圆锥曲线与方程知识点复习及例题23802.pdf

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1、第二章 圆锥曲线与方程 椭圆:知识梳理 1、椭圆及其标准方程（1）.椭圆的定义：椭圆的定义中，平面内动点与两定点1F、2F的距离的和大于|1F2F|这个条件不可忽视.若这个距离之和小于|1F2F|，则这样的点不存在；若距离之和等于|1F2F|，则动点的轨迹是线段1F2F.（2）.椭圆的标准方程：12222byax 12222bxay（ab0）（3）.椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果2x项的分母大于2y项的分母，则椭圆的焦点在 x 轴上，反之，焦点在 y 轴上.2、椭圆的简单几何性质（ab0）.（1）椭圆的几何性质：设椭圆方程12222byax,线段1A2A、1B2

2、B分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于 2a 和 2b，(2).离心率：ace 221ba 0e越接近于 1 时，椭圆越扁；反之，e 越接近于 0 时，椭圆就越接近于圆.(3)椭圆的焦半径：exaMF1，exaMF2.2a=2b+2c 典例剖析 (4).椭圆的的内外部点00(,)P xy在椭圆22221(0)xyabab的内部2200221xyab(5).焦点三角形21FPF经常利用余弦定理、三角形面积公式将有关线段1PF、2PF、2c，有关角21PFF结合起来，建立12PFPF、12PFPF等关系 2.1.1 椭圆及其标准方程:典例剖析 题型一 椭圆的定义应用 例 1 题型二 椭圆标准

3、方程的求法 例 2 已知椭圆的两个焦点为（-2，0），（2,0）且过点53(,)22，求椭圆的标准方程 2.1.2 椭圆的简单的几何性质 典例剖析 题型一 求椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标等 例 1 已知椭圆22(3)(0)xmym m的离心率32e，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标 例 2 设椭圆的两个焦点分别为 F1、F2，过 F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P，若F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是()A22 B212 C22 D21 例 3 已知椭圆 C 的焦点 F1（22，0）和 F2（22，0），长轴长 6，设直线2 xy交椭圆 C 于 A、B

4、两点，求线段 AB 的中点坐标 双曲线:知识梳理 1、双曲线及其标准方程（1）双曲线的定义：平面内与两个定点1F、2F的距离的差的绝对值等于常数 2a（小于|1F2F|）的动点M的轨迹叫做双曲线.在这个定义中，要注意条件 2a|1F2F|，这一条件可以用“三角形的两边之差小于第三边”加以理解.若 2a=|1F2F|，则动点的轨迹是两条射线；若 2a|1F2F|，则无轨迹.若1MF2MF时，动点M的轨迹仅为双曲线的一个分支，又若1MF2MF时，轨迹为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为“差的绝对值”.（2）.双曲线的标准方程判别方法是：如果2x项的系数是正数，则焦点在 x

5、轴上；如果2y项的系数是正数，则焦点在 y 轴上.对于双曲线，a 不一定大于 b，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.2、双曲线的简单几何性质（1）.双曲线12222byax实轴长为 2a，虚轴长为 2b，离心率ace 221ba离心率 e 越大，开口越大.（2）.双曲线12222byax的渐近线方程为xaby或表示为02222byax.若已知双曲线的渐近线方程是xnmy，即0 nymx，那么双曲线的方程具有以下形式：kynxm2222，其中 k 是一个不为零的常数.（3）焦半径公式21|()|aPFe xc，22|()|aPFexc.双曲线焦半径应用举例 双曲线

6、上任意一点到其焦点的距离称为该点的焦半径。已知点 P(x0，y0)在双曲线22ax22by=1(a0，b0)上，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点。若点 P 在右半支上，则|PF1|=ex0+a，|PF2|=ex0a；若点 P 在左半支上，则|PF1|=(ex0+a)，|PF2|=(ex0a)利用焦半径公式解题，可使解题过程简单明了，下面列举几例，供参考。一、求双曲线的标准方程 例 1、设 F1、F2是双曲线22ax22by=1(a0，b0)的左、右两个焦点，l 为左准线，离心率 e=23，P(328,m)是左支上一点，P 到 l 的距离为 d，且 d，|PF1|，|PF2|成等差数列，求此双

