2019年数学新同步湘教版必修2第4章 4．4 一元线性回归案例.doc

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1、44一元线性回归案例一元线性回归案例读教材读教材填要点填要点1相关系数相关系数(1)定义：样本量是定义：样本量是 n 的成对观测数据用的成对观测数据用(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)表示，用表示，用表示数据表示数据 x1，x2，xn，用，用表示数据表示数据 y1，y2，yn，用，用 与与 分别表示分别表示和和的的xiyixyxiyi均值，用均值，用 sx表示表示的标准差，用的标准差，用 sy表示表示的标准差，再引入的标准差，再引入xiyisxy .x1y1x2y2xnynnx y当当 sxsy0 时，称时，称 rxy为为和和的相关系数的相关系数sxysxsyxiyi当当 rxy0

2、，我们称，我们称和和正相关正相关；xiyi当当 rxy0.8 时，认为有很强的相关关系时，认为有很强的相关关系2在一元线性回归模型中，变量在一元线性回归模型中，变量 y 由变量由变量 x 唯一确定吗？唯一确定吗？提示：提示：不唯一不唯一y 值由值由 x 和随机误差和随机误差 e 共同确定，即自变量共同确定，即自变量 x 只能解释部分只能解释部分 y 的变的变化化3随机误差随机误差 e 产生的主要原因有哪些？产生的主要原因有哪些？提示：提示：随机误差随机误差 e 产生的主要原因有：产生的主要原因有：(1)所用的确定性函数不恰当引起的误差；所用的确定性函数不恰当引起的误差；(2)忽略了某些因素的影

3、响；忽略了某些因素的影响；(3)存在观测误差存在观测误差4回归分析中，利用线性回归方程求出的函数值一定是真实值吗？为什么？回归分析中，利用线性回归方程求出的函数值一定是真实值吗？为什么？提示：提示：不一定是真实值利用线性回归方程求的值，在很多时候是个预报值，例如，不一定是真实值利用线性回归方程求的值，在很多时候是个预报值，例如，人的体重与身高存在一定的线性关系，但体重除了受身高的影响外，还受其他因素的影响，人的体重与身高存在一定的线性关系，但体重除了受身高的影响外，还受其他因素的影响，如饮食，是否喜欢运动等如饮食，是否喜欢运动等相关性检验相关性检验在某种产品表面进行腐蚀性刻线实验，得到腐蚀深度

4、在某种产品表面进行腐蚀性刻线实验，得到腐蚀深度 Y 与腐蚀时间与腐蚀时间 X 之间相之间相应的一组观察值，如下表：应的一组观察值，如下表：X(s)5101520304050607090120Y(m)610101316171923252946用散点图及相关系数两种方法判断用散点图及相关系数两种方法判断 X 与与 Y 的相关性的相关性自主解答自主解答 (1)作出如图所示的散点图作出如图所示的散点图从散点图可看出腐蚀深度从散点图可看出腐蚀深度 Y(m)与腐蚀时间与腐蚀时间 X(s)之间存在着较强的线性相关关系之间存在着较强的线性相关关系(2)相关系数相关系数 rxy，其中，其中sxysxsysxy

5、362.562.x1y1x2y2x11y1111x ysx34.515 8，sy10.697 1.rxy0.98.362.56234.515 8 10.697 1显然显然|rxy|0.8，所以腐蚀深度，所以腐蚀深度 Y 与腐蚀时间与腐蚀时间 X 之间有很强的线性相关关系之间有很强的线性相关关系判断两个变量判断两个变量 X 和和 Y 线性相关的方法：线性相关的方法：(1)画出散点图，呈条状分布，则画出散点图，呈条状分布，则 X 与与 Y 线性相关线性相关(2)用公式求出相关系数，据其判断用公式求出相关系数，据其判断 X 与与 Y 的相关性的相关性如果如果|rxy|0.8，则有很强的线性相关关系，

