(精品)第一章 利息理论(年金问题).ppt

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1、保保 险险 精精 算算 学学Actuarial ScienceActuarial Science单 位：广东医人文管理院主讲教师：曾理斌联系方式：第三节第三节年金年金第三节汉英名词对照第三节汉英名词对照n年金年金n支付期支付期n延付年金延付年金n初付年金初付年金n永久年金永久年金n变额年金变额年金n递增年金递增年金n递减年金递减年金nAnnuitynPayment periodnAnnuity-immediatenAnnuity-duenperpetuitynVarying annuitynIncreasing annuitynDecreasing annuity一、年金的定义与分类一、年金的

2、定义与分类n定义定义n按一定的时间间隔支付的一系列付款称为年金。原按一定的时间间隔支付的一系列付款称为年金。原始含义是限于一年支付一次的付款，现已推广到任始含义是限于一年支付一次的付款，现已推广到任意间隔长度的系列付款。意间隔长度的系列付款。n分类分类n基本年金基本年金n等时间间隔付款等时间间隔付款n付款频率与利息转换频率一致付款频率与利息转换频率一致n每次付款金额恒定每次付款金额恒定n一般年金一般年金n不满足基本年金三个约束条件的年金即为一般年金不满足基本年金三个约束条件的年金即为一般年金二、基本年金二、基本年金n基本年金基本年金n等时间间隔付款等时间间隔付款n付款频率与利息转换频率一致付款

3、频率与利息转换频率一致n每次付款金额恒定每次付款金额恒定n分类分类n付款时刻不同：初付年金付款时刻不同：初付年金/延付年金延付年金n付款期限不同：有限年金付款期限不同：有限年金/永久年金永久年金基本年金图示基本年金图示1.延付年金（期末付年金）延付年金（期末付年金）2.初付年金（期初付年金）初付年金（期初付年金）基本年金公式推导基本年金公式推导年金现值与累积值的关系年金现值与累积值的关系例例1.11n一项年金在一项年金在20年内每半年末付年内每半年末付500元，设元，设利率为每半年转换利率为每半年转换9%，求此项年金的现，求此项年金的现时值。时值。例例1.12 n某人以月度转换名义利率某人以月

4、度转换名义利率5.58%从银行贷从银行贷款款30万元，计划在万元，计划在15年里每月末等额偿还。年里每月末等额偿还。问：（问：（1）他每月等额还款额等于多少？）他每月等额还款额等于多少？（2）假如他想在第五年末提前还完贷款，）假如他想在第五年末提前还完贷款，问除了该月等额还款额之外他还需一次性问除了该月等额还款额之外他还需一次性付给银行多少钱？付给银行多少钱？例例1.12答案答案（1）（2）例例1.13n假定现在起立即开始每假定现在起立即开始每6个月付款个月付款200直到直到满满4年，随后再每年，随后再每6个月付款个月付款100直到从现直到从现在起满在起满10年，若年，若 求这些付款的现时值。

5、求这些付款的现时值。例例1.13答案答案n方法一：方法一：n方法二：方法二：例例1.14n某人在某人在30岁时计划每年初存入银行岁时计划每年初存入银行300元元建立个人帐户，假设他在建立个人帐户，假设他在60岁退休，存款岁退休，存款年利率假设恒定为年利率假设恒定为3。（1）求退休时个人帐户的积累值。）求退休时个人帐户的积累值。（2）如果个人帐户积累值在退休后以固定年）如果个人帐户积累值在退休后以固定年金的方式在金的方式在20年内每年领取一次，求每年年内每年领取一次，求每年可以领取的数额。可以领取的数额。例例1.14答案答案（1）退休时个人帐户积累值计算）退休时个人帐户积累值计算（2）退休后每年

6、可领取退休金）退休后每年可领取退休金例例1.15n有一企业想在一学校设立一永久奖学金，有一企业想在一学校设立一永久奖学金，假如每年发出假如每年发出5万元奖金，问在年实质利率万元奖金，问在年实质利率为为20%的情况下，该奖学金基金的本金至的情况下，该奖学金基金的本金至少为多少？少为多少？例例1.16永久年金永久年金nA留下一笔留下一笔100000元的遗产。这笔财产头元的遗产。这笔财产头10年的利息付给受益人年的利息付给受益人B，第第2个个10年的年的利息付给受益人利息付给受益人C，此后的利息都付给慈善此后的利息都付给慈善机构机构D。若此项财产的年实质利率为若此项财产的年实质利率为7%，试确定试确

