点集拓扑学期末考试练习题集(含答案解析)17110.pdf

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1、点集拓扑学期末考试 一、单项选择题（每题 1 分）1、已知,Xa b c d e,下列集族中，（）是X上的拓扑.,Xaa ba c eT ,Xa b ca b da b c eT ,Xaa bT ,XabcdeT 答案：2、设,Xa b c，下列集族中,（）是X上的拓扑.,Xaa bcT ,Xaa ba cT ,Xaba cT ,XabcT 答案：3、已知,Xa b c d,下列集族中，（）是X上的拓扑.,Xaa ba c dT ,Xa b ca b dT ,Xaba c dT ,XabT 答案：4、设,Xa b c，下列集族中,（）是X上的拓扑.,Xbca bT ,Xaba ba cT ,X

2、aba cT ,XabcT 答案：5、已知,Xa b c d,下列集族中，（）是X上的拓扑.,Xa ba c dT ,Xa ba c dT ,Xaba c dT ,Xaca cT 答案：6、设,Xa b c，下列集族中,（）是X上的拓扑.,Xabb cT ,Xa bb cT ,Xaa cT ,XabcT 答案：7、已知,Xa b c d，拓扑,XaT,则b=（）X b ,b c d 答案：8、已知,Xa b c d，拓扑,XaT,则,b c d=（）X b ,b c d 答案：9、已知,Xa b，拓扑,XaT,则 a=（）X a b 答案：10、已知,Xa b，拓扑,XaT,则 b=（）X a

3、 b 答案：11、已知,Xa b c d，拓扑,XaT,则 a=（）X ,a b ,b c d 答案：12、已知,Xa b c d，拓扑,XaT,则 c=（）X ,a c ,b c d 答案：13、设,Xa b c d，拓扑,Xab c dT,则X的既开又闭的非空真子集个数（）1 2 3 4 答案：14、设,Xa b c，拓扑,Xab cT,则X的既开又闭的非空真子集的个数为（）1 2 3 4 答案：15、设,Xa b c，拓扑,Xbb cT,则X的既开又闭的非空真子集的个数为（）0 1 2 3 答案：16、设,Xa b，拓扑,XbT,则X的既开又闭的子集的个数为（）0 1 2 3 答案：17

4、、设,Xa b，拓扑,XabT,则X的既开又闭的子集的个数为（）1 2 3 4 答案：18、设,Xa b c，拓扑,Xaba bb cT,X的既开又闭的非空真子集个数（）1 2 3 4 答案：19、在实数空间中，有理数集Q的部Q 是（）Q R-Q R 答案：20、在实数空间中，有理数集Q的边界()Q是（）Q R-Q R 答案：21、在实数空间中，整数集Z的部Z 是（）Z R-Z R 答案：22、在实数空间中，整数集Z的边界()Z是（）Z R-Z R 答案：23、在实数空间中，区间0,1)的边界是（）0,1 0,1 (0,1)答案：24、在实数空间中，区间2,3)的边界是（）2,3 2,3 (2

5、,3)答案：25、在实数空间中，区间0,1)的部是（）0,1 0,1 (0,1)答案：26、设X是一个拓扑空间，A,B 是X的子集,则下列关系中错误的是（）()()()d ABd Ad B ABAB ()()()d ABd Ad B AA 答案:27、设X是一个拓扑空间，A,B 是X的子集,则下列关系中正确的是（）()()()d ABd Ad B ABAB ()()()d ABd Ad B AA 答案:28、设X是一个拓扑空间，A,B 是X的子集,则下列关系中正确的是（）()d ABAB ABAB ()()()d ABd Ad B ()()d d AAd A 答案:29、已知X是一个离散拓扑空

6、间，A 是X的子集,则下列结论中正确的是（）()d A ()d AXA ()d AA ()d AX 答案：30、已知X是一个平庸拓扑空间，A 是X的子集,则下列结论中不正确的是（）若A,则()d A 若0Ax,则()d AXA 若 A=12,x x,则()d AX 若AX,则()d AX 答案：31、已知X是一个平庸拓扑空间，A 是X的子集,则下列结论中正确的是（）若A,则()d A 若0Ax,则()d AX 若 A=12,x x,则()d AXA 若12,Ax x,则()d AA 答案：32、设,Xa b c d，令,a b ccdB,则由B产生的X上的拓扑是（）X,c,d,c,d,a,b,