6、则有很强的线性相关关系1要分析学生初中升学的数学成绩对高中一年级数学学习有什么影响，在高中一年级要分析学生初中升学的数学成绩对高中一年级数学学习有什么影响，在高中一年级学生中随机抽选学生中随机抽选 10 名学生，分析他们入学的数学成绩名学生，分析他们入学的数学成绩(x)和高中一年级期末数学考试成绩和高中一年级期末数学考试成绩(y)(如表如表)：编号编号12345678910x63674588817152995876y65785282928973985675用散点图及相关系数两种方法判断用散点图及相关系数两种方法判断 x 与与 y 的相关性的相关性解：解：(1)入学成绩入学成绩(x)与高一期末考

7、试成绩与高一期末考试成绩(y)两组变量的散点图两组变量的散点图(如图如图)，从散点图看，这，从散点图看，这两组变量具有线性相关关系两组变量具有线性相关关系(2)因为因为 70， 76，xysxy189.4，sx15.729，sy14.339.由由 rxy，得，得 rxy0.839 80.8.sxysxsy所以所以 x 与与 y 有较强的线性关系有较强的线性关系线性回归分析线性回归分析为了研究某种细菌在特定环境下随时间变化的系列情况，得如下实验数据：为了研究某种细菌在特定环境下随时间变化的系列情况，得如下实验数据： 天数天数 t(天天)34567繁殖个数繁殖个数 y(千个千个)2.5344.56

8、(1)求求 y 关于关于 t 的线性回归方程；的线性回归方程；(2)利用利用(1)中的回归方程，预测中的回归方程，预测 t8 时，细菌繁殖个数时，细菌繁殖个数自主解答自主解答 (1)由表中数据得由表中数据得 5， 4， yi108.5，ty5 i1t ti i则则 Styt 1.7，S 2.5 i1tiyi5y2 tb0.85，a b 0.25，StyS2 tyt回归方程式为回归方程式为 y0.85t0.25.(2)将将 t8 代入代入(1)的回归方程中得的回归方程中得y0.8580.256.55.故预测故预测 t8 时，细菌繁殖个数为时，细菌繁殖个数为 6.55 千个千个进行线性回归分析的关

9、键是画出样本点的散点图，确定出变量具有线性相关关系，再进行线性回归分析的关键是画出样本点的散点图，确定出变量具有线性相关关系，再求出回归直线方程如果求出回归直线方程如果 x，y 的线性相关关系具有统计意义，就可以用线性回归方程来作的线性相关关系具有统计意义，就可以用线性回归方程来作预测和控制预测和控制2某饮料店的日销售收入某饮料店的日销售收入 y(单位：百元单位：百元)与当天平均气温与当天平均气温 x(单位：摄氏度单位：摄氏度)之间有下列之间有下列 数据：数据：x21012y54221甲、乙、丙三位同学对上述数据进行了研究，分别得到了甲、乙、丙三位同学对上述数据进行了研究，分别得到了 x 与与

10、 y 之间的三个线性回归之间的三个线性回归方程：方程：yx2.8，yx3，y1.2x2.6.其中正确的是其中正确的是( )A B C D解析：解析：回归方程回归方程 ybxa 表示的直线必过点表示的直线必过点( ， )，即必过点，即必过点(0,2.8)，而给出的三个，而给出的三个xy线性回归方程中，只有线性回归方程中，只有表示的直线过点表示的直线过点(0,2.8)，故正确的是，故正确的是.答案答案：A一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了 10 次试验，次试验，测得数据如下：测得数据如下：零件数零件数

11、x(个个)102030405060708090100加工时间加工时间y(分分)626875818995102108115122(1)y 与与 x 是否具有线性相关关系？是否具有线性相关关系？(2)如果如果 y 与与 x 具有线性相关关系，求回归直线方程具有线性相关关系，求回归直线方程巧思巧思 (1)利用相关系数利用相关系数 rxy判断；判断；(2)利用最小二乘法求得利用最小二乘法求得 a，b 的值，进而求得回归方程的值，进而求得回归方程妙解妙解 (1)列出下表，并用科学计算器进行计算列出下表，并用科学计算器进行计算.i12345678910xi102030405060708090100yi62

