2015电大高等数学基础形成考核册答案10779.pdf

《2015电大高等数学基础形成考核册答案10779.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2015电大高等数学基础形成考核册答案10779.pdf（13页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、第 1 页 共 13 页 2015 年电大高等数学基础形成考核册答案 （第 1 章 函数 第 2 章 极限与连续）（一）单项选择题 下列各函数对中，（C）中的两个函数相等 A.2)()(xxf，xxg)(B.2)(xxf，xxg)(C.3ln)(xxf，xxgln3)(D.1)(xxf，11)(2xxxg 设函数)(xf的定义域为),(，则函数)()(xfxf的图形关于（C）对称 A.坐标原点 B.x轴 C.y轴 D.xy 下列函数中为奇函数是（B）A.)1ln(2xy B.xxycos C.2xxaay D.)1ln(xy 下列函数中为基本初等函数是（C）A.1 xy B.xy C.2xy

2、D.0,10,1xxy 下列极限存计算不正确的是（D）A.12lim22xxx B.0)1ln(lim0 xx C.0sinlimxxx D.01sinlimxxx 当0 x时，变量（C）是无穷小量 A.xxsin B.x1 C.xx1sin D.2)ln(x 若函数)(xf在点0 x满足（A），则)(xf在点0 x连续。A.)()(lim00 xfxfxx B.)(xf在点0 x的某个邻域内有定义 C.)()(lim00 xfxfxx D.)(lim)(lim00 xfxfxxxx（二）填空题 函数)1ln(39)(2xxxxf的定义域是|3x x 已知函数xxxf2)1(，则)(xf x2

3、-x xxx)211(lim 第 2 页 共 13 页 1122211lim(1)lim(1)22xxxxexx 若函数0,0,)1()(1xkxxxxfx，在0 x处连续，则k e 函数0,sin0,1xxxxy的间断点是 0 x 若Axfxx)(lim0，则当0 xx 时，Axf)(称为 0 xx 时的无穷小量 （二）计算题 设函数 0,0,e)(xxxxfx 求：)1(,)0(,)2(fff 解：22f ，00f，11fee 求函数21lgxyx的定义域 解：21lgxyx有意义，要求2100 xxx解得1020 xxx或 则定义域为1|02x xx或 在半径为R的半圆内内接一梯形，梯形

4、的一个底边与半圆的直径重合，另一底边的两个端点在半圆上，试将梯形的面积表示成其高的函数 解：D A R O h E B C 设梯形 ABCD 即为题中要求的梯形，设高为 h，即 OE=h，下底 CD2R 直角三角形 AOE 中，利用勾股定理得 2222AEOAOERh 则上底2222AERh 故 2222222hSRRhh RRh 求xxx2sin3sinlim0 第 3 页 共 13 页 解：000sin3sin33sin3333limlimlimsin2sin2sin22222xxxxxxxxxxxxxxx133122 求)1sin(1lim21xxx 解：21111(1)(1)11 1l

5、imlimlim2sin(1)sin(1)sin(1)11xxxxxxxxxxx 求xxx3tanlim0 解：000tan3sin31sin311limlimlim3133cos33cos31xxxxxxxxxxx 求xxxsin11lim20 解：22222200011(11)(11)limlimlimsin(11)sin(11)sinxxxxxxxxxxxx 020lim0sin1 11(11)xxxxx 求xxxx)31(lim 解：1143331111(1)(1)1lim()lim()limlim33311(1)(1)3xxxxxxxxxxxexxxexexxx 求4586lim22

6、4xxxxx 解：2244442682422limlimlim544114 13xxxxxxxxxxxxx 设函数 1,111,1,)2()(2xxxxxxxf 讨论)(xf的连续性，并写出其连续区间 解：分别对分段点1,1xx 处讨论连续性 （1）1111limlim1limlim11 10 xxxxf xxf xx 第 4 页 共 13 页 所以 11limlimxxf xf x ，即 f x在1x 处不连续（2）221111limlim21 21limlim111xxxxf xxf xxf 所以 11limlim1xxf xf xf 即 f x在1x 处连续 由（1）（2）得 f x在除

7、点1x 外均连续 故 f x的连续区间为,11,高等数学基础第二次作业 第 3 章 导数与微分（一）单项选择题 设0)0(f且极限xxfx)(lim0存在，则xxfx)(lim0（C）A.)0(f B.)0(f C.)(xf D.0cvx 设)(xf在0 x可导，则hxfhxfh2)()2(lim000（D）A.)(20 xf B.)(0 xf C.)(20 xf D.)(0 xf 设xxfe)(，则xfxfx)1()1(lim0（A）A.e B.e2 C.e21 D.e41 设)99()2)(1()(xxxxxf，则)0(f（D）A.99 B.99 C.!99 D.!99 下列结论中正确的是

