(精品)信号与系统——傅里叶变换的性质.ppt

《(精品)信号与系统——傅里叶变换的性质.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《(精品)信号与系统——傅里叶变换的性质.ppt（112页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、 4.6 付里叶变换的性质付里叶变换的性质连续时间信号有两种描述方法连续时间信号有两种描述方法:时域描述时域描述 f(t)频域描述频域描述 F()12 22023/4/62一、线性一、线性n f1(t)F1(),f2(t)F2()na1f1(t)+a2f2(t)a1F1()+a2F2()n利用该性质，可将所求信号表示成已知频谱信利用该性质，可将所求信号表示成已知频谱信号的线性组合，用间接方式求出频谱函数。号的线性组合，用间接方式求出频谱函数。23 32023/4/63例：34 42023/4/64前提，f(t)是实函数；f(t)与F()奇偶虚实关系:二、奇偶性R(w)X(w)偶函数奇函数45

2、52023/4/65三、对称性n若f(t)F()，则F(t)2f(-)n证明：n根据傅氏逆变换n将上式中t换为-t，则n互换变换t和w，得到n即F(t)2f(-)n当f(t)为偶函数时，F(t)2f()56 62023/4/66例1n(t)1n 12()67 72023/4/67例2（4.51）n例:4.5-1 Sa(t)=sint/t.n门函数g(t)Sa(/2)n令/2=1，则=2.n(1/2)g2(t)2(1/2)Sa()=Sa().n由对称性知：nSa(t)2(1/2)g2()=g2()78 82023/4/68 89 92023/4/69例3（4.52）nFF 1/t=?n FF s

3、gn(t)=2/j n FF 2/jt=2sgn(-)=-2sgn()n FF 1/t=-jsgn(910102023/4/610例4 F t=?n FF(t)=j n FF jt=2(-)n =-2()n FF t=j2()1011112023/4/611四、尺度变换（时域展缩）n若 f(t)F()则f(at)(1/a)F(/a)1112122023/4/612 g(t)Sa(/2)1213132023/4/613结论：结论：f(at)(1/a)F(/a)n信信号号的的等等效效脉脉冲冲宽宽度度与与占占有有的的等等效效频频带带宽度成反比；宽度成反比；n若若言言压压缩缩信信号号的的持持续续时时间

4、间，则则不不得得不不以以占宽频带作代价。占宽频带作代价。n在在通通信信中中，通通信信速速度度与与占占用用频频带带宽宽度度是是一一对对矛矛盾盾。通通信信系系统统的的设设计计便便是是寻寻找找矛矛盾的合理解决方案。盾的合理解决方案。1314142023/4/614五、时移特性n若f(t)F()n则f(tt0)ejt0F()n=F()ejjt0n即时域中信号延时t0 频域中所有频率“分量”相应落后一相位 t0，而幅度不变。FF f(t-t0)1415152023/4/615例1 g(t)Sa(/2)ng(t-/2)Sa(/2)e-j/2ng(t+/2)Sa(/2)ej/21516162023/4/61

5、6 f2(t)=f1(t+1)-f1(t-1)f3(t)=f2(2t)=f1(2t+1)-f1(2t-1)F2()=ej F1()-e-j F1()=(ej -e-j)2sin/=4j sin2/.F3()=(1/2)F2(/2)=j4 sin2(/2)/1617172023/4/617既有时移又有尺度变换若若f(t)F()则则f(at-b)(1/a)e-j(b/a)F(/a)b=0 尺度变换；尺度变换；a=1 时移。时移。1718182023/4/618例2 已知f(t)F()求f(3-2t)的付里叶变换。解：解：时移：时移：f(t+3)ej3 F()尺度变换尺度变换 a=-2f(-2t+3

6、)(1/-2)ej3/(-2)F/(-2)=(1/2)e-j(3/2)F(-/2)1819192023/4/619六、频移特性n调制特性n若f(t)F()0为常数 n证明 1920202023/4/620应用应用 频频域域搬搬移移技技术术在在通通信信系系统统中中得得到到广广泛泛应应用用，诸诸调调频频、同同步步解解调调、变变频频等等过过程程都都是是在在频频谱谱搬搬移移的的基基础础上上完完成成的的。频频谱谱搬搬移移的的实实现现原原理理是是将将信信号号乘乘以以载载频频信信号号cos 0t或或sin 0t。2021212023/4/621频谱搬移 f(t)f1(t)=f(t)cos0t cos0t调制

