第9章《振动》习题解答403.pdf

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1、第 9 章振动习题解答 9-1 m1k2k第 9 章振动习题解答 9.2.1 一刚体可绕水平轴摆动.已知刚体质量为 m，其重心 C 和轴 O 间的距离为 h，刚体对转动轴线的转动惯量为 I.问刚体围绕平衡位置的微小摆动是否是简谐运动？如果是，求固有频率，不计一切阻力.【解】刚体受力如图所示，规定逆时针为转动正方向，为与OC铅垂线（为平衡位置）的夹角，由对O的转动定理；sinIMmgh 因很小故sin 22222000/2dImghdtdmghdtImgh 9.2.2 轻弹簧与物体的连接如图所示，物体质量为 m，轻弹簧的劲度系数为1k和2k，支承面是理想光滑面，求系统振动的固有频率.【解】以物体

2、 m为隔离体,水平方向受12,k k的弹性力12,F F以平衡位置为原点建立坐标系Ox，水平向右为 x 轴正方向。设 m处于O点对两弹簧的伸长量为 0，即两个弹簧都处于原长状态。m发生一小位移x 之后，弹簧1k的伸长量为 x，弹簧2k被压缩长也为 x。故物体受力为：1212-()xFk x k xkkx（线性恢复力）m 相当于受到刚度系数为12kkk的单一弹簧的作用 由牛顿第二定律：21222122()()0d xmkkxdtd xmkkxdt 第 9 章振动习题解答 9-2 2120kkm 9.2.3 一垂直悬挂的弹簧振子，振子质量为 m，弹簧的劲度系数为1k.若在振子和弹簧1k之间串联另一

3、弹簧，使系统的频率减少一半.串联上的弹簧的劲度系数2k应是1k的多少倍？【解】未串时：平衡位置 1mgk 212212()0d xmgk xmdtd xmk xdt 10km 串联另一刚度系数为2k的弹簧：此时弹簧组的劲度系数为?k 112212121212121212;/()/()klmgklmgkkmgllmgk kk kkklmg kkk kkk 1210012,()k kkm kkm 前 已知：02 121001211212,()2()k kkm kkmkmk km kk 前 第 9 章振动习题解答 9-3 解得：2113kk 9.2.4 单摆周期的研究.（1）单摆悬挂于以加速度 a

4、沿水平方向直线行驶的车厢内.（2）单摆悬挂于以加速度 a 上升的电梯内.（3）单摆悬挂于以加速度a(g)下降的电梯内.求此三种情况下单摆的周期.摆长为.【解】（1）以车为参照系，摆锤为隔离体，受重力W，摆线张力T，惯性力fma。平衡位置处有：0Tmgf 由此可得平衡位置时摆线铅直夹角 atgg (1)由平衡位置发生小角位移 由牛顿第二定律:在切线方向的分量式 sin()cos()mgmama 即 (sincoscossin)(coscossinsin)gaa 角很小,故sin,cos1.于是得:(sincos)(cossin)gaa 利用(1)式,sincos,ga 则 22(cossin)d

5、gaadt 即 22cossin0dgadt 因为 2222sin,cosaggaga 所以 220cossingaga 222Tga 第 9 章振动习题解答 9-4(2)以电梯为参照系,惯性力与重力沿铅垂方向,同于的分析摆线为铅垂位置时为平衡态.2Tga(3)同(2)的分析得:2Tga 9.2.5 在通常温度下，固体内原子振动的频率数量级为310/s.设想各原子之间彼此以弹簧连结.一摩尔银的质量为108g且包含236.02?10个原子.现仅考虑一列原子，且假设只有一个原子以上述频率振动，其它原子皆处于静止，计算一根弹簧的劲度系数.【解】由 9.2.2知120kkm 这里 12kkk 02km

6、 201354(/)2kmN m 9.2.6 一弹簧振子，弹簧的劲度系数为=9.8N/mk，物体质量为 20g现将弹簧自平衡位置拉长2 2cm并给物体一远离平衡位置的速度，其大小为 7.0m/s，求该振子的运动学方程(SI).【解】以平衡位置为原点建立坐标系 O-x,水平向右为正方向。弹簧振子的运动方程为:0cos(),9.8(/),200 xAtkN m mg 故039.87(/)200 10rad s 第 9 章振动习题解答 9-5 0t 时，002 2(),7.0(/)xxcmcm s 22200203 10()Axm 0t 时，000cossinxAA 0.34()rad 弹簧振子的运

