高等代数北大版教(学)案~第5章二次型16877.pdf

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1、 第五章 二次型 1 二次型的矩阵表示 一 授课容：1 二次型的矩阵表示 二 教学目的：通过本节的学习，掌握二次型的定义，矩阵表示，线性替换和矩阵的合同.三 教学重点：矩阵表示二次型 四 教学难点：二次型在非退化下的线性替换下的变化情况.五 教学过程：定义：设P是一数域，一个系数在数域P中的nxxx,21的二次齐次多项式 nnnxxaxxaxaxxxf11211221112122),(nnxxaxa22222222nnnxa (3)称为数域P上的一个n元二次型，或者，简称为二次型.例如：2332223121213423xxxxxxxxx 就是有理数域上的一个3 元二次型.定义 1 设nxxx,

2、21，nyyy,21是两组文字，系数在数域P中的一组关系式 nnnnnnnnnnycycycxycycycxycycycx22112222121212121111 (4)称为nxxx,21到nyyy,21的一个线性替换，或则，简称为线性替换.如果系数行列式 0ijc，那么线性替换(4)就称为非退化的.二次型的矩阵表示：令 jiijaa ，ji 由于 ijjixxxx,那么二次型(3)就可以写为 nnnxxaxxaxaxxxf112112211121),(nnxxaxaxxa2222221221+22211nnnnnnnxaxxaxxa ninjjiijxxa11 (5)把(5)的系数排成一个n

3、n矩阵 nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211 它称为二次型(5)的矩阵.因为jiijaa，nji,2,1,，所以 AA.我们把这样的矩阵称为对称矩阵，因此，二次型(5)的矩阵都是对称的.令nxxxX21,于是，二次型可以用矩阵的乘积表示出来，nxxxAXX21nnnnnnaaaaaaaaa212222111211nxxx21 nnnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxaxxx22112222121121211121 ninjjiijxxa11.故 AXXxxxfn),(21.显然，二次型和它的矩阵是相互唯一决定的.由此还能得到，若二次型 BXXAXXxxxfn)

4、,(21 且 BBAA,，则，BA 线性替换的矩阵表示 令nnnnnncccccccccC212222111211,nyyyY21,那么，线性替换(4)可以写成，nxxx21nnnnnnccccccccc212222111211nyyy21 或者CYX.显然，一个非退化的线性替换把二次型还是变成二次型，现在就来看一下替换后的二次型与原二次型之间有什么关系.设 AXXxxxfn),(21，AA，(7)是一个二次型，作非退化的线性替换 CYX (8)得到一个nyyy,21的二次型BYY.现在来看矩阵B与矩阵A的关系 把(8)代入(7)有 AXXxxxfn),(21ACYCYCYACY)()(BYY

5、YACCY)(.容易看出，矩阵ACC也是对称的，事实上，ACCCACACC)(.由此，即得 ACCB.定义 2 数域P上nn矩阵BA,称为合同的，如果有数域P上可逆的nn矩阵C，使 ACCB.合同是矩阵之间的一个关系，不难看出，合同关系具有(1)反身性 AEEA.(2)对称性 由 ACCB，即得)()(11CBCA.(3)传递性 由111ACCA，2122CACA，即得)()(21212CCACCA.因之，经过非退化的线性替换，替换后的二次型的矩阵与原二次型矩阵是合同的.2 标准形 一 授课容：2 标准形 二 教学目的：通过定理的证明掌握二次型化为标准形的配方法.三 教学重点：化普通的二次型为

6、标准形.四 教学难点：化普通的二次形为标准形的相应矩阵表示.五 教学过程：I 导入 可以认为，在二次型中最简单的一种是只含有平方项的二次型 2222211nnxdxdxd (1)II 讲授新课 定理 1 二次型都可以经过非退化的线性替换变为平方和(1)的形式.不难看出，二次型(1)的.2222211nnxdxdxd=nxxx21nddd00000021nxxx21.反过来，矩阵是对角形的二次型就只含有平方项.定理 2 在数域P上，任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵.定义 二次型),(21nxxxf经过非退化的线性替换所变成的平方和称为),(21nxxxf的一个标准形.例 化二次型 313221

7、321262),(xxxxxxxxxf 为标准形.解：作非退化的线性替换 33212211yxyyxyyx 则3213212121321)(2)(6)(2),(yyyyyyyyyyxxxf 323122218422yyyyyy322223231822)(2yyyyyy 再令 3322311yzyzyyz或3322311zyzyzzy 则),(321xxxf233222212822zzzzz23232216)2(22zzzz.最后令 33322112zwzzwzw或33322112wzwwzwz 则 ),(321xxxf232221622www 是平方和，而这几次线性替换的结果相当于作一个总的线

8、性替换，100011011321xxx321100210001100010101www100110311321www.用矩阵的方法来解 例 化二次型 313221321262),(xxxxxxxxxf 为标准形.解：),(321xxxf的矩阵为031301110A.取1000110111C,则111ACCA 100011011031301110100011011042420202.再取1000101012C，则2122CACA 101010001042420202100010101240420002.再取1002100013C，则3233CACA 12001000124042000210021

9、0001 3A是对角矩阵，因此令 321CCCC 100011011100010101100210001100111311，就有 ACC600020002.作非退化的线性替换 CYX 即得),(321xxxf232221622yyy.3 唯一性 一 授课容：3 唯一性 二 教学目的：通过本节的学习，让学生掌握复二次型，实二次型的规形，正(负)惯性指数，符号差.三 教学重点：复二次型，实二次型的规形的区别及唯一性的区别.四 教学难点：实二次型的唯一性 五 教学过程：在一个二次型的标准形中，系数不为零的平方项个数是唯一确定的，与所作的非退化的线性替换无关.二次型的矩阵的秩有时候就称为二次型的秩.至