7、原理图调制信号载波信号已调信号2122222023/4/622解调(接收端)f1(t)f3(t)=f(t)/2 cos0t解调原理图本地载波(本振信号)低通滤波器低通滤波器与发送端的载波信号同频同相f2(t)=f1(t)cos0t=f(t)cos0t2223232023/4/623例1 y(t)=g(t)cos0tng(t)Sa(/2)ng(t)cos0t n (1/2)Sa(-0/2+Sa(+0/22324242023/4/624已调信号的频谱是将原频谱一分为二，分别向左和向右搬移0，在搬移中幅度谱的形状并未改变。F F g(t)0 /2 -0 0 0 F F g(t)cos0t242525

8、2023/4/625例2 F F cos0t=？，F F sin0t=?F F 1=2F F 1ej0t=2-0 F F cos0t=1/22-0+2+0 =-0+0F F sin0t=j+0-02526262023/4/626 F F cos0t j F Fsin0t0-00-0-262727七、卷积定理n1、时域卷积定理：nf1(t)f2(t)F1()F2()2023/4/627证明：272828七、卷积定理n2、频域卷积定理：f1(t)f2(t)(1/2)F1()F2()n用对称性性质可证明。2023/4/628282929例：4.5-7 r(t)=t(t)的频谱函数解：1、t的频谱 t

9、j2()2、(t)的频谱 (t)()+1/(j)3、由频域卷积定理F F t(t)=(1/2)j2()()+1/(j)=j()()+()(1/)=j()+()(1/)=j()-1/2 t(t)j()-1/22023/4/629293030例4.5-6 三角形脉冲2023/4/630 E(1-2|t|/)|t|/2-1 0 1 tf(t)E303131tt-/2 0 /2 tf(t)1*=0 wF0(w)0 wF0(w)=0 wF(w)2023/4/63132322023/4/632八、时域微、积分八、时域微、积分 n1、微分：f(t)F()n f(t)jF()；f(n)(t)(j)n F()n

10、证明：3233332023/4/633八、时域微、积分八、时域微、积分 2、积分：f(t)F()f(-1)(t)F(0)()+(1/j)F()当 时 f(-1)(t)(1/j)F()3334342023/4/634八、时域微、积分八、时域微、积分 n证明：343535例1 矩形脉冲信号g(t)的频谱ng(t)=(t+/2)-(t-/2)nF F g(t)=ej/2-e-j/2=2jsin(/2)n =jF Fg(t)nF F g(t)=(2/)sin(/2)n =sa(/2)2023/4/6353636例2 矩形脉冲信号g(t)积分的频谱nF Fg(t)=sa(/2)nF Fg-1(t)=)s

11、a(0)+(1/j)sa(/2)n =)+(1/j)sa(/2)2023/4/6363737例3(4.5-10)n f1(t)=2(t);f2(t)=sgn(t);n f1(t)=f2(t)=f(t)=2(t)n F Ff1(t)=F F f2(t)=2nF F f1(t)=F Ff2(t)=2/(j)?nF F f1(t)=F F f2(t)=2)+2/(j)?1-1f2(t)t(2)f(t)t2f1(t)t2023/4/6373838使用微积分性质时需注意的事项n若 g(t)=f(t)g(t)=f-1(t)n对非时限信号，不一定成立!暗含条件g(-)=0383939九、频域微积分n1、微分

12、 f(t)F()-jtf(t)F().(-jt)n f(t)F(n)()n证明n即-jtf(t)F().n同理可证 (-jt)n f(t)F(n)()ntn f(t)jn F(n)()2023/4/6394040九、频域微积分n2、积分 f(0)(t)-(1/jt)f(t)F(-1)()n f(0)=0时-(1/jt)f(t)F(-1)()n与前面讨论类似，也隐含了条件F(-1)(-)=02023/4/6404141例1：f(t)=te-at(t)，求F()。(a0)解：e-ate(t)1/(a+jw)2023/4/6414242例2(4.5-11)：f(t)=t(t)，求F()。解：2023