8、（C）A.若)(xf在点0 x有极限，则在点0 x可导 B.若)(xf在点0 x连续，则在点0 x可导 C.若)(xf在点0 x可导，则在点0 x有极限 D.若)(xf在点0 x有极限，则在点0 x连续 （二）填空题 设函数0,00,1sin)(2xxxxxf，则)0(f 0 第 5 页 共 13 页 设xxxfe5e)e(2，则xxfd)(lndxxx5ln2 曲线1)(xxf在)2,1(处的切线斜率是21k 曲线xxfsin)(在)1,4(处的切线方程是)41(2222xy 设xxy2，则 y)ln1(22xxx 设xxyln，则 yx1（三）计算题 求下列函数的导数y：xxxye)3(x

9、xexexy212323)3(xxxylncot2 xxxxyln2csc2 xxyln2 xxxxy2lnln2 32cosxxyx 4)2(cos3)2ln2sin(xxxxyxx xxxysinln2 xxxxxxxy22sincos)(ln)21(sin xxxylnsin4 xxxxxylncossin43 xxxy3sin2 xxxxxxxy2233ln3)(sin)2(cos3 xxyxlntane xxexeyxx1costan2 求下列函数的导数y：21exy 2112xxeyx 3coslnxy 32233tan33cossinxxxxxy xxxy 87xy 8187xy

10、 3xxy)211()(31213221xxxy xyecos2 第 6 页 共 13 页)2sin(xxeey 2ecosxy 22sin2xxexey nxxyncossin)sin(sincoscossin1nxxnnxxxnynn 2sin5xy 2sin25cos5ln2xxxy xy2sine xxey2sin2sin 22exxxy 222)ln2(xxxexxxxy xxxyeee xexxeeexexexyxx)ln(在下列方程中，yy x()是由方程确定的函数，求 y：yxy2ecos yexyxyy22sincos yexxyy22cossin xyylncos xyxy

11、yy1.cosln.sin)lnsin1(cosxyxyy yxyx2sin2 222sin2.cos2yyxyxyyyx yyyxyxyxysin22)cos2(222 22cos2sin22xyxyyyxyy yxyln 第 7 页 共 13 页 1yyy 1yyy 2elnyxy yyyexy21)2(1yeyxy yyxsine12 xxeyyyeyy.sin.cos2 yeyyeyxxcos2sin 3eeyxy yyeyexy23 23yeeyyx yxy25 2ln25ln5yxyy 2ln215ln5yxy 求下列函数的微分yd：xxycsccot dxxxxdy)sincos

12、cos1(22 xxysinln dxxxxxxdy2sincoslnsin1 xxy11arcsin dxxxxdxxxxxxdy2222)1(11)1()1()1()11(11 第 8 页 共 13 页 311xxy 两边对数得：)1ln()1ln(31lnxxy)1111(31xxyy)1111(11313xxxxy xyesin2 dxeedxeeedyxxxxx)2sin(sin23 3etanxy xdxexdxxedyxx2222sec33sec33 求下列函数的二阶导数：xxyln xyln1 xy1 xxysin xxxysincos xxxycos2sin xyarctan

13、 211xy 22)1(2xxy 23xy 3ln322xxy 2233ln23ln3422xxxy （四）证明题 设)(xf是可导的奇函数，试证)(xf 是偶函数 证：因为 f(x)是奇函数 所以)()(xfxf 两边导数得：)()()()1)(xfxfxfxf 所以)(xf 是偶函数。高等数学基础第三次作业 第 9 页 共 13 页 第 4 章 导数的应用（一）单项选择题 若函数)(xf满足条件（D），则存在),(ba，使得abafbff)()()(A.在),(ba内连续 B.在),(ba内可导 C.在),(ba内连续且可导 D.在,ba内连续，在),(ba内可导 函数14)(2xxxf的

14、单调增加区间是（D）A.)2,(B.)1,1(C.),2(D.),2(函数542xxy在区间)6,6(内满足（A）A.先单调下降再单调上升 B.单调下降 C.先单调上升再单调下降 D.单调上升 函数)(xf满足0)(xf的点，一定是)(xf的（C）A.间断点 B.极值点 C.驻点 D.拐点 设)(xf在),(ba内有连续的二阶导数，),(0bax，若)(xf满足（C），则)(xf在0 x取到极小值 A.0)(,0)(00 xfxf B.0)(,0)(00 xfxf C.0)(,0)(00 xfxf D.0)(,0)(00 xfxf 设)(xf在),(ba内有连续的二阶导数，且0)(,0)(xf

15、xf，则)(xf在此区间内是（A）A.单调减少且是凸的 B.单调减少且是凹的 C.单调增加且是凸的 D.单调增加且是凹的 （二）填空题 设)(xf在),(ba内可导，),(0bax，且当0 xx 时0)(xf，当0 xx 时0)(xf，则0 x是)(xf的 极小值 点 若函数)(xf在点0 x可导，且0 x是)(xf的极值点，则)(0 xf 0 函数)1ln(2xy的单调减少区间是)0,(函数2e)(xxf的单调增加区间是),0(若函数)(xf在,ba内恒有0)(xf，则)(xf在,ba上的最大值是)(af 函数3352)(xxxf的拐点是 x=0 （三）计算题 求函数2(1)(5)yxx的单