7、c X,c,d,c,d X,c,a,b,c X,d,b,c,b,d,b,c,d 答案：33、设X是至少含有两个元素的集合，pX,|GXpGT 是X的拓扑，则（）是T的基.,|Bp xxXp|BxxX ,|Bp xxX|BxxXp 答案：34、设,Xa b c,则下列X的拓扑中（）以,SXa为子基.X,a,a,c X,a X,a,b,a,b X,答案：35、离散空间的任一子集为()开集 闭集 即开又闭 非开非闭 答案：36、平庸空间的任一非空真子集为()开集 闭集 即开又闭 非开非闭 答案：37、实数空间R中的任一单点集是()开集 闭集 既开又闭 非开非闭 答案：38、实数空间 R 的子集 A=

8、1,21,31,41,则A（）R A0 A 答案：39、在实数空间 R 中，下列集合是闭集的是（）整数集 ba,有理数集 无理数集 答案：40、在实数空间 R 中，下列集合是开集的是（）整数集 Z 有理数集 无理数集 整数集 Z 的补集Z答案：41、已知1,2,3X 上的拓扑,1TX,则点 1 的邻域个数是（）1 2 3 4 答案：42、已知,Xa b,则X上的所有可能的拓扑有（）1 个 2 个 3 个 4 个 答案：43、已知X=a,b,c,则X上的含有个元素的拓扑有（）个 3 5 7 9 答案：44、设(,)TX为拓扑空间,则下列叙述正确的为()T,TX T,TX 当TT时,TTUU 当T

9、T时,TTUU 答案：45、在实数下限拓扑空间R中，区间,)a b是（）开集 闭集 既是开集又是闭集 非开非闭 答案：46、设X是一个拓扑空间，,A BX,且满足()d ABA,则B是（）开集 闭集 既是开集又是闭集 非开非闭 答案：47、设1,2,3X,1,2,1,3,1,2T=X是X的拓扑，1,2A,则X的子空间A的拓扑为(),2,1,2T ,1,2,1,2TX ,1,2TA ,1,2TX 答案：48、设1,2,3X,1,2,1,3,1,2T=X是X的拓扑，1,3A,则X的子空间A的拓扑为(),1,3,1,3T ,1TA ,1,3,1,3TX ,1TX 答案：49、设1,2,3X,1,2,

10、1,3,1,2T=X是X的拓扑，2,3A,则X的子空间A的拓扑为(),3,2,3T ,2,3TA ,2,3,2,3TX ,3TX 答案：50、设1,2,3X,1,2,1,3,1,2T=X是X的拓扑，1A,则X的子空间A的拓扑为(),1T ,1,2TA ,1,3,1,3TX ,1TX 答案：51、设1,2,3X,1,2,1,3,1,2T=X是X的拓扑，2A,则X的子空间A的拓扑为(),2,1,2T ,TA ,2TX ,1,2TX 答案：52、设1,2,3X,1,2,1,3,1,2T=X是X的拓扑，3A,则X的子空间A的拓扑为(),2,1,2T ,1,3TX ,3TX ,3T 答案：53、设R是实

11、数空间，Z是整数集，则R的子空间Z的拓扑为（）,TZ ()TP Z TZ TZ 答案：54、设126XXXX是拓扑空间126,XXX的积空间.1P是X到1X的投射，则1P是（）单射 连续的单射 满的连续闭映射 满的连续开映射 答案：55、设126XXXX是拓扑空间126,XXX的积空间.2P是X到2X的投射，则2P是（）单射 连续的单射 满的连续闭映射 满的连续开映射 答案：56、设126XXXX是拓扑空间126,XXX的积空间.3P是X到3X的投射，则3P是（）单射 连续的单射 满的连续闭映射 满的连续开映射 答案：57、设126XXXX是拓扑空间126,XXX的积空间.4P是X到4X的投射

12、，则4P是（）单射 连续的单射 满的连续闭映射 满的连续开映射 答案：58、设126XXXX是拓扑空间126,XXX的积空间.5P是X到5X的投射，则5P是（）单射 连续的单射 满的连续闭映射 满的连续开映射 答案：59、设126XXXX是拓扑空间126,XXX的积空间.6P是X到6X的投射，则6P是（）单射 连续的单射 满的连续闭映射 满的连续开映射 答案：60、设1X和2X是两个拓扑空间，12XX是它们的积空间,1AX，2BX，则有（）ABAB ABAB ()ABAB ()()()A BAB 答案：61、有理数集Q是实数空间R的一个（）不连通子集 连通子集 开集 以上都不对 答案：62、整

