19.4综合与实践多边形的镶嵌 (2).ppt

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1、 19.4 19.4 综合与实践综合与实践 多边形的镶嵌多边形的镶嵌 袁小木袁小木 2019.62019.6 知识回顾1.n 边形的内角和公式为_(n为大于或等于3的整数）。2.正n边形每一个内角的度数为_(n为大于或等于3的整数）。3.周角的度数为_。（n-2）180360 看一看，这些图形拼成的平面图案的共同特征是什么？不重叠，无缝隙 看一看，这些图案是由哪些熟悉的图形拼成的？我们把这种覆盖平面区域就叫做平面镶嵌用形状相同或不同的平面封闭图形，覆用形状相同或不同的平面封闭图形，覆盖平面区域，使图形间既盖平面区域，使图形间既无缝隙无缝隙又又不重不重叠叠地地全部覆盖全部覆盖，叫做，叫做平面镶嵌

2、平面镶嵌。定义：定义：仅用仅用一种一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面区域正多边形能镶嵌成一个平面区域？探究探究 （一）（一）正三角形的平面镶嵌6060606060606 6个正三角形可以镶嵌个正三角形可以镶嵌用用边长相同边长相同的正方形能否镶嵌？的正方形能否镶嵌？用用边长相等边长相等的正方形可以镶嵌的正方形可以镶嵌正方形的平面镶嵌904 4个正方形可以镶嵌个正方形可以镶嵌正六边形的平面镶嵌120 120 120 3 3个正六边形个正六边形可以镶嵌可以镶嵌1231+2+3=?1+2+3=?用边长相同的用边长相同的正五边形正五边形能否镶嵌？能否镶嵌？图形图形一一个

3、个顶顶点点周周围围正正多边形的个数多边形的个数 能能能能能能正三角形正三角形正方形正方形正五边形正五边形正六边形正六边形643不能不能能否平能否平面镶嵌面镶嵌90一个内一个内角度数角度数10860120思考：思考：能进行镶嵌的条件是什么？能进行镶嵌的条件是什么？要用图形不留空隙、不重叠地镶嵌要用图形不留空隙、不重叠地镶嵌一个平面区域，需使得一个平面区域，需使得拼接点拼接点处处的的所有内角之和等于所有内角之和等于360正多边形可以镶嵌的条件：正多边形可以镶嵌的条件：每个内角都能每个内角都能整除整除360360o o。还能找到能镶嵌的其他正多边形吗？因因为为其其他他的的正正多多边边形形的的每每个个

4、内内角角的的度度数数都都不不能能被被360360整除，整除，所所以以说说：在在正正多多边边形形里里只只有有正正三三角角形形、正正四四边边形形、正六边形可以镶嵌，而其他的正多边形不可镶嵌。正六边形可以镶嵌，而其他的正多边形不可镶嵌。结论1:可以用可以用同一种同一种正多边形镶嵌的图形正多边形镶嵌的图形 只有三种情况只有三种情况:正三角形，正四边形，正六边形正三角形，正四边形，正六边形。用用两种两种正多边形镶嵌，哪些能镶嵌正多边形镶嵌，哪些能镶嵌成一个平面区域成一个平面区域?探究（二）探究（二）设在一个顶点周围有m个正三角形，n个正方形的角。注意：同一个组合会有不同的镶嵌效果（1）正三角形与正方形的

5、平面镶嵌1201206060图案（）设在一个顶点周围有m个正三角形，n个正六边形的角。（2 2）正三角形与正六边形的平面镶嵌）正三角形与正六边形的平面镶嵌图案（）60601206060（2 2）正三角形与正六边形的平面镶嵌）正三角形与正六边形的平面镶嵌每个顶点处正三角形4个，正六边形1个。正十二边形与正三角形的平面镶嵌正八边形与正方形的平面镶嵌正十边形与正五边形的平面镶嵌2m+3n=8m=1n=2m90+n135=360。设在一个顶点周围有个设在一个顶点周围有个 m 正方形的角正方形的角,n 个正八边形个正八边形的角，则有的角，则有 m,n 为正整数为正整数解为解为2m+5n=12m=1n=2