7、曲线方程。分析；利用焦半径，结合双曲线的第二定义列出等式，求出待定系数.解：由双曲线的第二定义知：d=32|PF1|，又|PF1|=(ex0+a)=14a,|PF2|=(ex0a)=14a,由已知得：d|PF2|=2|PF1|，即32(14a)(14a)=282a 得：a=2，c=3，b=5，故双曲线的方程为42x52y=1。评注：利用焦半径公式，可使运算过程简便易行。二、求值 例 2 双曲线92x162y=1 的两个焦点为 F1、F2，点 P 在双曲线上，若 P F1P F2，则点 P 到 x 轴的距离为_.分析；利用焦半径及勾股定理，列出等式，求出 P 点纵坐标即可。解：不妨设 P 在双曲

8、线上右支上，设 P(x0，y0)，则|PF1|=ex0+a=335x0，|PF2|=ex0a=35x03，则|PF1|2|PF2|2=|F1F2|2，即：(335x0)2(35x03)2=100，所以20 x=25369，又920 x1620y=1，所以20y=25256，所以点 P 到 x 轴的距离为516。评注：利用双曲线的定义和焦半径公式，简单明了。三、求范围 例 3 如图，已知梯形 ABCD 中，|AB|=2|CD|，点 E 分有向线段AC所成的比为，双曲线过 C、D、E 三点，且以 A、B 为焦点，当3243时，求双曲线离心率e的取值范围 解：以直线 AB 为 x 轴，线段 AB 的

9、垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，则 CDy 轴，因为双曲线经过点 C、D，且以 A、B 为焦点，由双曲线的对称性可知，C、D 关于 y 轴对称设双曲线的焦距为 2c，则A、B、C 三点的横坐标分别为c、c、2c，则点 E 的横坐标为 xE=12cc根据双曲线焦半径公式，有：|AE|=(exEa)=1ec)1(2eca，|BC|=exca=2eca，x y A B O D C E 而 AC 与 AE 同号，从而|AEAC=AEAC=1|AC|=1|AE|=11ec)1(2eca=ec2ec1a，由双曲线的定义有|AC|BC|=2a，即(ec2ec1a)(2eca)=2a，两边同除以 a，并化

10、简整理，得(11)e2=21，e2=112=213 由3243，得 3114，解得 7e210 7e10，故所求双曲线离心率e的取值范围是7，10 评注：凡是遇到双曲线上的点到双曲线焦点距离的问题，均可考虑使用焦半径公式 四、其他问题 例 4 在双曲线122y132x=1 的上支上有三点 A(x1，y1),B(26,6),C(x3,y3)与 F(0，5)的距离成等差数列。求证：AC 的垂直平分线经过某一定点。分析；利用焦半径及等差数列概念，列出等式，可解此题。证明：|AF|=ey1a，|BF|=6ea，|CF|=ey3a，由已知得：2|BF|=|AF|CF|，得：y1 y3=26=12。设 A

11、C 的中点 M(x0，6)，其中 x0=231xx，又 A，C 在双曲线上，于是131212131312121323232121xyxy，两式相减得：13(y3y1)(y3y1)12(x3x1)(x3x1)=0，得：13(y3y1)1313xxyy12（x3x1）=0，得：ACk=1320 x，所以 AC 的垂直平分线方程为：y6=0213x(xx0)，即 13xx0(2y25)=0，故经过定点(0，225)。评注：点差法是求解双曲线问题的一种常用方法。例 5 已知双曲线252x1442y=1 的左、右焦点分别为 F1、F2，左准线为l能否在双曲线的左支上找到一点 P，使|PF1|是 P 到l