13、数集Z是实数空间R的一个（）不连通子集 连通子集 开集 以上都不对 答案：63、无理数集是实数空间R的一个（）不连通子集 连通子集 开集 以上都不对 答案：64、设 Y 为拓扑空间 X 的连通子集,Z 为 X 的子集,若YZY,则 Z 为()不连通子集 连通子集 闭集 开集 答案：65、设12,XX是平庸空间，则积空间12XX是（）离散空间 不一定是平庸空间 平庸空间 不连通空间 答案：66、设12,XX是离散空间，则积空间12XX是（）离散空间 不一定是离散空间 平庸空间 连通空间 答案：67、设12,XX是连通空间，则积空间12XX是（）离散空间 不一定是连通空间 平庸空间 连通空间 答案

14、：68、实数空间 R 中的连通子集 E 为()开区间 闭区间 区间 以上都不对 答案：69、实数空间 R 中的不少于两点的连通子集 E 为()开区间 闭区间 区间 以上都不对 答案：70、实数空间 R 中的连通子集 E 为()开区间 闭区间 区间 区间或一点 答案：71、下列叙述中正确的个数为（）（）单位圆周1S是连通的；（）0R是连通的 （）2(0,0)R 是连通的 （）2R和R同胚 1 2 3 4 答案：二、填空题（每题 1 分）1、设,Xa b,则X的平庸拓扑为 ;答案：,TX 2、设,Xa b,则X的离散拓扑为 ;答案：,TXab、同胚的拓扑空间所共有的性质叫 ;答案：拓扑不变性质 4

15、、在实数空间 R 中，有理数集 Q 的导集是_.答案：R 5、)(Adx当且仅当对于x的每一邻域U有 答案：()UAx 6、设A是有限补空间X中的一个无限子集，则()d A=;答案：X 7、设A是有限补空间X中的一个无限子集，则A=;答案：X 8、设A是可数补空间X中的一个不可数子集，则()d A=;答案：X 9、设A是可数补空间X中的一个不可数子集，则A=;答案：X 10、设1,2,3X,X的 拓 扑,2,2,3TX,则X的 子 集1,2A 的 部为 ;答案：2 11、设1,2,3X,X的 拓 扑,1,2,3TX,则X的 子 集1,3A 的 部为 ;答案：1 12、设1,2,3X,X的 拓

16、扑,1,2,3TX,则X的 子 集1,2A 的 部 为 答案：1 13、设1,2,3X,X的 拓 扑,2,2,3TX,则X的 子 集1,3A 的 部为 ;答案：14、设,Xa b c,则X的平庸拓扑为 ;答案：,TX 15、设,Xa b c,则X的离散拓扑为 答案：,TXabca ba cb c 16、设1,2,3X,X的 拓 扑,2,3,2,3TX,则X的 子 集1,3A 的 部为 ;答案：3 17、设1,2,3X,X的 拓 扑,1,3,1,3TX,则X的 子 集1,2A 的 部为 ;答案：1 18、:fXY是拓扑空间X到Y的一个映射，若它是一个单射，并且是从X到它的象集()f X的一个同胚

17、，则称映射f是一个 .答案：嵌入 19、:fXY是拓扑空间X到Y的一个映射，如果它是一个满射，并且Y的拓扑是对于映射f而言的商拓扑，则称f是一个 ;答案：商映射 20、设,X Y是两个拓扑空间，:fXY是一个映射，若X中任何一个开集U的象集()f U是Y中的一个开集，则称映射f是一个 答案：开映射 21、设,X Y是两个拓扑空间，:fXY是一个映射，若X中任何一个闭集U的象集()f U是Y中的一个闭集，则称映射f是一个 答案：闭映射 22、若拓扑空间X存在两个非空的闭子集,A B,使得,ABABX,则X是一个 ；答案：不连通空间 23、若拓扑空间X存在两个非空的开子集,A B,使得,ABABX

18、,则X是一个 ；答案：不连通空间 24、若拓扑空间X存在着一个既开又闭的非空真子集，则X是一个 答案：不连通空间 25、设Y是拓扑空间X的一个连通子集，ZX满足YZY，则Z也是X的一个 ;答案：连通子集 26、拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它在任何一个连续映射下的象所具有，则称这个性质是一个 ；答案：在连续映射下保持不变的性质 27、拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它的任何一个商空间所具有，则称这个性质是一个 ；答案：可商性质 28、若任意1n 个拓扑空间12,nXXX,都具有性质P,则积空间12nXXX也具有性质P，则性质P称为 ;答案：有限可积性质