7、定B，C，D在此笔财产中各占多少份在此笔财产中各占多少份额？额？例例1.16答案答案基本年金公式总结基本年金公式总结年金年金有限年金有限年金永久年金永久年金现时值现时值积累值积累值现时值现时值延付延付初付初付 未知时间问题未知时间问题n年金问题四要素年金问题四要素n年金、利率、支付时期（次数）、积累值（现年金、利率、支付时期（次数）、积累值（现时值）时值）n关注最后一次付款问题关注最后一次付款问题n在最后一次正规付款之后，下一个付款期做一在最后一次正规付款之后，下一个付款期做一次较小付款（次较小付款（drop payment）n在最后一次正规付款的同时做一次附加付款在最后一次正规付款的同时做一

8、次附加付款（balloon payment）例例1.17n有一笔有一笔1000元的投资用于每年年底付元的投资用于每年年底付100元，元，时间尽可能长。如果这笔基金的年实质利率为时间尽可能长。如果这笔基金的年实质利率为5%，试确定可以作多少次正规付款以及确定较，试确定可以作多少次正规付款以及确定较小付款的金额，其中假定较小付款是：小付款的金额，其中假定较小付款是：（1）在最后一次正规付款的日期支付。）在最后一次正规付款的日期支付。（2）在最后一次正规付款以后一年支付）在最后一次正规付款以后一年支付（3）按精算公式，在最后一次付款后的一年中间）按精算公式，在最后一次付款后的一年中间支付。（精算时刻

9、）支付。（精算时刻）例例1.17答案答案变利率年金问题变利率年金问题n类型一：时期利率类型一：时期利率(第第K个时期利率为个时期利率为 )变利率年金问题变利率年金问题n类型二：付款利率（第类型二：付款利率（第K次付款的年金始终次付款的年金始终以利率以利率 计息）计息）例例1.18:n某人每年年初存进银行某人每年年初存进银行1000元元,前前4年的年年的年利率为利率为6%,后后6年由于通货膨胀率年由于通货膨胀率,年利率年利率升到升到10%,计算第计算第10年年末时存款的积累年年末时存款的积累值值.例例1.18答案答案例例1.19:n某人每年年初存进银行某人每年年初存进银行1000元元,前前4次存

10、款次存款的年利率为的年利率为6%,后后6次付款的年利率升到次付款的年利率升到10%,计算第计算第10年年末时存款的积累值年年末时存款的积累值.例例1.19答案答案三、一般年金三、一般年金n一般年金一般年金n利率在支付期发生变化利率在支付期发生变化n付款频率与利息转换频率不一致付款频率与利息转换频率不一致n每次付款金额不恒定每次付款金额不恒定n分类分类n支付频率不同于计息频率的年金支付频率不同于计息频率的年金n支付频率小于计息频率的年金支付频率小于计息频率的年金n支付频率大于计息频率的年金支付频率大于计息频率的年金n变额年金变额年金支付频率不同于计息频率年金支付频率不同于计息频率年金n分类分类n

11、支付频率小于利息转换频率支付频率小于利息转换频率n支付频率大于利息转换频率支付频率大于利息转换频率n方法方法n通过名义利率转换，求出与支付频率相同的实通过名义利率转换，求出与支付频率相同的实质利率。质利率。n年金的代数分析年金的代数分析支付频率小于计息频率年金支付频率小于计息频率年金0k2knk计计息息支付支付111方法一方法一:利率转换利率转换方法二方法二:年金转换年金转换例例1.20:n某人每年年初在银行存款某人每年年初在银行存款2000元元,假如每假如每季度计息一次的年名义利率为季度计息一次的年名义利率为12%,计算计算5年后该储户的存款积累值年后该储户的存款积累值.例例1.20答案答案

12、n方法一方法一:利率转换法利率转换法n方法二方法二:年金转换法年金转换法例例1.21：永久年金：永久年金n有一永久年金每隔有一永久年金每隔k年末付款年末付款1元，问在年实质元，问在年实质利率为利率为i的情况下，该永久年金的现时值。的情况下，该永久年金的现时值。支付频率大于利息转换频率支付频率大于利息转换频率支付频率大于0第m次每次支付第2m次每次支付第nm次每次支付计息支付12n年金分析方法年金分析方法n方法一：利率转换法方法一：利率转换法n年金转换法年金转换法例例1.22n某购房贷款某购房贷款8万元万元,每月初还款一次每月初还款一次,分分10年年还清还清,每次等额偿还每次等额偿还,贷款年利率

13、为贷款年利率为10.98%,计算每次还款额计算每次还款额.例例1.22答案答案n方法一方法一:n方法二方法二:例例1.23：永久年金：永久年金n一笔年金为每一笔年金为每6个月付个月付1元，一直不断付下元，一直不断付下去，且第一笔付款为立即支付，问欲使该去，且第一笔付款为立即支付，问欲使该年金的现时值为年金的现时值为10元，问年度实质利率应元，问年度实质利率应为多少？为多少？例例1.23答案答案年金关系年金关系延付年金延付年金初付年金初付年金现时值现时值积累值积累值一般年金代数公式一般年金代数公式年金年金支付频率小于计息频率支付频率小于计息频率支付频率大于计息频率支付频率大于计息频率现时值现时值