12、的距离与|PF2|的等比中项若能，试求出 P 点坐标；若不能，请说明理由 分析；此题为探索题目，一般可设存在点 P，再利用焦半径及等比数列概念列等式可求解。解：由 a=5，c=13，知 e=513，ca2=1325 设 P(x0，y0)，P 到l的距离为 d，则|PF1|=aex0=5513x0，|PF2|=aex0=5513x0，d=ca2x0=1325x0 令|PF1|2=d|PF2|，即(5513x0)2=(1325x0)(5513x0)，解得：x0=1325或 x0=32225 另一方面，因为 P 在左支上，所以 x05 与矛盾故符合条件的 P 点不存在 评注：一般的，211 e是双曲

13、线22ax22by=1 左支上存在 P 点，使|PF1|2=d|PF2|成立的充要条件。本题中双曲线离心率e=51321，故符合条件的 P 点不存在 例如双曲线202x252y=1 的离心率2123e，则这样的 P 点一定存在。类似的可得：32 e是双曲线22ax22by=1 左支上存在 P 点，使 2|PF1|=d+|PF2|成立的充要条件。通过以上几例，不难看到，适当的利用焦半径公式，以及双曲线的第二定义解答双曲线类问题确能起到事半功倍之效果。（4）双曲线的方程与渐近线方程的关系 若双曲线方程为12222byax渐近线方程：22220 xyabxaby；若渐近线方程为xaby0byax双曲

14、线可设为2222byax；若双曲线与12222byax有公共渐近线，可设为2222byax（0，焦点在 x 轴上，0，焦点在 y 轴上）.双曲线22221(,0)xya bab焦点三角形面积：12FPFS2cot2b，高h 2cot2bc。2.2.1 双曲线的定义与标准方程:典例剖析 题型一 双曲线标准方程的判断 题型二 求双曲线标准方程 例 2 已知双曲线过(1,1),(2,5)MN 两点，求双曲线的标准方程 例 3 2.2.2 双曲线的简单的几何性质 典例剖析 题型一 双曲线的性质 例 1 已知双曲线与椭圆125922yx共焦点，它们的离心率之和为514，求双曲线方程.题型二 有共同渐近线

15、的双曲线方程的求法 例 2 求与双曲线22193xy有共同的渐近线，并且经过点(3,4)的双曲线方程 例 3 设双曲线2212yx 上两点 A、B，AB 中点 M（1，2）,求直线 AB 方程；例 4 k代表实数，讨论方程22280kxy所表示的曲线.题型三 直线与双曲线的位置关系 例 已知不论 b 取何实数，直线 y=kx+b 与双曲线 x22y2=1 总有公共点，试求实数 k 的取值范围.抛物线 知识梳理 1抛物线的概念 平面内与一定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点 F 不在定直线 l上)定点 F 叫做抛物线的焦点，定直线 l 叫做抛物线的准线方程022ppx

16、y叫做抛物线的标准方程 注意：它表示的抛物线的焦点在 x 轴的正半轴上，焦点坐标是 F（2p,0），它的准线方程是2px；2抛物线的性质 一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：pxy22，pyx22，pyx22.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表：标准方程 22(0)ypxp 22(0)ypxp 22(0)xpyp 22(0)xpyp 图形 焦点坐标(,0)2p(,0)2p(0,)2p(0,)2p 准线方程 2px 2px 2py 2py 范围 0 x 0 x 0y 0y 对称性 x轴 x轴 y轴 y轴

17、顶点(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)离心率 1e 1e 1e 1e 说明：（1）通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径；（2）抛物线的几何性质的特点：有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线；（3）注意强调p的几何意义：是焦点到准线的距离 o F x y l o x y F l x y o F l 2.3.1 抛物线及其标准方程 题型一 求抛物线的标准方程 例 1 已知抛物线的焦点在 x 轴上，抛物线上的点 M（3，m)到焦点的距离等于 5，求抛物线的标准方程和 m 的值.2.3.2 抛物线的简单的几何性质 题型一 焦点弦问题 例 斜率为 1 的直线经过抛物线 y2=4x 的焦点，与抛物线交于两点 A、B，求线段 AB 的长.题型二 直线与抛物线的位置关系 例 焦点在 y 轴上的抛物线被直线 x2y1=0 截得的弦长为15，求这抛物线的标准方程.