10、于标准形的系数就不是唯一的.例 二次型313221321262),(xxxxxxxxxf经过非退化的线性替换 321xxx100110311321www 得到标准形 232221622www.而经过非退化的线性替换 321xxx3100312111211321yyy 就得到另一个标准形 23222132212yyy.这就说明，在一般的数域，二次型的标准形不是唯一的，而与所作的非退化的线性替换有关.下面只就复数域与实数域的情形来进一步讨论唯一性的问题.对于复数域的情形 设),(21nxxxf是一个复系数的二次型，则经过一个适当的非退化的线性替换后，),(21nxxxf变为标准形，不妨设标准形为

11、2222211rrydydyd，0id，ri,2,1 (1)易知，r就是),(21nxxxf的矩阵的秩.因为复数总可以开平方，我们再作一非退化的线性替换 nnrrrrrzyzyzdyzdy1111111 (2)(1)就变为 22221rzzz (3)(3)称为复二次型),(21nxxxf的规形.显然，规形完全被原二次型的矩阵的秩所决定.定理 3 任意一个复系数的二次型，经过一个适当的非退化的线性替换可以变为规形，规形是唯一的.定理 3 换个说法就是，任意一个复的对称矩阵合同于一个形式为 0011 的对角矩阵.从而有，两个复对称矩阵合同的充分必要条件是它们的秩相等.对于实数域的情形 设),(21

12、nxxxf是一个实系数的二次型，则经过一个适当的非退化的线性替换，再适当排列文字的次序，可使),(21nxxxf变为标准形，2211ppydyd2211rrppydyd (4)0id ri,2,1，r就是),(21nxxxf的矩阵的秩.因为在实数域中，正实数总可以开平方，所以，再作一非退化的线性替换 nnrrrrrzyzyzdyzdy1111111 (5)(4)就变为 221pzz221rpzz (6)(6)称为实二次型),(21nxxxf的规形.显然，规形完全被pr,这两个数所决定.定理 4(惯性定理)任意一个实数域上的二次型，经过一个适当的非退化的线性替换可以变为规形，规形是唯一的.定义

13、3 在实二次型),(21nxxxf的规形中，正平方项的个数p称为),(21nxxxf的 正 惯 性 指 数，负 平 方 项 的 个 数pr 称 为),(21nxxxf的 负 惯 性 指 数，它 们 的 差rpprp2)(称 为),(21nxxxf的符号差.惯性定理也可以叙述为，实二次型的标准形中系数为正的平方项个数是唯一的，它等于正惯性指数，而系数为负的平方项个数也是唯一的，它 等于负惯性指数.4 正定二次型 一 授课容：4 正定二次型 二 教学目的：通过本节的学习，让学生掌握正定(负定，半正定，半负定，不定)二次型或矩阵.(顺序)主子式的定义，掌握各种类型的判别法.三 教学重点：正定二次型.

14、四 教学难点：判别方法 五 教学过程：定义 4 实二次型),(21nxxxf称为正定的，如果对于任意一组不全为零的实数nccc,21都有0),(21ncccf.显然，二次型),(21nxxxf221nxx 是正定的，因为只有在021nccc时，221ncc才为零.一般的，实二次型),(21nxxxf2222211nnxdxdxd 是正定的，当且仅当0id ni,2,1.可以证明，非退化的实线性替换保持正定性不变.定理 5 n元实二次型),(21nxxxf是正定的充分必要条件是它的正惯性指数等于n.定理 5 说明，正定二次型),(21nxxxf的规形为 221nyy (5)定义 5 实对称矩阵A

15、称为正定的，如果二次型AXX正定.因为二次型(5)的矩阵是单位矩阵E，所以一个实对称矩阵是正定的，当且仅当它与单位矩阵合同.推论 正定矩阵的行列式大于零.定义 6 子式 iiiiiiiaaaaaaaaaP212222111211 ),2,1(ni 称为矩阵nnijaA)(的顺序主子式.定理 6 实二次型),(21nxxxfninjjiijxxa11AXX 是正定的充分必要条件为矩阵A的顺序主子式全大于零.例 判断二次型 3231212322213214845),(xxxxxxxxxxxxf 是否正定.解：),(321xxxf的矩阵为 524212425 它的顺序主子式 05 ，01225 ，0

16、524212425 因之，),(321xxxf正定.与正定性平行，还有下面的概念.定义 7 设),(21nxxxf是一实二次型，对于任意一组不全为零的实数nccc,21，如果都有0),(21ncccf，那么),(21nxxxf称为负定的；如果都有0),(21ncccf，那么),(21nxxxf称为半正定的；如果都有0),(21ncccf，那么),(21nxxxf称为半负定的；如果它既不是半正定又不是半负定，那么),(21nxxxf就称为不定的.对于半正定，我们有 定理 7 对于实二次型),(21nxxxfAXX，其中A是实对称的，下面条件等价：(1),(21nxxxf是半正定的.(2)它的正惯性指数与秩相等.(3)有可逆实矩阵C，使 ndddACC21，其中，0id ni,2,1.(4)有实矩阵C使CCA.(5)A的所有主子式皆大于或等于零.注意：在(5)中，仅有顺序主子式大于或等于零是不能保证半正定性的.比如，212122211000),(xxxxxxxf 就是一个反例.