初中数学九大几何模型解题思路19444.pdf

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1、 1 九大几何模型 一、手拉手模型-旋转型全等（1）等边三角形 【条件】：OAB 和OCD 均为等边三角形；【结论】：OACOBD；AEB=60；OE 平分AED（2）等腰直角三角形 【条件】：OAB 和OCD 均为等腰直角三角形；【结论】：OACOBD；AEB=90；OE 平分AED OABCDE图 1 OABCDE图 2 OABCDE图 1OABCDE图 2OCDEODE 2（3）顶角相等的两任意等腰三角形 【条件】：OAB 和OCD 均为等腰三角形；且COD=AOB【结论】：OACOBD；AEB=AOB；OE 平分AED 二、模型二：手拉手模型-旋转型相似（1）一般情况【条件】：CDAB

2、，将OCD 旋转至右图的位置 【结论】：右图中OCDOABOACOBD；延长 AC 交 BD 于点 E，必有BEC=BOA（2）特殊情况 【条件】：CDAB，AOB=90 将OCD 旋转至右图的位置【结论】：右图中OCDOABOACOBD；OABCDOABCDEOABCDEOABCD 3 延长 AC 交 BD 于点 E，必有BEC=BOA；OAOBOCODACBDtanOCD；BDAC；连接 AD、BC，必有2222CDABBCAD；BDAC21SBCD 三、模型三、对角互补模型（1）全等型-90【条件】：AOB=DCE=90；OC 平分AOB【结论】：CD=CE；OD+OE=2OC；2OCE

3、OCDDCEOC21SSS 证明提示：作垂直，如图 2，证明CDMCEN 过点 C 作 CFOC，如图 3，证明ODCFEC 当DCE 的一边交 AO 的延长线于 D 时（如图 4）：以上三个结论：CD=CE；OE-OD=2OC；2OCDOCEOC21SS （2）全等型-120【条件】：AOB=2DCE=120；OC 平分AOB AOBCDE图 1 AOBCDEMN图 2AOBCDEF图 3AOBCDEMN图 4 4【结论】：CD=CE；OD+OE=OC；2OCEOCDDCEOC43SSS 证明提示：可参考“全等型-90”证法一；如右下图：在 OB 上取一点 F，使 OF=OC，证明OCF 为

4、等边三角形。（3）全等型-任意角【条件】：AOB=2，DCE=180-2；CD=CE；【结论】：OC 平分AOB；OD+OE=2OCcos；cossinOCSSS2OCEOCDDCE 当DCE 的一边交 AO 的延长线于 D 时（如右下图）：原结论变成：；。可参考上述第种方法进行证明。请思考初始条件的变化对模型的影响。AOBCEFAOBCEFFAOBEDC 5 对角互补模型总结：常见初始条件：四边形对角互补，注意两点：四点共圆有直角三角形斜边中线；初始条件“角平分线”与“两边相等”的区别；注意 OC 平分AOB 时，CDE=CED=COA=COB 如何引导 四、模型四：角含半角模型 90（1）

5、角含半角模型 90-1【条件】：正方形 ABCD；EAF=45；【结论】：EF=DF+BE；CEF 的周长为正方形 ABCD 周长的一半；也可以这样：AOB ECDAOBCDE 6【条件】：正方形 ABCD；EF=DF+BE；【结论】：EAF=45；（2）角含半角模型 90-2【条件】：正方形 ABCD；EAF=45；【结论】：EF=DF-BE；（3）角含半角模型 90-3【条件】：RtABC；DAE=45；【结论】：222DECEBD（如图 1）ABCDEFABCDEFGABCDEFABCDEFABCDEF 7 若DAE 旋转到ABC 外部时，结论222DECEBD仍然成立（如图 2）（4）

6、角含半角模型 90变形【条件】：正方形 ABCD；EAF=45；【结论】：AHE 为等腰直角三角形；证明：连接 AC（方法不唯一）DAC=EAF=45，DAH=CAE，又ACB=ADB=45；DAHCAE，AEACAHDA AHEADC，AHE 为等腰直角三角形 模型五：倍长中线类模型 ABCDEABCDEFABCDEABCDEFABCDGHFEABCDGHFEABCEFDHABFDH 8（1）倍长中线类模型-1【条件】：矩形 ABCD；BD=BE；DF=EF；【结论】：AFCF 模型提取：有平行线 ADBE；平行线间线段有中点 DF=EF；可以构造“8”字全等ADFHEF。（2）倍长中线类模

7、型-2【条件】：平行四边形 ABCD；BC=2AB；AM=DM；CEAB；【结论】：EMD=3MEA 辅助线：有平行 ABCD，有中点 AM=DM，延长 EM，构造AMEDMF，连接 CM 构造 等腰EMC，等腰MCF。（通过构造 8 字全等线段数量及位置关系，角的大小转化）模型六：相似三角形 360旋转模型（1）相似三角形（等腰直角）360旋转模型-倍长中线法【条件】：ADE、ABC 均为等腰直角三角形；EF=CF；【结论】：DF=BF；DFBF 辅助线：延长 DF 到点 G，使 FG=DF，连接 CG、BG、BD，证明BDG 为等腰直角三角形；ABCDMEABCDMEFFCCG 9 突破点