7、动方程：23 10cos(70.34)xt 9.2.7 质量为31.0 10 g的物体悬挂在劲度系数为61.0 10 dyn/cm的弹簧下面.（1）求其振动的周期.（2）在=0t时，物体距平衡位置的位移为+0.5cm，速度为+15cm/s，求其运动学方程.【解】以平衡位置为原点，建立坐标系 O-x，竖直向下为正方向。（1）0220.199()mTsk（2）设运动方程为：00000cos()31.6cos0sinxAtkmx AtA 时，即 000cos0.726sin0.688xAA 故 0.759()43.49rad 所以运动学方程为：36.89 10cos(31.60.759)xt 9.2

8、.8 （1）一简谐振动的运动规律为=5cos(8+)4xt，若计时起点提前第 9 章振动习题解答 9-6 0.5s，其运动学方程如何表示？欲使其初相为零，计时起点应提前或推迟若干？（2）一简谐振动的运动学方程为=8sin(3-)xt.若计时起点推迟 1s，它的初相是多少？欲使其初相为零，应怎样调整计时起点？（3）画出上面两种简谐振动在计时起点改变前后=0t时旋转矢量的位置.【解】（1）5cos(8)4xt （1）计时起点提前 0.5，则0.5tt，代入（1）式，运动方程为：5cos8(0.5)5cos84)44xtt 设计时起点提前0t秒，可使初相为零，即0ttt ，代入（1）式得：05cos

9、(88)5cos(8)4xttt 有 0080,432tt即，即提前32秒时计时可使其初相为零。（2）38sin(3)8cos(3)2xtt （2）计时起点提前0t秒时0ttt 代入 038cos(33)2xtt 若计时起点推迟一秒，则01t ，此时初相为 0333322t 若要 03302t，需02t，即推迟2秒计时时，可使初相为零。（3）见图 a,b (a)(b)x0t 0t)451845cos(84)4xt5cos(8)4xt0t 0t 38cos(3)2xt38cos(33)2xt x9832第 9 章振动习题解答 9-7 9.2.9 画 出 某 简 谐 振 动 的 位 移 时 间 曲

10、 线，其 运 动 规 律 为1=2cos2(+)4xt（SI 制）【解】12cos2()4xt（SI制）令14tt 则有2cos2xt为周期引的余弦曲线。画出 xt 曲线，再根据14tt的关系。将ox轴右移14周期。9.2.10 半径为R 的薄圆环静止于刀口O 上，令其在自身平面内作微小摆动.（1）求其振动的周期.（2）求与其振动周期相等的单摆的长度.（3）将圆环去掉23而刀口支于剩余圆弧的中央，求其周期与整圆环摆动周期之比.【解】（1）该装置为物理摆，利用 9.2.1对一般刚体得到的公式 0,2.mghITmImgh为薄圆球质量。hR 根据平行轴定理：222200222222IIImoomR

11、mRmRmRRTmgRg（2）根据单摆公式02Tg 由0,TT 可得 2R O12141402()t s()x cm第 9 章振动习题解答 9-8（3）该装置为物理摆，仍利用公式2ITm gh 由对称性可知，质心位于oo上。m为剩余圆弧的质量，hoc。根据平衡轴定理。2220()CCIm RIm ocIm Rh 2220()2CIIm nm Rm Rhm hm Rh 故 2222,1.m RhR TTm ghgT 即TT 可知不管圆环去掉多少，只要刀口高于剩余圆弧中央，其振动周期均不变。9.2.11 1m长的杆绕过其一端的水平轴作微小摆动而成为物理摆.另一线度极小的物体与杆的质量相等.固定于杆

12、上离转轴为 h的地方.用0T表示未加小物体时杆子的周期，用T表示加上小物体以后的周期.（1）求当=50cmh和=100cmh时的比值0TT.（2）是否存在某一 h 值，可令0T=T，若有可能，求出h 值并解释为什么 h 取此值时周期不变.【解】（1）利用 9.2.1得到的物理摆公式2cITmgh 设0m为杆质量，为杆长，未加小物体时，加小物体后，2001,32cImmm h 20001232232mTgm g 0022000012,2,3242cmm hhImm hmm hm 220001322()42mm hThm g 第 9 章振动习题解答 9-9 2222201333222()42hTg

13、hhThg 007100,50,0.935284100,100,1.1553ThhTThhT即时，即时，（2）由01TT，即22232hh 可得：122,03hh 讨论：由0223Tg，此物理摆的等效单摆长度为23。在123h 处加另一物体，相当于使等效单摆的摆锤质量增加而摆长不变，故周期不变。20h，即小物体置于转动轴上，对运动无影响。故周期不变。9.2.12 天花板下以0.9m长的轻线悬挂一个质量为0.9kg的小球.最初小球静止，后另有一质量为 0.1kg的小球沿水平方向以 1.0m/s的速度与它发生完全非弹性碰撞。求两小球碰撞后的运动学方程.【解】以小球12,m m为物体系。碰撞前后的过