16、调区间和极值 令)2)(5(2)5(2)1(2xxxxy 5,2xx驻点 列表：极大值：27)2(f X)2,(2(2,5)5),5(y+极大-极小+y 上升 27 下降 0 上升 第 10 页 共 13 页 极小值：0)5(f 求函数223yxx在区间3,0内的极值点，并求最大值和最小值 令：）xxy驻点(1022 6)3(f最大值 2)1(f最小值 试确定函数dcxbxaxy23中的dcba,，使函数图形过点)44,2(和点)10,1(，且2x是驻点，1x是拐点 解：bacbadcbadxbb26041201024844 241631dcba 求曲线xy22上的点，使其到点)0,2(A的距

17、离最短 解：上的点是设xyyxp2),(2，d 为 p 到 A 点的距离，则：xxyxd2)2()2(222 102)2(12)2(22)2(222xxxxxxxd令。Axy的距离最短到点上点)0,2()2,1(22 圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为L，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？设园柱体半径为 R，高为 h，则体积 hhLhRV)(222 LhhLhLhLhhV：33303)2(2222令。LRhLR时其体积最大当32,3332 一体积为 V 的圆柱体，问底半径与高各为多少时表面积最小？设园柱体半径为 R，高为 h，则体积 2222222RRVRRhShRV表面积 33

18、222042VRRVRVRS：令 34Vh 2)1(6)3(3)0(fff第 11 页 共 13 页 答：当32VR 34Vh 时表面积最大。欲做一个底为正方形，容积为 62.5 立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设底连长为 x，高为 h。则：225.625.62xhhx 侧面积为：xxxhxS250422 令51250250232xxxxS 答：当底连长为 5 米，高为 2.5 米时用料最省。（四）证明题 当0 x时，证明不等式)1ln(xx 证：由中值定理得：)0(1111)1(1ln)1ln()1ln(xxxx ）xxxxx时当0()1ln(1)1ln(当0 x时，证明不等式

19、1e xx)1()(xexfx设 0)0()(00(01)(fxfx）xexfx单调上升且时当时当 证毕即)1(,0)(xexfx 高等数学基础第四次作业 第 5 章 不定积分 第 6 章 定积分及其应用 （一）单项选择题 若)(xf的一个原函数是x1，则)(xf（D）A.xln B.21x C.x1 D.32x 下列等式成立的是（D）A)(d)(xfxxf B.)()(dxfxfC.)(d)(dxfxxf D.)(d)(ddxfxxfx 若xxfcos)(，则xxfd)(（B）A.cx sin B.cxcos C.cx sin D.cxcos xxfxxd)(dd32（B）A.)(3xf B

20、.)(32xfx C.)(31xf D.)(313xf 若cxFxxf)(d)(，则xxfxd)(1（B）第 12 页 共 13 页 A.cxF)(B.cxF)(2 C.cxF)2(D.cxFx)(1 由区间,ba上的两条光滑曲线)(xfy 和)(xgy 以及两条直线ax 和bx 所围成的平面区域的面积是（C）A.baxxgxfd)()(B.baxxfxgd)()(C.baxxgxfd)()(D.baxxgxfd)()(（二）填空题 函数)(xf的不定积分是dxxf)(若函数)(xF与)(xG是同一函数 的原函数，则)(xF与)(xG之间 有关系 式）cxGxF常数()()(xxded22xe

21、 xx d)(tancx tan 若cxxxf3cosd)(，则)(xf)3cos(9x 335d)21(sinxx3 若无穷积分1d1xxp收敛，则0p（三）计算题 cxxdxxxx1sin)1(1cosd1cos2 cexdexxxxx22de cxxdxxxx)ln(ln)(lnln1dln1 cxxxxdxxxxxx2sin412cos212cos212cos21d2sin e11e121)ln3(21)ln3d()ln3(dln3exxxxxx 414141212121de21022102102102eeedxexexxxxxx 41221ln2dln2112e1exdxxxxxxe

22、e eeeexedxxxxxxx1121e1212111ln1dln（四）证明题 证明：若)(xf在,aa上可积并为奇函数，则0d)(aaxxf 证:aaaaaaaadttfdttfdttfdxxftx)()()()(令 第 13 页 共 13 页 0)()()(aaaaaadxxfdxxfdxxf 证毕 证明：若)(xf在,aa上可积并为偶函数，则aaaxxfxxf0d)(2d)(证：aaaaxxfxxfxxf00d)(d)(d)(aaaxftftfxxftx000)(dt)(dt)(d)(,是偶函数则令 证毕aaaaaaaxxfxxfxxfxxfxxfxxf00000d)(2d)(d)(d)(d)(d)(证明：aaaxxfxfxxf0d)()(d)(证：aaaaaaxxfxxfxxfxxfxxf0000d)(d)(d)(d)(d)(=aaaxxfxfxxfxxf000d)()(d)(d)(证毕