2019年数学新同步湘教版必修2第5章 5.4 复数的几何表示.doc

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1、54复数的几何表示复数的几何表示读教材读教材填要点填要点1复平面的定义复平面的定义建立直角坐标系来表示复数的平面叫作复平面建立直角坐标系来表示复数的平面叫作复平面x 轴叫作轴叫作实轴实轴，y 轴叫作轴叫作虚轴虚轴，实轴上的点都表示，实轴上的点都表示实数实数；除；除原点原点外，虚轴上的点都表示外，虚轴上的点都表示纯虚数纯虚数2复数的几何意义复数的几何意义(1)复数复数 zabi(a，bR)一一对应复平面内的点一一对应复平面内的点 P(a，b)；(2)复数复数 zabi(a，bR)一一对应平面向量一一对应平面向量(a，b)OP3复数的模复数的模复数复数 zabi(a，bR)对应的向量为对应的向量为

2、，则，则的模叫作复数的模叫作复数 z 的模，记作的模，记作|z|，且，且 OPOP|z|.a2b24共轭复数共轭复数(1)定义及记忆：对于任意复数定义及记忆：对于任意复数 zabi(a，bR)，将复数，将复数 abi 称为原来的复数称为原来的复数 z 的的共轭复数，记作：共轭复数，记作： .z(2)性质：性质： z；z复平面上两点复平面上两点 P，Q Q 关于关于 x 轴对称轴对称它们所代表的复数它们所代表的复数相互共轭相互共轭5复数加减法的几何意义复数加减法的几何意义如图：设复数如图：设复数 z1，z2对应向量分别为对应向量分别为，四边形，四边形 OPSQ Q 为平为平OPOQ行四边形，则与

3、行四边形，则与 z1z2对应的向量是对应的向量是 ，与，与 z1z2对应的向量是对应的向量是.OS小问题小问题大思维大思维1平面向量能够与复数一一对应的前提是什么？平面向量能够与复数一一对应的前提是什么？提示：提示：向量的起点在原点向量的起点在原点2若复数若复数(a1)ai(aR)在复平面内对应的点在复平面内对应的点 P 在第二象限，则在第二象限，则 a 的取值范围是什的取值范围是什么？么？提示：提示：由题意知由题意知Error!Error!即即 03.答案：答案：(3，)5复数复数 zsin icos ，则，则|z|_.36解析：解析：zi，3232|z| .(32)2(32)262答案：答

4、案：626在复平面上，复数在复平面上，复数 i,1,42i 的对应的点分别是的对应的点分别是 A，B，C，求平行四边形，求平行四边形 ABCD 的的D 点所对应的复数点所对应的复数解：解：法一：法一：由已知由已知 A(0,1)，B(1,0)，C(4,2)，则则 AC 的中点的中点 E，(2， ，32)由平行四边形的性质知由平行四边形的性质知 E 也是也是 BD 的中点，的中点，设设 D(x，y)，则，则Error!Error!Error!Error!即即 D(3,3)，D 点对应的复数为点对应的复数为 33i.法二：法二：由已知：由已知：(0,1)，(1,0)，(4,2)OAOBOC(1,1)

5、，(3,2)BABC(2,3)BDBABC(3,3)ODOBBD即点即点 D 对应的复数为对应的复数为 33i.一、选择题一、选择题1.若若 i 为虚数单位，如图中复平面内点为虚数单位，如图中复平面内点 Z 表示复数表示复数 z，则表示复，则表示复数数的点是的点是( )z1iAE BFCG DH解析：解析：由题图可得由题图可得 z3i，所以所以2i，z1i3i1i 3i 1i 1i 1i 42i2则其在复平面上对应的点为则其在复平面上对应的点为 H(2，1)答案：答案：D2已知已知 0a2，复数，复数 zai(i 是虚数单位是虚数单位)，则，则|z|的取值范围是的取值范围是( )A(1，) B

6、(1，)35C(1,3) D(1,5)解析：解析：|z|，0a2，a211a215，|z|(1，)5答案：答案：B3设复数设复数 z 满足条件满足条件 z|z|2i，那么，那么 z 等于等于( )A i B. i3434C i D. i3434解析：解析：法一：法一：设设 zxyi(x，yR)，则则 xyi2i.x2y2Error!Error!解得解得Error!Error!z i.34法二：法二：|z|R，由复数相等的充要条件可知：，由复数相等的充要条件可知：若等式若等式 z|z|2i 成立，则必有虚部为成立，则必有虚部为 1，故可设故可设 zxi(xR)，代入原等式有：，代入原等式有：x2

7、，x21解得解得 x ，所以，所以 z i.3434答案：答案：D4若若 x，yR，i 为虚数单位，且为虚数单位，且 xy(xy)i3i，则复数，则复数 xyi 在复平面内所对在复平面内所对应的点在应的点在( )A第一象限第一象限 B第二象限第二象限C第三象限第三象限 D第四象限第四象限解析：解析：xy(xy)i3i，Error!Error!解得解得Error!Error!复数复数 12i 所对应的点在第一象限所对应的点在第一象限答案：答案：A二、填空题二、填空题5在复平面内表示复数在复平面内表示复数 z(m3)2i 的点在直线的点在直线 yx 上，则实数上，则实数 m 的值为的值为m_解析：

8、解析：由表示复数由表示复数 z(m3)2i 的点在直线的点在直线 yx 上，得上，得 m32，解得，解得 m9.mm答案：答案：96设复数设复数 z 满足满足 z234i(i 是虚数单位是虚数单位)，则，则 z 的模为的模为_解析：解析：设设 zabi(a，bR)，则则 z2a2b22abi34i，Error!Error!解得解得Error!Error!或或Error!Error!|z|.a2b25答案：答案：57复数复数 z1cos isin (0，得得 m5.即当即当 m5 时，时，z 的对应点在的对应点在 x 轴上方轴上方(5)由由(m25m6)(m22m15)50，得得 m或或 m.3

9、 4143 414即当即当 m或或 m时，时，z 的对应点在直线的对应点在直线 xy50 上上3 4143 41410设设 zxyi(x，yR)，若，若 1|z|.试问复数试问复数 wxy(xy)i 的对应点的集合的对应点的集合2表示什么图形，并求其面积表示什么图形，并求其面积解：解：|z|且且 1|z|，x2y221x2y22.又又|w|， xy 2 xy 22x22y2|w|2.2令令 wmni(m，nR)，则则 2，2m2n2即即 2m2n24.故故 w 对应点的集合是以原点为圆心，半径为对应点的集合是以原点为圆心，半径为和和 2 的圆环内点的集合的圆环内点的集合(含内外圆周含内外圆周)，2其面积其面积 S22()22.2