三象限 D第四象限第四象限解析：解析：由由 z1，z2互为共轭复数，得互为共轭复数，得Error!Error!解得解得Error!Error!所以所以 z1(2x1)yi3i.由复数的几何意义知由复数的几何意义知 z1对应的点在第三象限对应的点在第三象限答案：答案：C8(全国卷全国卷)设有下面四个命题：设有下面四个命题：p1：若复数：若复数 z 满足满足 R，则，则 zR；1zp2：若复数：若复数 z 满足满足 z2R，则，则 zR；p3：若复数：若复数 z1，z2满足满足 z1z2R，则，则 z12；zp4：若复数：若复数 zR，则，则 R.z其中的真命题为

15、其中的真命题为( )Ap1，p3 Bp1，p4Cp2，p3 Dp2，p4解析：解析：设复数设复数 zabi(a，bR)，对于，对于p1， R，b0，zR，p1是真命题；是真命题；1z1abiabia2b2对于对于 p2，z2(abi)2a2b22abiR，ab0，a0 或或 b0，p2不是真命不是真命题；题；对于对于 p3，设，设 z1xyi(x，yR)，z2cdi(c，dR)，则则 z1z2(xyi)(cdi)cxdy(dxcy)iR，dxcy0，取，取 z112i，z212i，z12，zp3不是真命题；不是真命题；对于对于 p4，zabiR，b0， abiaR，zp4是真命题是真命题答案：

16、答案：B9若复数若复数 z1i(i 为虚数单位为虚数单位)，是是 z 的共轭复数，则的共轭复数，则 z2 2的虚部为的虚部为( )zzA0 B1C1 D2解析：解析：因为因为 z1i，所以，所以1i，z所以所以 z2 2(1i)2(1i)22i2i0.z故故 z2 2的虚部为的虚部为 0.z答案：答案：A10定义运算定义运算adbc，则符合条件，则符合条件42i 的复数的复数 z 为为( )|a b c d|1 1 z zi|A3i B13iC3i D13i解析：解析：由定义知由定义知ziz，|1 1 z zi|得得 ziz42i，即，即 z3i.42i1i答案：答案：A11ABC 的三个顶点

17、所对应的复数分别为的三个顶点所对应的复数分别为 z1，z2，z3，复数，复数 z 满足满足|zz1|zz2| |zz3|，则，则 z 对应的点是对应的点是ABC 的的( )A外心外心 B内心内心C重心重心 D垂心垂心解析：解析：设复数设复数 z 与复平面内的点与复平面内的点 Z 相对应，由相对应，由ABC 的三个顶点所对应的复数分别为的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3及及|zz1|zz2|zz3|可知点可知点 Z 到到ABC 的三个顶点的距离相等，由三角形外的三个顶点的距离相等，由三角形外心的定义可知，点心的定义可知，点 Z 即为即为ABC 的外心的外心答案：答案：A12若若 1i

18、是关于是关于 x 的实系数方程的实系数方程 x2bxc0 的一个复数根，则的一个复数根，则( )2Ab2，c3 Bb2，c3Cb2，c1 Db2，c1解析：解析：因为因为 1i 是实系数方程的一个复数根，所以是实系数方程的一个复数根，所以 1i 也是方程的根，也是方程的根，22则则 1i1i2b，(1i)(1i)3c，2222解得解得 b2，c3.答案：答案：B二、填空题二、填空题(本大题共本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分把答案填在题中横线上分把答案填在题中横线上)13已知复数已知复数 z123i，z2abi，z314i，它们在复平面上所对应的点分别为，它

19、们在复平面上所对应的点分别为A，B，C.若若2，则，则 a_，b_.OCOAOB解析：解析：2OCOAOB14i2(23i)(abi)即即Error!Error! Error!Error!答案答案：3 1014若复数若复数 z 满足方程满足方程 ii1，则，则 z_.z解析：解析： ii1，z (i1)(i)1i.zi1iz1i.答案：答案：1i15i 是虚数单位，是虚数单位，2 0186_.(21i)(1i1i)解析：解析：原式原式1 00961 009i6i1009i6(21i)2(1i1i)(22i)i42521i42ii21i.答案：答案：1i16设设 z1是复数，是复数，z2z1i1