13、/4/6424343例3(4.5-11)求 Sa(t)=sint/t的谱函数。nf(t)=sint=(1/2j)(ejt-e-jt)(1/2j)2(-1)-(+1)n =j(+1)-(-1)=F()n f(0)(t)-(1/jt)f(t)F(-1)()n f(0)=0n sint/(-jt)F(-1)(j)n =j (+1)-(-1)dn =j(+1)-(-1)n sint/t(+1)-(-1)=g2()-2023/4/64344十、相关定理n相关函数n傅氏变换n自相关函数n傅氏变换n原信号幅度谱的平方442023/4/64445十、能量谱和功率谱n1、能量谱n信号能量E=f2(t)dtn =

14、f(t)(1/2)F()ejt ddtn =(1/2)F()2 d.n能量谱：E()=F()2 n 单位频率的信号能量，能量密度函数n E=f2(t)dt=(1/2)E()d.-2023/4/645462、功率谱n信号的功率：P=(1/T)f2(t)dtn=(1/2)(F()2)/Td.n功率谱:()=(F()2)/T 单位频率的信号能量，功率密度函数n P=(1/2)()d.-limT limT-limT2023/4/64647 4.7 周期信号的付里叶变换周期信号的付里叶变换 q周期信号：n可展开为付里叶级数(求和)，频谱Fn是离散的，满足狄里赫利条件。q非周期信号：n存在付里叶变换(积分

15、)，频谱密度F(j)是连续的，f(t)dt,可放宽。q目的：统一分析方法。-2023/4/64748一、正余弦函数的付里叶变换 （典型的周期信号）n12()qej0t2(-0)qe-j0t2(+0)ncos0t=(1/2)(ej0t+e-j0t)(-0)+(+0)nsin0t=(1/2j)(ej0te-j0t)n j(+0)-(-0)2023/4/64849二、一般周期函数的付里叶变换 n一般周期信号一般周期信号f fT T(t(t),),周期为周期为T Tn傅氏级数展开式傅氏级数展开式 f fT T(t(t)=)=F Fn ne ejnjn1t tq其中其中 Fn=(1/T)f(t)e-jn

16、1tdt.nF(F()=)=F F f fT T(t(t)n =F F F Fn ne ejnjn1 1t t n =(2 =(2)F)Fn n(-n-n1 1)T/2-T/2n=-n=-n=-含义：有无穷多个冲击函数组成，位置在含义：有无穷多个冲击函数组成，位置在n 1处，强度处，强度2 Fn.2023/4/64950例1(4.7-1)周期矩形脉冲信号n谱系数n傅氏变换pT T(t)(t)t t0 01 1-T-TT T2023/4/65051周期矩形脉冲信号频谱图nF Fn n与与 F(F()图形相似图形相似n含义不同含义不同qFn是虚指数分量的幅度和相位是虚指数分量的幅度和相位qF()是

17、频谱密度是频谱密度 012131F F pT(t)12023/4/651例2 周期单位冲激函数序列dT(t)=d(t-nT)T(t)-T 0 T 2T t n=-2023/4/6(1)52例2 周期单位冲激函数序列T(t)-T 0 T 2T t11()-10 1 F F2023/4/6(1)(1)53周期信号的表示方法nf(t)=f0(t-nT)n =f0(t)*d(t-nT)n =f0(t)*dT(t)tf(t)f0(t)n=-n=-0-TT2023/4/6-/2/2E54三、付里叶系数与付里叶变换nF(F()=(2)=(2)Fn)Fn(-n-n1 1)nFn=(1/T)FFn=(1/T)F

18、0 0(n(n1 1)=(1/T)F)=(1/T)F0 0()|=n=n 1 1n=-tf0(t)0-T/2T/22023/4/655例：求周期三角形脉冲的谱函数tf(t)f0(t)0-TT-t/2t/2Etf0(t)0-t/2t/2tf0”(t)0-t/2t/22023/4/6562023/4/657 4.8 LTI系统的频域分析系统的频域分析 n一、频域响应n(t)LTI系统 yzs(t)=h(t)=(t)*h(t)n ejt LTI系统 H()ejtnf(t)=(1/2)F()ejtdn LTI系统 nyzs(t)=(1/2)H()F()ejtd-2023/4/6581、频率响应的定义n

