2019年数学新同步湘教版必修2第5章 5.3 复数的四则运算.doc

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1、53复数的四则运算复数的四则运算读教材读教材填要点填要点复数的四则运算复数的四则运算一般地，设一般地，设 z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，有，有(1)加法：加法：z1z2ac(bd)i.(2)减法：减法：z1z2ac(bd)i.(3)乘法：乘法：z1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i.(4)除法：除法：i(cdi0)z1z2abicdiacbdc2d2bcadc2d2小问题小问题大思维大思维1若复数若复数 z1，z2满足满足 z1z20，能否认为，能否认为 z1z2?提示：提示：不能如不能如 2ii0，但，但 2i 与与 i 不能比较大小不能比较大小2复数的乘法满足

2、我们以前学过的完全平方公式、平方差公式吗？复数的乘法满足我们以前学过的完全平方公式、平方差公式吗？提示：提示：复数的乘法类似多项式的乘法，满足完全平方公式和平方差公式复数的乘法类似多项式的乘法，满足完全平方公式和平方差公式3如何辨析复数除法与实数除法的关系？如何辨析复数除法与实数除法的关系？提示：提示：复数的除法和实数的除法有所不同，实数的除法可以直接约分、化简得出结果；复数的除法和实数的除法有所不同，实数的除法可以直接约分、化简得出结果；而复数的除法是先将两复数的商写成分式，然后分母实数化而复数的除法是先将两复数的商写成分式，然后分母实数化复数的加减运算复数的加减运算已知已知 z1(3xy)

3、(y4x)i，z2(4y2x)(5x3y)i(x，yR)，若，若 z1z2 132i，求，求 z1，z2.自主解答自主解答 z1z2(3xy)(y4x)i(4y2x)(5x3y)i(3xy)(4y2x)(y4x)(5x3y)i(5x3y)(x4y)i.又又z1z2132i，(5x3y)(x4y)i132i.Error!Error!解得解得Error!Error!z1(321)(142)i59i.z24(1)22523(1)i87i.对复数进行加减运算时，先分清复数的实部与虚部，然后将实部与实部、虚部与虚部对复数进行加减运算时，先分清复数的实部与虚部，然后将实部与实部、虚部与虚部分别相加减分别相

4、加减1(1)计算：计算：(2i).(1312i)(4332i)(2)已知复数已知复数 z 满足满足 z13i52i，求，求 z.解：解：(1)(2i)(1312i)(4332i)i1i.(13243) (12132)(2)法一：法一：设设 zxyi(x，yR)，因为因为 z13i52i，所以所以 xyi(13i)52i，即即 x15 且且 y32，解得解得 x4，y1，所以所以 z4i.法二：法二：因为因为 z13i52i，所以所以 z(52i)(13i)4i.复数的乘除运算复数的乘除运算计算：计算： (1)(1i)(1i)(1i)；(2)(1i)；(1232i)(3212i)(3)(23i)

5、(12i)；(4)(529i)(73i)55自主解答自主解答 (1)(1i)(1i)(1i)1i2(1i)21i1i.(2)(1i)(1232i)(3212i)(1i)(3434)(3414)i(1i)(3212i)i(3212) (1232)i.1 321 32(3)原式原式23i12i 23i 12i 12i 12i i. 26 34 i12224575(4)原式原式529 5i73 5i 529 5i 73 5i 73 5i 73 5i 3529 15 15 529 7 5 i72 3 5 252i.470188 5i945(1)三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律

6、运算，混合运算三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算，混合运算和实数的运算顺序一样和实数的运算顺序一样(2)复数的除法法则难以记忆，在做题时，牢记分母复数的除法法则难以记忆，在做题时，牢记分母“实数化实数化”即可即可2(1)已知复数已知复数 z148i，z269i，求复数，求复数(z1z2)i 的实部与虚部；的实部与虚部；(2)已知已知 z 是纯虚数，是纯虚数，是实数，求是实数，求 z.z21i解：解：(1)由题意得由题意得 z1z2(48i)(69i)(46)(8i9i)2i，则则(z1z2)i(2i)i2ii212i.于是复数于是复数(z1z2)i 的实部是的实部是

7、 1，虚部是，虚部是2.(2)设纯虚数设纯虚数 zbi(bR)，则则.z21ibi21i bi2 1i 1i 1i b2 b2 i2由于由于是实数，所以是实数，所以 b20，即，即 b2，所以，所以 z2i.z21i复数范围内的方程问题复数范围内的方程问题若关于若关于 x 的方程的方程 x2(12i)x(3m1)i0 有实根，求纯虚数有实根，求纯虚数 m 的值的值自主解答自主解答 设设 mbi(b0)，x0为一实根，代入原方程得为一实根，代入原方程得 x (12i)x0(3bi1)i0.2 0(x x03b)(2x01)i0.2 0Error!Error!解得解得Error!Error!mi.