19、 29、设X是一个拓扑空间，如果X中有两个非空的隔离子集,A B,使得ABX,则称X是一个 ；答案：不连通空间.三判断（每题 4 分，判断 1 分，理由 3 分）1、从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射()答案:理由：设X是离散空间，Y是拓扑空间，:fXY是连续映射，因为对任意AY，都有1)fAX（,由于X中的任何一个子集都是开集，从而1()fA是中的开集，所以:fXY是连续的.2、设12,T T是集合X的两个拓扑，则12 TT不一定是集合X的拓扑()答案:理由：因为（1）12,T T是X的拓扑，故,XT1，,XT，从而,X12 TT；（）对任意的BA,T1T，则有BA,T1且BA,T，

20、由于 T1,T2是X的拓扑，故 BAT1且 BAT2，从而 BA T1T；（）对任意的21TTT，则21,TTTT，由于 T1,T2是X的拓扑，从而UTUT1,UTUT2,故UTU T1T；综上有 T1T也是X的拓扑 3、从拓扑空间X到平庸空间Y的任何映射都是连续映射（）答案:理由：设:fXY是任一满足条件的映射，由于Y是平庸空间，它中的开集只有,Y,易知它们在f下的原象分别是,X,均为X中的开集，从而:fXY连续.4、设A为离散拓扑空间X的任意子集，则 d A（）答案:理由：设p为X中的任何一点，因为离散空间中每个子集都是开集，所以 p是X的开子集，且有 pAp，即 pd A,从而()d A

21、.5、设A为平庸空间X（X多于一点）的一个单点集，则 d A（）答案：理由：设 Ay,则对于任意,xX xy,x有唯一的一个邻域X，且有()yXAx,从而()XAx，因此x是A的一个凝聚点，但对于y的唯一的邻域X，有()XAy,所以有 d AXA.6、设A为平庸空间X的任何一个多于两点的子集，则 d AX（）答案：理由：对于任意,xX因为A包含多于一点，从而对于x的唯一的邻域X，且有()XAx，因此x是A的一个凝聚点，即()xd A，所以有 d AX.7、设X是一个不连通空间，则X中存在两个非空的闭子集,A B,使得,ABABX（）答案：理由：设X是一个不连通空间，设,A B是X的两个非空的隔

22、离子集使得ABX,显然AB，并且这时有:()()BBXBABBB 从而B是X的一个闭子集，同理可证A是X的一个闭子集，这就证明了,A B满足,ABABX.8、若拓扑空间X中存在一个既开又闭的非空真子集，则X是一个不连通空间()理由：这是因为若设A是X中的一个既开又闭的非空真子集，令BA，则,A B都是X中的非空闭子集，它们满足ABX，易见,A B是隔离子集，所以拓扑空间X是一个不连通空.五简答题（每题 4 分）1、设X是一个拓扑空间，,A B是X的子集，且AB.试说明()()d Ad B.答案：对于任意()xd A,设U是x的任何一个邻域，则有()UAx,由于AB，从而()()UBxUAx，因

23、此()xd B，故()()d Ad B.2、设,X Y Z都是拓扑空间.:fXY,:g YZ都是连续映射，试说明:gfXZ也是连续映射.答案：设W是Z的任意一个开集，由于:g YZ是一个连续映射，从而1()gW是Y的一个开集，由:fXY是连续映射，故11()fgW是X的一开集，因此 111()()()gfWfgW是X的开集，所以:gfXZ是连续映射.3、设X是一个拓扑空间，AX.试说明：若A是一个闭集，则A的补集A是一个开集.答案：对于xA,则xA，由于A是一个闭集，从而x有一个邻域U使得()UAx,因此UA，即UA,所以对任何xA,A是x的一个邻域，这说明A是一个开集.4、设X是一个拓扑空间

24、，AX.试说明：若A的补集A是一个开集，则A是一个闭集.答案：设xA,则xA,由于A是一个开集，所以A是x的一个邻域，且满足AA,因此xA,从而AA,即有AA，这说明A是一个闭集.5、在实数空间 R 中给定如下等价关系：xy)1,(,yx或者)2,1,yx或者),2,yx 设在这个等价关系下得到的商集2,1,0Y,试写出Y的商拓扑 T.答案：1,0,0,Y T 6、在实数空间 R 中给定如下等价关系:xy 1,(,yx或者2,1(,yx或者),2(,yx 设在这个等价关系下得到的商集3,2,1Y,试写出Y的商拓扑 T.答案：,3,2,3T Y 7、在实数空间 R 中给定如下等价关系：xy)1,