12、6875818995102108115122xiyi6201 3602 2503 2404 4505 7007 1408 64010 35012 200于是于是 rxy0.999 8.55 95010 55 91.738 50010 552 87 77710 91.72所以所以 y 与与 x 具有线性相关关系具有线性相关关系(2)设所求的回归直线方程为设所求的回归直线方程为 ybxa，那么由上表可得那么由上表可得 b0.668，sxys2 xa b 91.70.6685554.96，yx即所求的回归直线方程为即所求的回归直线方程为 y0.668x54.96.1在对两个变量在对两个变量 x，y

13、进行线性回归分析时，有下列步骤：进行线性回归分析时，有下列步骤：对所求出的回归直线方程作出解释；对所求出的回归直线方程作出解释；收集数据收集数据(xi，yi)，i1,2，n；求线性回归方程；求线性回归方程；求相关系数；求相关系数；根据所搜集的数据绘制散点图根据所搜集的数据绘制散点图如果根据可行性要求能够作出变量如果根据可行性要求能够作出变量 x，y 具有线性相关的结论，则在下列操作顺序中正具有线性相关的结论，则在下列操作顺序中正确的是确的是( )A BC D解析：解析：对两个变量进行回归分析时，首先收集数据对两个变量进行回归分析时，首先收集数据(xi，yi)，i1,2，n；根据所搜；根据所搜集

14、的数据绘制散点图观察散点图的形状，判断线性相关关系的强弱，求相关系数，写出集的数据绘制散点图观察散点图的形状，判断线性相关关系的强弱，求相关系数，写出线性回归方程，最后依据所求出的回归直线方程作出解释；故正确顺序是线性回归方程，最后依据所求出的回归直线方程作出解释；故正确顺序是， 故故选选 D.答案答案：D2已知变量已知变量 x 和和 y 满足关系满足关系 y0.1x1，变量，变量 y 与与 z 正相关下列结论中正确的是正相关下列结论中正确的是( )Ax 与与 y 正相关，正相关，x 与与 z 负相关负相关Bx 与与 y 正相关，正相关，x 与与 z 正相关正相关Cx 与与 y 负相关，负相关

15、，x 与与 z 负相关负相关Dx 与与 y 负相关，负相关，x 与与 z 正相关正相关解析：解析：因为因为 y0.1x1 的斜率小于的斜率小于 0，故，故 x 与与 y 负相关因为负相关因为 y 与与 z 正相关，正相关，故故 x 与与 z 负相关负相关答案：答案：C3相关变量相关变量 x，y 的样本数据如下表：的样本数据如下表：x12345y22356经回归分析可得经回归分析可得 y 与与 x 线性相关，并由最小二乘法求得回归直线方程为线性相关，并由最小二乘法求得回归直线方程为 y1.1xa，则则 a( )A0.1 B0.2C0.3 D0.4解析：解析：回归直线经过样本中心点回归直线经过样本

16、中心点( ， )，且由题意得，且由题意得( ， )(3,3.6)，xyxy3.61.13a，a0.3.答案：答案：C4在关于两个变量的回归分析中，作散点图的目的是在关于两个变量的回归分析中，作散点图的目的是_答案：答案：观察两个变量之间是否存在线性相关关系观察两个变量之间是否存在线性相关关系5某服装厂的产品产量某服装厂的产品产量 x(万件万件)与单位成本与单位成本 y(元元/件件)之间的回归直线方程是之间的回归直线方程是y52.1519.5x，当产量每增加一万件时，单位成本下降，当产量每增加一万件时，单位成本下降_元元解析：解析：由回归系数的意义得下降由回归系数的意义得下降 19.5 元元答案