8、112若将若将“求纯虚数求纯虚数 m”改为改为“求实数求实数 m” ，如何求解？，如何求解？解：解：x2(12i)x(3m1)i0，即即(x2x)(2x3m1)i0，Error!Error!Error!Error!或或Error!Error!即即 m 或或 .1313复数方程问题，常借助复数相等的充要条件转化为实数问题解决复数方程问题，常借助复数相等的充要条件转化为实数问题解决3已知关于已知关于 x 的方程的方程 x2kxi0 有一根是有一根是 i，求，求 k 的值的值解：解：因为因为 i 为方程为方程 x2kxi0 的一个根，的一个根，所以代入原方程，得所以代入原方程，得 i2kii0.所以

9、所以 k1i.1ii 1i ii2计算：计算：1ii2i3i2 018.解解 法一：法一：ii2i3i40，inin1in2in30.1ii2i3i2 0181ii2(i3i4i5i6)(i7i8i9i10)(i2 015i2 016i2 017i2 018)1ii2i.法二：法二：1ii2i2 0181i2 0191i1i504 431ii.1i31i1i1i1(62i)(3i1)等于等于( )A33i B55iC7i D55i解析：解析：(62i)(3i1)(61)(23)i55i.答案：答案：B2(全国卷全国卷)( )3i1iA12i B12iC2i D2i解析：解析：2i.3i1i 3

10、i 1i 1i 1i 42i2答案：答案：D3已知复数已知复数 z1i，则，则( )z22zz1A2i B2iC2 D2解析：解析：法一：法一：因为因为 z1i，所以所以2i.z22zz1 1i 22 1i 1i12i法二：法二：由已知得由已知得 z1i，而，而 2i.z22zz1 z1 21z1 i 21i2i答案：答案：B4若若 z时，求时，求 z2 018z102_.1i2解析：解析：z22i.(1i2)z2 018z102(i)1 009(i)51(i)1 008(i)(i)48(i)3ii0答案：答案：05已知复数已知复数 z1a23i，z22aa2i，若，若 z1z2是纯虚数，则实

11、数是纯虚数，则实数 a_.解析：解析：由条件知由条件知 z1z2a22a3(a21)i，又，又 z1z2是纯虚数，是纯虚数，所以所以Error!Error!解得解得 a3.答案：答案：36已知复数已知复数 z. 1i 23 1i 2i(1)求复数求复数 z；(2)若若 z2azb1i，求实数，求实数 a，b 的值的值解：解：(1)z1i.2i33i2i3i2i 3i 2i 5(2)把把 z1i 代入得代入得(1i)2a(1i)b1i，即即 ab(2a)i1i，所以所以Error!Error!解得解得Error!Error!1设设 i 为虚数单位，则为虚数单位，则( )5i1iA23i B23i

12、C23i D23i解析：解析：23i.5i1i 5i 1i 1i 1i 46i2答案：答案：C2(山东高考山东高考)已知已知 i 是虚数单位，若复数是虚数单位，若复数 z 满足满足 zi1i，则，则 z2( )A2i B2iC2 D2解析：解析：zi1i，z 11i.1ii1iz2(1i)21i22i2i.答案：答案：A3若若 a 为实数，且为实数，且(2ai)(a2i)4i，则，则 a( )A1 B0C1 D2解析：解析：(2ai)(a2i)4i，4a(a24)i4i.Error!Error!解得解得 a0.答案：答案：B4已知已知 z123i，z2，则，则( )32i 2i 2z1z2A4

13、3i B34iC34i D43i解析：解析：z123i，z2，32i 2i 2z1z2 23i 2i 232ii 32i 2i 232ii(2i)2(34i)i43i.答案：答案：D二、填空题二、填空题5复数复数的虚部是的虚部是_12i112i解析：解析： (2i) (12i) i，12i112i15151515虚部是虚部是 .15答案：答案：156若复数若复数 z 满足满足 zi(2z)(i 是虚数单位是虚数单位)，则，则 z_.解析：解析：zi(2z)，z2iiz，(1i)z2i，z1i.2i1i答案：答案：1i7(天津高考天津高考)已知已知 aR，i 为虚数单位，若为虚数单位，若为实数，

14、则为实数，则 a 的值为的值为_ai2i解析：解析：由由i 是实数，得是实数，得0，所以，所以 a2.ai2i ai 2i 2i 2i 2a152a52a5答案：答案：28若若 zi1 是方程是方程 z2azb0 的一个根，则实数的一个根，则实数 a，b 的值分别为的值分别为_，_.解析：解析：把把 zi1 代入方程代入方程 z2azb0，得得(ab)(a2)i0，即，即Error!Error!解得解得 a2，b2.答案：答案：2 2三、解答题三、解答题9复数复数 z，若，若 z2 0，求纯虚数，求纯虚数 a. 1i 23 1i 2iaz解：解：z1i. 1i 23 1i 2i2i33i2i3i2ia 为纯虚数，为纯虚数，设设 ami(m0)，则则 z2 (1i)22i i0.azmi1imim2m2(m22)Error!Error!m4.a4i.10已知已知 x，yR，且，且，求，求 x，y 的值的值x1iy12i513i解：解：，x1iy12i513i.x 1i 2y 12i 55 13i 10即即 5x(1i)2y(12i)515i.(5x2y)(5x4y)i515i.Error!Error!解得解得Error!Error!