专题：基本不等式常见题型归纳(学生版)37207.pdf

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1、-专题：根本不等式 根本不等式求最值利用根本不等式求最值：一正、二定、三等号 三个不等式关系：1a，bR，a2b22ab，当且仅当ab时取等号 2a，bR，ab2ab，当且仅当ab时取等号 3a，bR，a2b22(ab2)2，当且仅当ab时取等号 上述三个不等关系提醒了a2b2，ab，ab三者间的不等关系 其中，根本不等式及其变形：a，bR，ab2ab(或ab(ab2)2)，当且仅当ab时取等号，所以当和为定值时，可求积的最值；当积为定值是，可求和的最值【题型一】利用拼凑法构造不等关系【典例 1】1ba且7log3log2abba，则112ba的最小值为.练习：1假设实数,x y满足0 xy，

2、且22loglog1xy，则22xyxy的最小值为 2.假设实数,x y满足133(0)2xyxx，则313xy的最小值为 3.0,0,2abc，且2ab，则522acccbabc的最小值为.【典例 2】*，y为正实数，则4*4*yy*y的最大值为【典例 3】假设正数a、b满足3abab,则ab的最小值为_.变式：1.假设,a bR,且满足22abab,则ab的最大值为_.2.设0,0yx，822xyyx，则yx2的最小值为_ 3.设Ryx,，1422xyyx，则yx 2的最大值为_ 4.正数a，b满足195abab，则ab的最小值为【题型二】含条件的最值求法【典例 4】正数yx,满足1 yx

3、，则1124yx的最小值为-练习 1正数yx,满足111yx，则1914yyxx的最小值为.2.正数,x y满足22xy，则8xyxy的最小值为 3函数(0)xyab b的图像经过点(1,3)P，如下列图所示，则411ab的最小值为.4 己 知a，b为 正 数，且 直 线60axby与 直 线2(3)50 xby互相平行，则 2a+3b 的最小值为_ 5.常数a，b和正变量*，y满足ab16，a*2by12.假设*2y的最小值为64，则ab_.6.正实数,a b满足12122ab bba a，则ab的最大值为【题型三】代入消元法【典例 5】苏州市 2016 届高三调研测试1414ab，,(0,

4、1)a b，则1211ab的最小值为 练习 1设实数*，y 满足*22*y10，则*2y2的最小值是 2正实数*，y 满足，则*+y 的最小值为 3正实数,x y满足(1)(1)16xy，则xy的最小值为 4.假设2,0ba，且3ba，则使得214ba取得最小值的实数a=。5.设实数*、y 满足*22*y10，则*y 的取值范围是_ 6.Rzyx,，且1zyx，3222zyx，求xyz的最大值为_【题型四】换元法【典例 6】函数f(*)a*2*b(a，b均为正数)，不等式f(*)0 的解集记为P，集合Q*|2t*2t假设对于任意正数t，PQ，则1a1b的最大值是 2正数 a，b，c 满足 b+

5、ca，则+的最小值为 练习 1假设实数*，y满足 2*2*yy21，则222522xyxxyy的最大值为-2设,x y是正实数,且1xy,则2221xyxy的最小值是_.3.假设实数*，y满足 2*2*yy21，则*2y5*22*y2y2的最大值为24 4假设实数满足，当取得最大值时，的值为.【题型五】判别式法【典例 7】正实数*，y满足24310 xyxy，则*y的取值范围为 练习 1.假设正实数满足，则的最大值为 2.设Ryx,，1322xyyx，则yx 2的最大值为_ 变式 1在平面直角坐标系xOy中，设点(1 0)A，(0 1)B，()C a b，()D c d，假设不等式2(2)()

6、()CDmOC ODm OC OBOD OA对任意实数abcd，都成立，则实数m的最大值是【方法技巧】不等式恒成立常用的方法有判别式法、别离参数法、换主元法判别式法：将所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数),0()(2Rxacbxaxxf,有 10)(xf对Rx恒成立00a20)(xf对Rx恒成立.00a 别离变量法：假设所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元别离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值。一般地有：1为参数）aagxf)()(恒成立max)()(xfag 2为参数）aagxf)()(恒成立max)()(xfag 确定主元法：如果把取值范围的变量作为主元，把要求取值范围的变量看作参数，则可简化解题过程。2设二次函数 cbxaxxf2cba,为常数的导函数为 xf对任意Rx，不等式 xfxf恒成立，则222cab的最大值为-【题型六】别离参数法【典例 8】*0，y0，假设不等式*3+y3k*y*+y 恒成立，则实数 k 的最大值为_ 练习 1对满足42xyxy的任意正实数,x y，都有22210 xxyyaxay，则实数a的取值范围为.2假设不等式*22*ya(*2y2)对于一切正数*，y恒成立，则实数a的最小值为