14、积累值积累值现时值现时值积累值积累值延付延付初付初付连续年金连续年金n定义定义:付款频率无穷大的年金叫连续年金付款频率无穷大的年金叫连续年金.n公式公式:恒定利息效力场合恒定利息效力场合例例1.24n确定利息效力使确定利息效力使变额年金变额年金n等差年金等差年金n递增年金递增年金n递减年金递减年金n等比年金等比年金等差年金等差年金n一般形式一般形式n现时值现时值n积累值积累值012nPP+QP+(n-1)Q特殊等差年金特殊等差年金年金年金递增年金递增年金递减年金递减年金P=1,Q=1P=n,Q=-1现时值现时值积累值积累值例例1.25n从首次付款从首次付款1开始开始,以后每次付款递增以后每次付

15、款递增1,只只增加到增加到M,然后保持付款额不变的然后保持付款额不变的N年期期年期期末付年金末付年金,可以表示成可以表示成 n计算计算例例1.25答案答案例例1.26n有一项延付年金，其付款额从有一项延付年金，其付款额从1开始每年增开始每年增加加1直至直至n，然后每年减少然后每年减少1直至直至1，试求其，试求其现时值。现时值。例例1.26答案答案等比年金等比年金012n11+k例例1.27:n某期末付永久年金首付款额为某期末付永久年金首付款额为5000元元,以以后每期付款额是前一期的后每期付款额是前一期的1.05倍倍,当利率为当利率为0.08时时,计算该永久年金的现时值计算该永久年金的现时值.

16、例例1.27答案答案1、某家庭从子女出生时开始累积大学教育某家庭从子女出生时开始累积大学教育费用费用 5 万元万元 如果它们前十年每年底存款如果它们前十年每年底存款 1000元元 后十年每年底存款后十年每年底存款 1000+X 元元 年利率年利率 7，计算，计算 X。(651.7238)2 、价值、价值 10,000 元的新车元的新车 购买者计划分期购买者计划分期付款方式付款方式 每月底还每月底还 250 元元 期限期限 4 年年 月结月结算名利率算名利率 18，计算首次付款金额。计算首次付款金额。(1489.36159)3、已知、已知 半年结算名利率半年结算名利率 6 计算下面年金的现值计算

17、下面年金的现值，从现在开始每半年付款，从现在开始每半年付款 200 元元 共计共计 4 年年 然后然后 减为每次减为每次 100 元元 共计共计 10 年。年。(2389.72)4、某人现年、某人现年 40 岁岁 现在开始每年初在退休金帐号现在开始每年初在退休金帐号上存入上存入 1000 元元 共计共计 25 年年 然后然后 从从65 岁开始岁开始每年初领取一定的退休金每年初领取一定的退休金 共计共计 15 年年 设前设前 25 年年的年利率为的年利率为 8 后后 15 年的年利率年的年利率7，计算每年，计算每年的退休金。的退休金。(8102)5、现有价值相等的两种期末年金、现有价值相等的两种

18、期末年金 A和和 B 年年金，金，A在第在第110年和第年和第21 30年中每年年中每年1元在第元在第 11 20 年中每年年中每年 2 元；元；年金年金 B在第在第 1 10 年和第年和第 21 30 年中每年年中每年Y 元，元，在第在第 1120 年中没有。年中没有。已知已知 V10=1/2，计算，计算Y。(1.8)6、已知年金满足、已知年金满足 2 元的元的 2n期期末年金与期期末年金与 3 元的元的n期期末年金的现值之和为期期末年金的现值之和为 36，另外，另外递延递延n年的年的 2 元元n期期末年金的现值为期期末年金的现值为 6 计算计算i(7%)。7、某雇员在退休前的第、某雇员在退

19、休前的第 37 年参加企业养老金计年参加企业养老金计划划 年收入为年收入为18,000 元元 然后每年以然后每年以 4的速度的速度增加增加 假定提薪恰好在每年的年中进行假定提薪恰好在每年的年中进行。计算。计算 分分别对以下两种退休金方式计算年退休金占退休前别对以下两种退休金方式计算年退休金占退休前一年年薪的比例一年年薪的比例 1）如果年退休金为工作期间年）如果年退休金为工作期间年平均工资的平均工资的 70 年退休金为年平均工资的年退休金为年平均工资的 2.5 再乘以工作年限再乘以工作年限；2）如果企业和个人分别将如果企业和个人分别将年工资的年工资的 3 存入年利率存入年利率 6 的养老基金；的养老基金；试试对以上两种退休金方式计算退休金的领取年限。对以上两种退休金方式计算退休金的领取年限。(37.7%,49.8%,12.19,8.34)