14、程始末，在过程中认为12,m m仍在原小球2m静止处。水平方向动量守恒：22122212()0.1(/)xxxxmmmmm smm 碰撞后成为一个单摆作简谐运动，设其运动方程为 0cos()At 以碰后小球12,m m获得速度 0.1(m/s)，而0时为计时起点，即 第 9 章振动习题解答 9-10 0000.100,(0.99.83.39xttg时角速度）2200000()0.0337A 由cos0，00sin1,2A 故运动方程0.0337cos(3.3)2t在很小的条件下，x，所以用线量描述的运动方程为0.03cos(3.3)2xt。9.2.13 求第四章习题 4.6.5题中铅块落入框架

15、后的运动学方程.【解】以物体2m为隔离体，根据自由落体的运动规律可知：2m落至盘上的速度为02,0.30mxgh h 在以框架1m，物体2m为物体系。完全非弹性碰撞前后为过程始末，因外力（弹簧弹性力，重力）内力，故可用动量守恒定律求近似解：2012120(),0.211222xxxxmmmmmkggh所以 设弹簧自由伸展的位置为 a，挂框架后平衡位置为 b,碰后平衡位置为 O，O即为坐标系 O-x之原点.依题意00.10abm 因01012,()()km g kbomm g 1000.10,m gbomk故而 碰撞后系统为一数值悬挂的弹簧振子，舍弃运动方程为 0cos()xAt 以碰撞之后1m

16、，2m的共同速度x运动，而处于 b 处时为计时起点，即：第 9 章振动习题解答 9-11 00010 22txgh 时 则 10121002220000209.87.0(rad/s)220.200.20(m)m gkgmmmAxh 由000cos0.5,sin0.866,4.19(rad)AA 运动方程为：0.2cos(74.19)xt 可选择适当的计时起点使初项为零，则运动方程可表示为0.2cos7xt 9.2.14 第四章习题 4.6.5题中的框架若与一个由框架下方沿铅垂方向飞来的小球发生完全弹性碰撞，碰后框架的运动学方程是怎样的？已知小球20g，碰框架前的速度为 10m/s.【解】以框架

17、1m，小球2m为物体系。以框架平衡位置为原点建立坐标系 O-x，竖直向下为正方向：以完全弹性碰撞前后为过程始末，设小球的碰撞前速度为2x，小球框架碰后速度为2,xx，因外力内力，故可用动量守恒定律近似求解。又因碰撞为完全弹性碰撞，碰撞前后总动能相等。22122222221221221112220.20,0.020,10(m/s)xxxxxxxmmmmmmmkg mkg 可以求得：20(m/s)11x 在一框架为隔离体。碰撞之后平衡位置不变，仍未 O 点。系统为一竖直悬挂的弹簧振子，设其运动方程为：0cos()xAt 以碰撞后，框架获得速度x，而处于 O 点时为计时起点，即：002000,11x

18、tx 时，第 9 章振动习题解答 9-12 xmmabO根据题意，弹簧刚性系数00,0.1mgk 故0109.89.9(rad/s)0.1kgm 220002000.184(m)Ax 由000cos0,sin0 xAA 知1.57(rad)2 所以运动方程为0.184cos(9.9)2xt 9.2.15 质量为 m 的物体自倾角为的光滑斜面顶点处由静止而滑下，滑行了 远后与一质量为m的物体发生完全非弹性碰撞.m与劲度系数为 k的弹簧相连.碰撞前m静止于斜面上，如图所示.问两物体碰撞后作何种运动，并解出其运动方程.已知o=5kg,=490N/m,=30,=0.2mm=mkl.【解】a为弹簧自由伸

19、展位置,b 为加m后平衡位置，O为,m m发生完全非弹性碰撞后的平衡位置，以 O 为原点建立坐标系 O-x如图：sinsin()sin2sin ()ab km gmgao kmm gmgmm 故1sinbomgabk 以物体 m 为隔离体，物体 m 由斜面顶滑下，做匀加速运动滑行 远后速度为0 x 2002sin,2sinxxgg 再以,m m为物体系。以完全非弹性碰撞前后为过程始末，且近似认为碰撞过程中,m m位置不变。000()12sin22xxxxxmmmmgmm故 第 9 章振动习题解答 9-13 当,m m发生完全非弹性碰撞之后，沿 ox 方向的动力学方程为 22222()2sin2