19、输入为f(t)=ejt 时,系统的零状态响应n y(t)=h(t)*f(t)n =h(t)*ejt n =h()ej(t-)dn =h()e-jdejtn =H()ejt -2023/4/659频率响应函数/系统函数n定义：H()=h(t)e-jtdtn关系：h(t)H()n用来描述系统的特性nH()=H()ej()nh(t)描述时域特性；nH()描述频域特性.-2023/4/6602、频域分析的基础方法n激励qf(t)F()n系统函数qh(t)H()n零状态响应q y(t)Y()=H()F()h(t)*f(t)=y(t)H()F()=Y()2023/4/661两种分析方法的特点n时域分析法q

20、在时间域中进行，比较直观地反映系统响应的波形。方便进行数值计算。n频域分析法q在频率域中进行，是信号分析和处理的有效工具。2023/4/662不同激励信号作用时响应的求解方法n非周期信号激励的系统响应Y()=H()F()y(t)=F F -1 Y()n周期信号激励的系统响应Y()=H()F()=H()(2)Fn(-n1)=(2)Fn H(n1)(-n1)y(t)=F F -1 Y()=F F -1(2)H(n1)Fn(-n 1)=FnH(n 1)ejn 1 t=Ynejn 1 t Yn=H(jn 1)Fn，y(t)=Ynejn 1 tn=-n=-n=-n=-n=-n=-2023/4/663例4

21、.8-1：f(t)=2+4cos(5t)+4cos(10t)求y(t).1-10 -5 0 5 10n解：f(t)是周期信号n基波频率1=5rad/sn（1）用付里叶级数法nf(t)=2+4cos(1t)+4cos(21t)n =2+2ej1t+2e-j1t+2ej21t+2e-j21tn =2 ejn1t n=-222023/4/664例4.8-1：f(t)=2+4cos(5t)+4cos(10t)求y(t).1-10 -5 0 5 10n 2,n=0,1,2nFn=n 0,其余nH()=|H()|ej()nYn=H(n1)Fn=H()|=n1FnnY0=H(0)F0=1ej02=2；nY1

22、=H(1)F1=(1/2)e-j(/2)2=e-j(/2)；nY-1=H(-1)F-1=(1/2)ej(/2)2=ej(/2)；nY2=H(21)F2=0；Y-2=H(-21)F-2=02023/4/665例4.8-1：f(t)=2+4cos(5t)+4cos(10t)求y(t).1-10 -5 0 5 10ny(t)=Yn ejn1t n =Y-1e-j1t+Y0+Y1ej1tn =e-j(5t-/2)+2+ej(5t-/2)n =2+2cos(5t-/2).n=-222023/4/666例4.8-1：f(t)=2+4cos(5t)+4cos(10t)求y(t).1-10 -5 0 5 10

23、n(2)傅里叶变换法nF()=4()n +4(+1)+(-1)n +4(+21)+(-21)n =4 (-n1)n Y()=H()4 (-n 1)=4 H(n1)(-n 1)n =40.5 ej/2(+1)+()+0.5 e-j/2(-1).ny(t)=F-1 Y()=e-j(5t-/2)+2+ej(5t-/2)n =2+2cos(5t-/2).n=-22n=-22n=-222023/4/667例4.8-2 y(t)+2y(t)=f(t),f(t)=e-t(t),求yzs(t).解：对方程等式两边同时取傅氏变换可得jY()+2Y()=F(频率响应H(=Y/F =1/j+2激励信号谱函数F(=1

24、/j+1零状态响应 Y(=HF =1/j+1-1/j+2取反变换得 y(t)=(e-t-e-2t)(t)2023/4/668例4.8-4 已知f(t)=sin(2t)/t，s(t)=cos(3t)，H()=+3-3，求y(t)。n求 X().n x(t)=f(t)s(t)n X()=(1/2)F()*S()nf(t)=2Sa(2t)F()=g4()n s(t)=cos(3t)S()=(+3)+(-3)nX()=(1/2)g4()*(+3)+(-3)n =(/2)g4(+3)+g4(-3).f(t)y(t)s(t)H()2023/4/6 x(t)69n系统 H()=g6()nY()=X()H()

