理科数学(一卷)答案THUSSAT11月测试2631.pdf

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1、第 1 页 共 7 页 中学生标准学术能力诊断性测试 2018 年 11 月测试理科数学试卷（一卷）参考答案 一.选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.二.填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.2 1436 2019 15 2 16(0,)三、解答题：共 70 分,解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤,第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答,第 22,23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60 分.1710 分 解:（1）由条件和正弦定理可得 b2 c2 a2 2b a

2、1 分 b 整理得b2 a2 c2 ab 从而由余弦定理得 cosC=1.2 分 2 又C 是三角形的内角 3 分 C 4 分 3 （2）由余弦定理得c2 a2 b2 2abcosC a2 b2 ab，5 分 a b 4，c2 a2 b2 ab (a b)2 3ab 16 3ab，7 分 a b 2 c2 16 3ab 16 3 4（当且仅当 a=b=2 时等号成立）9 分 2 c 的最小值为 2，故 SABC 1 absin C 2 10 分 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C D A A D B A B C B B D 第 2 页 共 7 页 6 1814 分 证

3、明：（1）取线段 SC 的中点 E，连接 ME,ED 1 分 在SBC 中，ME 为中位线 ME 1 BC，2 分 2 AD 1 BC ME AD 3 分 2 四边形 AMED 为平行四边形4 分 AM DE 5 分 DE 平面SCD AM 平面SCD AM 平面SCD 6 分 （2）以点 A 为坐标原点，建立分别以 AD、AB、AS 为 x 轴、y 轴、z 轴，如图所示的空间直角坐标系，则 A(0,0,0)，B(0,2,0)，C(2,2,0)，D(1,0,0)，S(0,0,2)，7 分 由条件得 M 为线段 SB 近 B 点的三等分点8 分 于是 AM=2 AB 1 AS=4 2 4 2，即

4、 M(0,)0,3 3 3 3 3 3 AM n 0 设平面 AMC 的一个法向量为 n=(x,y,z)，则，AC n 0 将坐标代入得 n=(-1,1,-2)9 分 另外易知平面 SAB 的一个法向量为 m=(1,0,0)，10 分 所以平面 AMC 与平面 SAB 所成的锐二面角的余弦值为=11 分 6 (3)设 N(x,2x2,0)，其中1 x 2由于 M(0,4,2)，所以 MN x,2x 10,2 3 3 3 3 E n m n m 第 3 页 共 7 页 11 5 1 x 1 所以 sin=12 分 5x2 40 x 104 104 1 40 1 5 3 9 9 x2 3 x 1

5、40 15 26 可知当 3 ,即 x 时分母有最小值，此时 sin 有最大值，13 分 x 208 26 15 9 26 22 此时 N(15,0)，即点 N 在线段 CD 上且 ND .14 分 15 15 1910 分 解：（1）由概率分布的性质有 0.10.20.30.1 t+2t 11 分 所以t 0.1，2 分 X 的分布列为：X 20 22 24 26 28 30 P 0.1 0.2 0.3 0.1 0.1 0.2(写出分布列得4 分)E(X)200.1 220.2 240.3 260.1 280.1 300.2 25(km)D(X)520.1 320.2 120.3 120.1

6、 320.1 520.2 10.6.6 分(2)由已知设梁某一天出车一次的收入为 Y 元,则 Y 3(X 3)5=3X4,(X3，XN)，8 分 E(Y)E(3X4)3E(X)4325471(元)，9 分 D(Y)D(3X4)32D(X)95.4.10 分 2014 分 解（1）由抛物线 y2 2 px p 0 过点 P(1,1)，得 2p=1，即 y2 x 1 分 将条件k k 0 写为 y1 1 y2 1 0,2 分 PA PB x 1 x 1 注意到 y2 x,y2 x 1 2 ,代入上式得到 1 0,1 1 2 2 y 1 y 1 1 2 MN m MN m 第 4 页 共 7 页 (