25、(,yx或者)2,1,yx或者),2,yx 设在这个等价关系下得到的商集 1,1,2Y,试写出Y的商拓扑 T.答案：,1,1,1T Y 8、在实数空间 R 中给定如下等价关系：xy)1,(,yx或者)2,1,yx或者),2,yx 设在这个等价关系下得到的商集 2,1,2Y,试写出Y的商拓扑 T.答案：,2,2,1T Y 9、在实数空间 R 中给定如下等价关系:xy 1,(,yx或者2,1(,yx或者),2(,yx 设在这个等价关系下得到的商集0,2,3Y,试写出Y的商拓扑 T.答案：,3,2,3T Y 10、在实数空间 R 中给定如下等价关系:xy 1,(,yx或者2,1(,yx或者),2(,

26、yx 设在这个等价关系下得到的商集0,2,4Y,试写出Y的商拓扑T.答案：,4,2,4T Y 11、在实数空间 R 中给定如下等价关系:xy 1,(,yx或者2,1(,yx或者),2(,yx 设在这个等价关系下得到的商集 1,2,4Y,试写出Y的商拓扑 T.答案：,4,2,4T Y 六、证明题（每题 8 分）1、设:fXY是从连通空间X到拓扑空间Y的一个连续映射.则()f X是Y的一个连通子集.证 明：如 果()f X是Y的 一 个 不 连 通 子 集，则 存 在Y的 非 空 隔 离 子 集,A B使 得()f XAB 3 分 于是11(),()fAfB是X的非空子集，并且：111111111

27、()()()()()()()()()()fAfBfBfAfAfBfBfAfABAB 所以11(),()fAfB是X的非空隔离子集 此外，1111()()()()fAfBfABff XX，这说明X不连通，矛盾.从而()f X是Y的一个连通子集.8 分 2、设Y是拓扑空间X的一个连通子集,证明:如果A和B是X的两个无交的开集使得BAY,则或者AY,或者BY.证明：因为BA,是X的开集，从而YBYA,是子空间Y的开集.又因BAY中，故)()(YBYAY 4 分 由于Y是X的连通子集,则YBYA,中必有一个是空集.若YB,则AY;若YA,则BY 8分 3、设Y是拓扑空间X的一个连通子集,证明:如果A和

28、B是X的两个无交的闭集使得BAY,则或者AY,或者BY.证明：因为BA,是X的闭集，从而YBYA,是子空间Y的闭集.又因BAY中，故)()(YBYAY 4 分 由于Y是X的连通子集,则YBYA,中必有一个是空集.若YB,则AY;若YA,则BY 8分 4、设Y是拓扑空间X的一个连通子集，ZX满足YZY，则Z也是X的一个连通子集.证明：若Z是X的一个不连通子集，则在X中有非空的隔离子集,A B 使得ZAB.因此YAB 3 分 由于Y是连通的，所以YA或者YB,如果YA，由于ZYA，所以ZBAB，因此 BZB,同理可证如果YB，则A,均与假设矛盾.故Z也 是X的一个连通子集.8 分 5、设Y是拓扑空

29、间X的连通子集构成的一个子集族.如果Y,则Y是X的一个连通子集.证 明：若Y是X的 一 个 不 连 通 子 集.则X有 非 空 的 隔 离 子 集,A B使 得YAB 4 分 任意选取xY,不失一般性，设xA,对于每一个，由于Y连通，从而YA及B,矛盾，所以Y是连通的.8 分 6、设A是拓扑空间X的一个连通子集，B是X的一个既开又闭的集合.证明：如果AB,则AB.证明：若BX,则结论显然成立.下设BX,由于B是X的一个既开又闭的集合,从而AB是X的子空间A的一个既开又闭的子集 4 分 由于AB及A连通，所以ABA，故AB.8 分 7、设 A 是连通空间 X 的非空真子集.证明:A 的边界()A.证明：若()A,由于()AAA,从而()()()()AAAAAAAAAA,故,A A是X的隔离子集 4 分 因为A是 X 的非空真子集,所以 A 和A均非空,于是 X 不连通,与题设矛盾.所以()A.8分