25、n =(/2)g2(+2)+g2(-2)n =(1/2)g2()*(+2)+(-2)ny(t)=Sa(t)cos(2t)=(sint/t)cos2t.X()/2 -5 -1 0 1 5H()1 -3 0 3 Y()/2 -3 -1 0 1 3 2023/4/6nX()=(/2)g4(+3)+g4(-3).70作业nP206207 n4.30n4.34n4.362023/4/6713、求频率响应的方法n由定义：H()=h(t)e-jtdtn由微分方程：y(t)+a1y(t)+a0y(t)=f(t)n两边取付氏变换：(j)2Y()+a1(j)Y()+a0Y()=F()n H()=Y()/F()=1

26、/(j)2+a1(j)+a0.-2023/4/672向量法（简单电路）n由电路分析可知，电路在正弦稳态作用下可应用向量法分析，此时电路有阻抗特征或导纳特征，且其阻抗和导纳均为的复函数。nH()=Y()/F()=2023/4/673例3 求一阶RC电路零状态响应。n解：频率响应函数n激励信号的谱函数n响应的频域表达式 u1(t)+-u2(t)CRu1(t)t0E2023/4/6742023/4/675n为便于进行逆变换，改写为n于是2023/4/676波形及频谱图u2(t)t0E|H()|U1()|U2()|u1(t)t0E2023/4/677二、无失真传输n引起信号失真的根本原因是系统函数。包

27、括两个方面：n幅度失真：|H()|对信号频率分量加权不同，使信号幅度产生相应变化。n相位失真：()对信号频率分量附加了不同相移，而且合成波形也产生了变化。2023/4/678二、无失真传输n1、定义：y(t)=Kf(t-td).n2、频域条件：qY()=Ke-jtd F()qH()=Ke-jtdqH()=K，幅频特性为一常数；对不同频谱分量，加权相同。q()=-td 相频特性为过原点的直线，斜率为-td。02023/4/679二、无失真传输n3、时域条件：nh(t)=F-1H()=F-1 Ke-jtd=K(t-td).n应为冲激函数的K倍，延时td。n(以上为理想条件)n实际传输有限带宽信号时

28、，只要在信号占有频带范围内，系统的幅频特性和相频特性满足前述条件即可。2023/4/680三、理想低通滤波器n1、定义：n H()=1 c n ()=-tdn系统函数：H()=e-jtd c n =e-jtd g2c().宽度为2c，幅度为1的门函数。-c 0 c 12023/4/6812、冲激响应nh(t)=F F-1e-jtd g2c()=(c/)Sac(t-td)=(c/)sinc(t-td)/c(t-td)n特点：1.中心：td 2.峰值：c/3.零点间隔/c4.t0时，h(t)0 非因果系统。2023/4/6823、阶跃响应ng(t)G().nG()=H(j)F F (t)n =()

29、+(1/j)e-jtd cng(t)=(1/2)G()ejtdn =(1/2)()+(1/j)e-jtd ejtdn =1/2+(1/2)ej(t-td)/(j)d n =1/2+(1/)Sic(t-td).n其中Si(x)=(sin)/d-c-cc-cx 02023/4/683tdtth(t)g(t)tr11.0895-0.0895n阶跃响应的斜率 dg(t)/dt=h(t)|t=td=c/n信号的上升时间tr，定义为t=td处斜率的倒数 n通带愈宽，上升时间愈短，波形愈陡直，上升时间与通带宽度成反比n吉伯斯现象：间断点处过冲。n第一个极大值发生在t=td+/c处gmax=1/2+(1/)S

30、ic(t-td)=1/2+(1/)Si(）=1.0895.幅度为9.结论：与结论：与 c无关，不可能通过增大通带宽度来改变。无关，不可能通过增大通带宽度来改变。84四、实际低通滤波器 n一阶低通滤波器n二阶低通滤波器n传输函数 H()=UR()/US()=1/1-2LC+j(L/R)=1/1-(/c)2+j (/c)u1(t)+-CRu2(t)uS(t)+-uR(t)+-CRL 2|H()|()2023/4/685四、实际低通滤波器 n一阶低通滤波器n二阶低通滤波器u1(t)+-CRu2(t)uS(t)+-uR(t)+-CRL|H()|-c 0 c()2023/4/686|H()|-c 0 c