7、x x)2 4x x 1 2 1 2 3 2b 5 3 2b 5 1 b0,1通分整理得 y1 y2 2 4 分 设直线 AB 的斜率为k，由 y2 x,y2 x,AB 1 1 2 2 得 k y2 y1 1(x x)，5 分 AB x x y y 1 2 2 1 1 2 由于 y1 y2 2，将其代入上式得kAB y y 1 6 分 2 1 2（2）因此设直线 AB 的方程为 y 1 2 y2 x x b，1 2 2 由 y 1 x b，消去 y 整理,得 4 x b 1 x b 0,8 分 2 =b 12 b2 0，且 x x 4(b 1),x x 4b2，10 分 1 2 1 2 AB

8、5 2 4 又点 P 到直线 AB 的距离为 d=,所以 S 1 AB d 1 2 5 2b 1=3 2b 11 分 ABP 2 2 令 f(x)1 2x2x 32，其中 x0,1，12 分 则由 f x 22x 36x 1 0,得 x=1 6 3 或 x=,2 当 x(0,1)时，f x 0,所以 f x 单调递增,6 5 2b 1 1 2b 第 5 页 共 7 页 当 x(1,1)时，f x 0,所以 f x 单调递减,13 分 6 1 故 f(x)的最大值为 f 6 =256 27 故ABP 面积 S 的最大值为 f 1 =16 3.14 分 2112 分 ABP 6 9 解（1）f(x

9、)的定义域是0,且 f(x)2ln x 4 2 分 由 f(x)0 得 x e2,3 分 当 x 0,e2 时,f(x)0,此时 f(x)单调递减；当 x e2,+时,f(x)0,此时 f(x)单调递增；综上,f(x)的减区间为0,e2,f(x)的增区间为e2,+.5 分 证明（2）k f(x2)f(x1)2ln x2 2ln x1 ，6 分 要证明 x x2 x1 2 x，即 证 x x2 x1 x2 x1 x，7 分 1 k 2 1 ln x ln x 2 等价于1 x2 1 x1 ln x2 x1 2 1 x2，8 分 x1 令t x2（由 x11）,9 分 x1 则只需证1 t 1 t

10、，由 t1，知 ln t0，ln t 故等价于ln t t1 t ln t t 1.*10 分 设 g t t1ln t，则当 t1 时，g t 1 1 0,t 所以 g(t)在(1,+)内是增函数，第 6 页 共 7 页 3 当 t1 时，g t t1ln t g 1 0，所以t1 ln t；设 ht t ln t(t1)，则当 t1 时，h t ln t 0，所以 h(t)在(1,+)内是增函数，所以当 t1 时，h(t)=t ln t(t1)h(1)=0，即t ln t t1t 1 2 由知(*)成立，所以 x1 k 0 解得a 2 14 分 x2 y2（2）曲线 C2 的普通方程为+1

11、,点 C(2,1)在直线 y=x1 上,5 分 4 3 x 2 2 t 2 所以直线 l 的参数方程可以写为 y 1 2 t 2（t 为参数），6 分 x2 y2 将上式代入+1得 7 t2 10 2t 4 0 8 分 4 3 2 设 A,B 对应的参数分别为 t1,t2,所以t t 20 2,t t 8，9 分 1 2 7 1 2 7 所 以 AC BC|t t|t t 20 2 10 分 1 2 1 2 7 23解：（1）f(x)x 1 3x a 4 1 ,当 3 时，即 1 ，()=2+1,3 3 1 1 分 4+1,1 a 1 2 2 第 7 页 共 7 页 f 1 （f a=3 a

12、a 2 a 3 0 f 1（f-）（-1）=3 3 3 a-）3 2 分 则当 x=a 时，()3 =4()1 =1 3 a=6 3 分 4 1 ,1 当 3 时，即 1 3,()=2 +1,1 3 4+1,3 4 分 f 1 （f a =3 a a 2 3 a 0 f 1（f a-）（-+1）=3 3 3 a-）3 则当 x=3 时，()=4()+1+=1 3 a=0 5 分 当=3 时，即 1=3,()=4|+1|当=1 时，(x)min=0 不满足题意 综上=0 或=6 6 分 （2）由题意知，m n 3，m 0,n 0，m n2 m2 n2 2mn m2 n2 m2 n2 2m2 n2 7 分 即 m2 n2 1 m n2,8 分 2 3 当且仅当 m=n=2 时取“=”m2 n2 9，m2+n2 的最小值为 9 10 分 2 2