20、sin2d xmk xaomgdtaokmgd xmkxdt 故,m m受线性恢复力，做简谐运动。根据定义04907(rad/s)210km,m m的运动方程为0cos()xAt 若以碰撞后弹簧压缩最甚时为计时起点，设此时坐标为0 x则 00000cos cos(0),0 xxt xx 现在求0 x。以弹簧自由伸长位置 a 为重力势能、弹性势能零点。在由碰撞后到达压缩最甚的过程中机械能守恒，有 22200222222200211()()sin221()()()sin2sinsinsinsin,xmmkabmm gabk xaomm g xaom gmgm gkxmgxkkk 代数，00.118

21、(m).x 运动方程00.118cos7xt 9.3.1 1851年佛科做证明地球自转的实验，摆长 69m，下悬重球 28kg.设其振幅为o5.0，求其周期和振动的总能量，重球最低处势能为零.【解】根据单摆周期公式 6.922 3.1416.7(s)9.8gT 以悬线铅直时为势能零点，则振动的总能量即等于摆锤在最高点时的势能 0(1cos)72(J)Emg 9.3.2 弹簧下面悬挂质量为 50g的物体，物体沿竖直方向的运动学方程为=2sin10 xt，平衡位置为势能零点（单位时间：s，长度单位：cm）.第 9 章振动习题解答 9-14 （1）求弹簧的劲度系数，（2）求最大动能，（3）总能量.【

22、解】（1）根据弹簧振子20km 232050 10105.0(N/m)km（2）由2sin102cos(10)2xtt 则20sin(10)2dxtdt 速度最大值2max20 10(m/s)故最大动能23maxmax11.00 10(J)2kEm（3）总能即等于最大动能3max1.00 10(J)kEE 或2311.00 10(J)2EkA 9.3.3 若单摆的振幅为0，试证明悬线所受最大拉力等于0(3-2cos)mg.【解】设摆锤质量为 m,摆长为，0为最大摆角。以摆锤为隔离体。受重力W，张力T 单摆的运动方程为 00cos()t 当摆角为时，沿法向方向的动力学方程为 22coscosTm

23、gmTmgm 单摆很小，故cos1 2Tmgm 则 2maxmaxTmgm 而 maxmaxmax00000,sin(),t 第 9 章振动习题解答 9-15 故 2200max00()Tmgmmgm 又 20g 22max00(1)gTmgmmg 又由 2max01(1cos)2mmg机械能守恒 2max0220002001(1 cos)21(1 cos)21(1 cos)2gggg 22000011 cos,22cos2 故 max0(32cos)Tmg 9.4.1 在电子示波器中，由于互相垂直的电场的作用，使电子在荧光屏上的位移为 =cosxAt =cos(yAt+)求出=0,3 2 时

24、的轨迹方程并画图表示.【解】由 coscos()xAtyAt 当 0,.xy时 当 ,3时 coscos()3xAtyAt 由垂直与水平方向简谐振动合成公式 第 9 章振动习题解答 9-16 22221122212122cos()sin(),xyxyaaAAA A得 2222222cossin33xyxyAAA 2222222233,044xyxyxyxyAAAA或 令 cos45sin45sin45cos45xxyyxy（坐标轴转动45，,x yx y与的关系式）则上式可得：22222213xyAA 是一个长半轴为32A，短半轴为22A的椭圆。当 2时，coscos()sin2xAtyAtA

25、t 则222xyA是一个半径为A的圆。9.6.1 某阻尼振动的振幅经过一周期后减为原来的13，问振动频率比振动系统的固有频率少几分之几？（弱阻尼状态）【解】弱阻尼振动 2220cos()txAet xxyyAAxyAA第 9 章振动习题解答 9-17 由题意()11/3tt TAeAe 取对数()lnln3tt TAeTAe 22ln3T 故22202()1ln3 所以202022()1ln3ln31.49%2()1ln3 即振动频率比振动系统的固有频率少 1.49%。9.6.2 阻尼振动起初振幅0=3cmA，经过=10st后振幅变为1=1cmA，问经过多长时间，振幅将变为2=0.3cmA？（弱阻尼状态）【解】弱阻尼振动 cos()txAet 已知 101131,10tAAAAet 固 101lnlnln3tAAtAAe 故 1ln3ln310t 设 2220.3tttAAe时，由 2022lnlnln10tAAtAAe 所以 2ln10ln102.10()(ln3)/10ts 9.7.1 某受迫振动与驱动力同相位，求驱动力的频率.【解】受迫振动稳定状态的初位相为 第 9 章振动习题解答 9-18 2202tg 由于强迫力初位相为零，所以即为受迫振动稳定状态与强迫力的位相差。固 22020,tg为有限值，故有0