31、()四、实际低通滤波器 n一阶低通滤波器n二阶低通滤波器u1(t)+-CRu2(t)uS(t)+-uR(t)+-CRL-c 0 c|H()|-()电路阶数越高，越接近于理想特性电路阶数越高，越接近于理想特性2023/4/687冲激响应和阶跃响应(欠阻尼情况)0.20.4th(t)Og(t)t1O2023/4/688五、物理可实现系统n1、时域条件qh(t)=0 t0qg(t)=0 t0.n H()d n ln H()/(1+2)d2m无混叠(2)sm为零。n2、抽样频率s 2m；抽样时间间隔不能太长Ts1/(2fm).n满足时，可从fs(t)中恢复f(t)，通过理想低通滤波器(c=s/2)。n

32、最低抽样频率fs=2fm 奈奎斯特频率n最大抽样间隔Ts=1/(2fm)奈奎斯特间隔2023/4/699二、信号的恢复离散信号fs(t)连续信号f(t)n1、理想低通滤波器的选择n m c s/2()=0,t)=0,td d=0.=0.2023/4/61002、理想低通nh(t)=Ts(c/)Sac(t-td)=(2c/s)Sactn取c=s/2,Ts=2/s=/c，得nh(t)=Sa(st/2)nf(t)=f(nTs)(t-n Ts)*Sa(st/2)n =f(nTs)Sas(t-nTs)/2n =f(nTs)Sast/2-n n表示：f(t)可展开为正交抽样函数(Sa函数)的无穷级数,系数

33、为f(nTs)各点的抽样值。n在采样点，f(nTs)与f(t)完全相等，采样点间由Sa函数的无穷波形叠加而成，无失真。n=-n=-n=-2023/4/6101四、频域抽样定理 n频域 时域 2023/4/6102nFs()=F()s()nfs(t)=f(t)*F F -1-1s()n(1/s)Ts(t)(-ns)nfs(t)=f(t)*(1/s)Ts(t)n =(1/s)f(t-nTs)n表示时域信号以为Ts周期重复，幅度为1/s.n=-2023/4/6103混叠现象 n若选Ts2tm 1/Ts=fs2tm，会产生混叠，无法恢复。n频域取样定理：一个在时域区间(-tm,tm)以外为零的有限时间

34、信号f(t)的频谱函数F(j)，可惟一地由其在均匀频率间隔fs(fs1/(2tm)上的样点值F(ns)确定。n2个条件：n有限时间信号f(t)，(-tm,tm)间有值。n取样频率fs1/(2tm)，可恢复。2023/4/6104应用n序列的傅里叶分析n离散傅里叶变换及其性质2023/4/61054.10 序列的傅里叶分析n周期序列的傅里叶级数（DFS）n fN(k)=fN(k+lN)n展开为许多虚指数信号 之和n这些虚指数信号满足n显然，这些函数的周期也为N，于是fN(k）可展开为n为有限项展开106n将该式两端乘以 ，得n并在一个周期内求和，得107n将该式两端乘以 ，得n并在一个周期内求和

35、，得离散傅里叶系数108离散傅里叶系数n离散傅里叶级数离散傅里叶级数Discrete Fourier Series,DFSn离散傅里叶系数（正变换）离散傅里叶系数（正变换）109例4.10-1 求图示周期序列的离散傅里叶级数展开式n解：由图可知周期N=4=/2n据定义式：kO24-2-4 f(k)1110二、非周期序列的离散时间傅里叶变换(DTFT)n周期序列周期序列fN(k)周期周期N时，成为非周期序列时，成为非周期序列f(k)。q谱线间隔谱线间隔(=2/N)0，成为连续谱。，成为连续谱。qn(=n2/N)(数字角数字角频频率率)q一个周期内的求和，区一个周期内的求和，区间扩间扩展展为为(-，)n定定义义非周期序列非周期序列f(k)的的离散时间傅里叶变换离散时间傅里叶变换(DTFT)为为q是是的的连续频谱连续频谱，周期，周期为为2 q通常通常为复函数复函数幅频特性相频特性111n由由DFS定义式定义式qN时，时，n2/Nq2/N0，用，用d表示表示qfN(k)f(k)，FN(n)F(e j)q求和求和积分，为积分，为2区区间间内内对对积分。积分。n离散离散时间时间傅里叶逆傅里叶逆变换变换112