20、(其中其中1表示表示 z1的共轭复数的共轭复数)，已知，已知 z2的实部是的实部是 1，则，则 z2zz的虚部是的虚部是_解析：解析：设设 z1abi(a，bR)，则，则1abi，zz2abii(abi)(ab)(ab)i.由已知得由已知得 ab1.z2的虚部为的虚部为1.答案：答案：1三、解答题三、解答题(本大题共本大题共 6 小题，满分小题，满分 70 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤演算步骤)17(本小题满分本小题满分 10 分分)已知复数已知复数 z123i，z2.求：求：(1)z1z2；(2).155i 2i 2z1z2解解：z21

21、3i.155i 2i 2(1)z1z2(23i)(13i)79i.(2)i.z1z223i13i111031018(本小题满分本小题满分 12 分分)已知已知 z1(xy)(x2xy2y)i，z2(2xy)(yxy)i，问，问x，y 取什么实数值时，取什么实数值时，(1)z1，z2都是实数；都是实数；(2)z1，z2互为共轭复数互为共轭复数解：解：(1)由题意得由题意得Error!Error!解得解得Error!Error!或或Error!Error!所以当所以当Error!Error!或或Error!Error!时，时，z1，z2都是实数都是实数(2)由题意得由题意得Error!Error!

22、解得解得Error!Error!或或Error!Error!所以当所以当Error!Error!或或Error!Error!时，时，z1，z2互为共轭复数互为共轭复数19(本小题满分本小题满分 12 分分)已知复数已知复数 z 满足满足(12i) 43i.z(1)求复数求复数 z；(2)若复数若复数(zai)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数在复平面内对应的点在第一象限，求实数 a 的取值范围的取值范围解：解：(1)(12i) 43i，z 2i，z2i.z43i12i 43i 12i 12i 12i 105i5(2)由由(1)知知 z2i，则，则(zai)2(2iai)22(a1)i24(

23、a1)24(a1)i，复数复数(zai)2在复平面内对应的点在第一象限，在复平面内对应的点在第一象限，Error!Error!解得解得1a1，即实数即实数 a 的取值范围为的取值范围为(1,1)20(本小题满分本小题满分 12 分分)已知复数已知复数 z1i(1i)3.(1)求求|z1|；(2)若若|z|1，求，求|zz1|的最大值的最大值解：解：(1)z1i(1i)3i(1i)2(1i)22i，|z1|2.22 2 22(2)如图所示，由如图所示，由|z|1 可知，可知，z 在复平面内对应的点的轨迹是半径为在复平面内对应的点的轨迹是半径为1，圆心为，圆心为 O(0,0)的圆，而的圆，而 z1

24、对应着坐标系中的点对应着坐标系中的点 Z1(2，2)所以所以|zz1|的最大值可以看成是点的最大值可以看成是点 Z1(2，2)到圆上的点的距离的最大值由到圆上的点的距离的最大值由图知图知 |zz1|max|z1|r(r 为圆半径为圆半径)21.221(本小题满分本小题满分 12 分分)设设 为复数为复数 z 的共轭复数，满足的共轭复数，满足|z |2.zz3(1)若若 z 为纯虚数，求为纯虚数，求 z.(2)若若 z2为实数，求为实数，求|z|.z解：解：(1)设设 zbi(bR 且且 b0)，则，则 bi，z因为因为|z |2，则，则|2bi|2，即，即|b|，z333所以所以 b，所以，所

25、以 zi.33(2)设设 zabi(a，bR)，则，则 abi，z因为因为|z |2，则，则|2bi|2，即，即|b|，z333因为因为 z2abi(abi)2aa2b2(b2ab)i.zz2为实数，为实数，z所以所以 b2ab0.因为因为|b|，所以，所以 a ，312所以所以|z| .(12)2 3 213222(本小题满分本小题满分 12 分分)已知已知 z1是虚数，是虚数，z2z1是实数，且是实数，且1z21.1z1(1)求求|z1|的值以及的值以及 z1的实部的取值范围；的实部的取值范围；(2)若若 ，求证：，求证： 为纯虚数为纯虚数1z11z1解：解：设设 z1abi(a，bR，且，且 b0)(1)z2z1abii.1z11abi(aaa2b2) (bba2b2)因为因为 z2是实数，是实数，b0，于是有，于是有 a2b21，即，即|z1|1，所以所以 z22a.由由1z21，得，得12a1，解得，解得 a ，1212即即 z1的实部的取值范围是的实部的取值范围是.12， ，12(2)i.1z11z11abi1abi1a2b22bi 1a 2b2ba1因为因为 a，b0，所以，所以 为纯虚数为纯虚数12， ，12