17、：答案：19.56在一段时间内，分在一段时间内，分 5 次测得某种商品的价格次测得某种商品的价格 x(万元万元)和需求量和需求量 y(t)之间的一组数据之间的一组数据为：为：12345价格价格 x1.41.61.822.2需求量需求量 y1210753已知已知iyi62，16.6.5 i1x5 i1x 2 i(1)画出散点图；画出散点图；(2)求出求出 y 对对 x 的回归方程；的回归方程；(3)如价格定为如价格定为 1.9 万元，预测需求量大约是多少？万元，预测需求量大约是多少？(精确到精确到 0.01 t)解：解：(1)散点图如下图所示：散点图如下图所示：(2)因为因为 91.8， 377

18、.4，x15y15iyi62，16.6，5 i1x5 i1x 2 isxy 12.413.320.92.5 i1xiyi5x y所以所以 b11.5，sxys2 x0.920.08a b 7.411.51.828.1，yx故故 y 对对 x 的回归方程为的回归方程为 y28.111.5x.(3)y28.111.51.96.25(t)一、选择题一、选择题1下表是下表是 x 与与 y 之间的一组数据，则之间的一组数据，则 y 关于关于 x 的线性回归方程必过的线性回归方程必过( )x0123y1357A.点点(2,2) B点点(1.5,2)C点点(1,2) D点点(1.5,4)解析：解析： 1.5

19、， 4，x0123464y13574线性回归方程必过点线性回归方程必过点(1.5,4)答案：答案：D2已知变量已知变量 x 与与 y 正相关，且由观测数据算得样本平均数正相关，且由观测数据算得样本平均数 3， 3.5，则由该观测，则由该观测xy数据算得的线性回归方程可能为数据算得的线性回归方程可能为( )Ay0.4x2.3 By2x2.4Cy2x9.5 Dy0.3x4.4解析：解析：依题意知，相应的回归直线的斜率应为正，排除依题意知，相应的回归直线的斜率应为正，排除 C、D.且直线必过点且直线必过点(3,3.5)代代入入 A、B 得得 A 正确正确答案：答案：A3某咖啡厅为了了解热饮的销售量某

20、咖啡厅为了了解热饮的销售量 y(个个)与气温与气温 x()之间的关系，随机统计了某之间的关系，随机统计了某 4 天天的销售量与气温，并制作了对照表：的销售量与气温，并制作了对照表：气温气温()1813101销售量销售量(个个)24343864由表中数据，得线性回归方程由表中数据，得线性回归方程 y2xa.当气温为当气温为4 时，预测销售量约为时，预测销售量约为( )A68 B66C72 D70解析：解析： (1813101)10， (24343864)40，x14y1440210a，a60，当当 x4 时，时，y2(4)6068.答案答案：A4为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调

21、查了该社区为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区 5 户家庭，得户家庭，得到如下统计数据表：到如下统计数据表：收入收入 x(万元万元)8.28.610.011.311.9支出支出 y(万元万元)6.27.58.08.59.8根据上表可得回归直线方程根据上表可得回归直线方程 ybxa，其中，其中 b0.76，a b .据此估计，该社区一据此估计，该社区一yx户年收入为户年收入为 15 万元家庭的年支出为万元家庭的年支出为( )A11.4 万元万元 B11.8 万元万元C12.0 万元万元 D12.2 万元万元解析：解析：由题意知，由题意知， 10，x8.28.610.011

22、.311.958，y6.27.58.08.59.85a80.76100.4，当当 x15 时，时，y0.76150.411.8(万元万元)答案：答案：B二、填空题二、填空题5调查了某地若干户家庭的年收入调查了某地若干户家庭的年收入 x(单位：万元单位：万元)和年饮食支出和年饮食支出 y(单位：万元单位：万元)，调查，调查显示年收入显示年收入 x 与年饮食支出与年饮食支出 y 具有线性相关关系，并由调查数据得到具有线性相关关系，并由调查数据得到 y 对对 x 的回归直线方的回归直线方程：程：y0.254x0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加由回归直线方程可知，家庭年收入每增加 1 万