8、：ABDCBG；难点：证明BAO=BCG （2）相似三角形（等腰直角）360旋转模型-补全法【条件】：ADE、ABC 均为等腰直角三角形；EF=CF；【结论】：DF=BF；DFBF 辅助线：构造等腰直角AEG、AHC；辅助线思路：将 DF 与 BF 转化到 CG 与 EF。（3）任意相似直角三角形 360旋转模型-补全法【条件】：OABODC；OAB=ODC=90；BE=CE；【结论】：AE=DE；AED=2ABO 辅助线：延长 BA 到 G，使 AG=AB，延长 CD 到点 H 使 DH=CD，补全OGB、OCH 构造旋转模AEBDFCAEBDFCHGOADODGH 10 型。转化 AE 与

9、 DE 到 CG 与 BH，难点在转化AED。（4）任意相似直角三角形 360旋转模型-倍长法【条件】：OABODC；OAB=ODC=90；BE=CE；【结论】：AE=DE；AED=2ABO 辅助线：延长 DE 至 M，使 ME=DE，将结论的两个条件转化为证明AMDABO，此为难点，将AMDABC 继续转化为证明ABMAOD，使用两边成比例且夹角相等，此处难点在证明ABM=AOD 模型七：最短路程模型（1）最短路程模型一（将军饮马类）总结：右四图为常见的轴对称类最短路程问题，OABDCEOABDCEMABBPlPA+PB 11 最后都转化到：“两点之间，线段最短：解决；特点：动点在直线上；起

10、点，终点固定 （2）最短路程模型二（点到直线类 1）【条件】：OC 平分AOB；M 为 OB 上一定点；P 为 OC 上一动点；Q 为 OB 上一动点；【问题】：求 MP+PQ 最小时，P、Q 的位置 辅助线：将作 Q 关于 OC 对称点 Q，转化 PQ=PQ，过点 M 作 MHOA，则 MP+PQ=MP+PQMH(垂线段最短）AAPQBBl2l1PA+PQ+BQAAPQBBlAAPQBl1l2PA+PQ+BQPA+PQ+BQAPOQMBQHPA 12 （3）最短路程模型二（点到直线类 2）【条件】：A(0,4),B(-2,0),P(0,n）【问题】：n 为何值时，PA55PB 最小 求解方法

11、：x 轴上取 C(2,0),使 sinOAC=55；过 B 作 BDAC，交 y 轴于点 E，即为所求；tanEBO=tanOAC=21，即 E（0，1）（4）最短路程模型三（旋转类最值模型）【条件】：线段 OA=4，OB=2；OB 绕点 O 在平面内 360旋转；【问题】：AB 的最大值，最小值分别为多少【结论】：以点 O 为圆心，OB 为半径作圆，如图所示，将问题转化为“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”。最大值：OA+OB；最小值：OA-OB xyOBPAxyOBPACDEOAB最小值位置最大值位置 13 【条件】：线段 OA=4，OB=2；以点 O 为圆心，OB，OC 为半

12、径作圆；点 P 是两圆所组成圆环内部（含边界）一点；【结论】：若 PA 的最大值为 10，则 OC=6；若 PA 的最小值为 1，则 OC=3 ；若 PA 的最小值为 2，则 PC 的取值范围是 0PC2 【条件】：RtOBC，OBC=30；OC=2；OA=1；点 P 为 BC 上动点（可与端点重合）；OBC 绕点 O 旋转【结论】：PA 最大值为 OA+OB=321；PA 的最小值为13OAOB21 如下图，圆的最小半径为 O 到 BC 垂线段长。BCAOPAOBPCAOPBC 14 模型八：二倍角模型【条件】：在ABC 中，B=2C；辅助线：以 BC 的垂直平分线为对称轴，作点 A 的对称

13、点 A，连接 AA、BA、CA、则 BA=AA=CA(注意这个结论）此种辅助线作法是二倍角三角形常见的辅助线作法之一，不是唯一作法。模型九：相似三角形模型（1）相似三角形模型-基本型 平行类：DEBC；A 字型 8 字型 A 字型 结论：BCDEACAEABAD(注意对应边要对应）ABCABCAABCDEADEBCADEBC 15 （2）相似三角形模型-斜交型【条件】：如右图，AED=ACB=90；【结论】：AEAB=ACAD 【条件】：如右图，ACE=ABC；【结论】：AC2=AEAB 第四个图还存在射影定理：AEEC=BCAC；BC2=BEBA；CE2=AEBE；（3）相似三角形模型-一线

14、三等角型【条件】：（1）图：ABC=ACE=CDE=90；（2）图：ABC=ACE=CDE=60；（3）图：ABC=ACE=CDE=45；【结论】：ABCCDE；ABDE=BCCD；一线三等角模型也经常用来建立方程或函数关系。ABCDEABCDE斜交型斜交型ABCEABCE斜交型双垂型ABCDE图（1）ABCDE图（2）ABCDE图（3）16 （4）相似三角形模型-圆幂定理型【条件】：（2）图：PA 为圆的切线；【结论】：（1）图：PAPB=PCPD；（2）图：PA2=PCPB;（3）图：PAPB=PCPD；以上结论均可以通过相似三角形进行证明。ABCDP图（1）APCB图（2）PABCD图（3）