6、 m60+n150=360。设在一个顶点周围有设在一个顶点周围有 m 个正三角形的角个正三角形的角,n 个正十二边形个正十二边形的角，则有的角，则有 m,n 为正整数为正整数解为解为设在一个顶点周围有设在一个顶点周围有 m 个正五边形的角个正五边形的角,n 个正十边形的个正十边形的角，则有角，则有3m+4n=10m=2n=1m108+n144=360 。m,n 为正整数为正整数解为解为正三角形与正方形、正六边形的平面镶嵌正十二边形与正方形、正六边形的平面镶嵌探究（三）仅用同一种形状、大小完全相同的仅用同一种形状、大小完全相同的多边形能进行平面镶嵌吗？多边形能进行平面镶嵌吗？结论：结论：形状、大

7、小完全相同的任意形状、大小完全相同的任意三角形能镶嵌成平面图形。三角形能镶嵌成平面图形。通过探究发现：通过探究发现：1.1.任意形状、大小相同的三角形都任意形状、大小相同的三角形都_镶嵌镶嵌,2.2.在每个拼接点处有在每个拼接点处有_个角，而这个角，而这_个角个角的和恰好是这个三角形的内角和的的和恰好是这个三角形的内角和的_倍，倍，也就是它们的和为也就是它们的和为_._.能能六六六六两两360o结论：结论：形状、大小相同的任意四边形形状、大小相同的任意四边形能镶嵌成平面图形。能镶嵌成平面图形。通过探究我发现：通过探究我发现：1.1.任意形状大小相同的四边形任意形状大小相同的四边形_ 镶嵌镶嵌.

8、2.2.在每个拼接点处有在每个拼接点处有_个角，而这个角，而这_个个角的和恰好是这个四边形的四个内角之角的和恰好是这个四边形的四个内角之_,_,也就是它们的和为也就是它们的和为_._.能能四四四四和和360360上面我们讨论的一般三角形和四上面我们讨论的一般三角形和四边形都可以平面镶嵌，因为三角边形都可以平面镶嵌，因为三角形的内角和是形的内角和是180，四边形内角，四边形内角和是和是360它们的内角和的整数倍它们的内角和的整数倍都是都是360，那么其它的一般多边，那么其它的一般多边形能进行镶嵌吗？形能进行镶嵌吗？例如：在五边形中，内角和例如：在五边形中，内角和540，已，已经超过经超过360，

9、即每一个内角拼接在一，即每一个内角拼接在一起时有重叠部分，不符合平面镶嵌的起时有重叠部分，不符合平面镶嵌的含义。当边数越大时，内角和也越大，含义。当边数越大时，内角和也越大，更不符合要求，因此边数大于更不符合要求，因此边数大于4的一般的一般多边形不可以平面镶嵌。多边形不可以平面镶嵌。小结小结:用一种用一种形状、大小完全相同的三角形、形状、大小完全相同的三角形、四边形四边形也能进行平面镶嵌也能进行平面镶嵌练习：1.某商店出售下列五种形状的地砖:正三角形、正方形、正五边形、正六边形、正八边形，如果只选用其中一种地砖镶嵌地面，可供选择的地砖共有_种。3 3 2.用两种正多边形进行镶嵌，不能与正三角形

10、匹配的多边形是（）。A.正方形 B.正六边形 C.正十二边形 D.正十八边形 D 小结小结:(1)镶嵌的含义：镶嵌的含义：用形状相同或不同的平面封闭图形，覆盖平面区域，使图用形状相同或不同的平面封闭图形，覆盖平面区域，使图形间既无缝隙又不重叠地全部覆盖，在几何里叫做形间既无缝隙又不重叠地全部覆盖，在几何里叫做平面镶平面镶嵌嵌。(2)镶嵌成平面图案的条件是镶嵌成平面图案的条件是:多边形围绕某一点的内角和为多边形围绕某一点的内角和为360 (4)任意一种三角形任意一种三角形,任意一种四边形都能镶嵌任意一种四边形都能镶嵌。（3）仅用一种能进行镶嵌的正多边形有）仅用一种能进行镶嵌的正多边形有：正三角形，正四边形，正六边形。正三角形，正四边形，正六边形。（5）几种正多边形能镶嵌的条件是：）几种正多边形能镶嵌的条件是：边长相等，且内角相加能凑成边长相等，且内角相加能凑成360 请你分别按下列要求设计一个多边形的镶嵌图案:（1）只用一种正多边形；（2）同时用两种正多边形；（3）用一种非正多边形。