23、元，年饮食支出平均万元，年饮食支出平均增加增加_万元万元解析：解析：以以 x1 代代 x，得，得 y0.254(x1)0.321，与，与 y0.254x0.321 相减可得，年饮相减可得，年饮食支出平均增加食支出平均增加 0.254 万元万元答案：答案：0.2546下表是某厂下表是某厂 14 月份用水量月份用水量(单位：百吨单位：百吨)的一组数据，的一组数据，月份月份 x1234用水量用水量 y4.5432.5由某散点图可知，用水量由某散点图可知，用水量 y 与月份与月份 x 之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是y0.7xa，则，则 a_.解析：

24、解析： 2.5， 3.5，b0.7，a3.50.72.55.25.xy答案：答案：5.257已知回归直线的斜率的估计值为已知回归直线的斜率的估计值为 1.23.样本点的中心为样本点的中心为(4,5)，则回归直线方程是，则回归直线方程是_解析：解析：由斜率的估计值为由斜率的估计值为 1.23，且回归直线一定经过样本点的中心，且回归直线一定经过样本点的中心(4,5)，可得可得 y51.23(x4)，即，即 y1.23x0.08.答案：答案：y1.23x0.088在研究硝酸钠的可溶性程度时，观察它在不同温度的水中的溶解度，得观测结果在研究硝酸钠的可溶性程度时，观察它在不同温度的水中的溶解度，得观测结

25、果 如下：如下：温度温度(x)010205070溶解度溶解度(y)66.776.085.0112.3128.0由此，得到回归直线的斜率是由此，得到回归直线的斜率是_解析：解析：根据根据 sxy ，及，及 b，得，得 b0.880 9.ni1xiyinx ysxys2 x答案：答案：0.880 9三、解答题三、解答题9在关于人体的脂肪含量在关于人体的脂肪含量(百分比百分比)和年龄关系研究中，研究人员获得了如下一组数据：和年龄关系研究中，研究人员获得了如下一组数据：年龄年龄 x2226384145485053545657脂肪含脂肪含量量 y9.417.821.224.926.527.128.229

26、.430.231.432.6(1)画出散点图；画出散点图；(2)求求 y 与与 x 之间的回归方程；之间的回归方程；(3)预测预测 39 岁的人脂肪含量岁的人脂肪含量(保留四位有效数字保留四位有效数字)解：解：(1)画出散点图画出散点图(2)由散点图可以看出由散点图可以看出 y 与与 x 之间有较强的线性相关关系，之间有较强的线性相关关系，可算得可算得 i44.545 5，x11111 i1xi25.336 4，iyi13 205，23 224，y11111 i1y11 i1x11 i1x 2 ib0.565 7，a b 0.137 0.sxys2 xyxy 与与 x 之间的线性回归方程为之间

27、的线性回归方程为 y0.565 7x0.137 0.(3)当当 x39 时，时，y0.565 7390.137 022.20，39 岁的人的脂肪含量约为岁的人的脂肪含量约为 22.20%.10随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长设某地区城乡居民人民币储蓄随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长设某地区城乡居民人民币储蓄存款存款(年底余额年底余额)如下表：如下表：年份年份20132014201520162017时间代号时间代号 t12345储蓄存款储蓄存款 y(千亿元千亿元)567810(1)求求 y 关于关于 t 的回归方程的回归方程 t ；yba(2)用所求回归方程预测该地区用所求回

28、归方程预测该地区 2018 年年(t6)的人民币储蓄存款的人民币储蓄存款附：回归方程附：回归方程 t 中，中， ， ，ybabn i1tiyintyn i1t2 int2aybt解：解：(1)列表计算如下：列表计算如下：itiyit2 itiyi11515226412337921448163255102550153655120这里这里 n5， I 3， i7.2.t1nn i1t155y1nn i1y365又又 lttn25553210，n i1t 2 itltyiyin 120537.212，n i1t ty从而从而 1.2， 7.21.233.6，bltyltt1210aybt故所求回归方程为故所求回归方程为 1.2t3.6.y(2)将将 t6 代入回归方程可预测该地区代入回归方程可预测该地区 2018 年的人民币储蓄存款为年的人民币储蓄存款为1.263.610.8(千亿元千亿元)y