2021-2022学年北京师大附中高一(上)期末数学试卷(含解析)14063.pdf

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1、2021-2022 学年北京师大附中高一（上）期末数学试卷 一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1（4 分）已知集合|12Axx，0B，1，2，3，则(AB )A0，1 B 1，0，1 C0，1，2 D 1，0，1，2 2（4 分）命题“(0,)x，1lnxx”的否定是()A(0,)x，1lnxx B(0,)x，1lnxx C(0,)x，1lnxx D(0,)x，1lnxx 3（4 分）下列函数中，是偶函数，且在区间(0,)上单调递增的为()A1yx B|yln x C2xy D1|yx 4（4 分）已知23a，0.5log

2、2b，2log 3c，则()Aabc Bacb Cbca Dcab 5（4 分）从 2020 年起，北京考生的高考成绩由语文、数学、外语 3 门统一高考成绩和考生选考的 3 门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成，等级性考试成绩位次由高到低分为A、B、C、D、E，各等级人数所占比例依次为：A等级15%，B等级40%，C等级30%，D等级14%，E等级1%现采用分层抽样的方法，从参加历史等级性考试的学生中抽取 200 人作为样本，则该样本中获得B等级的学生人数为A、B、C、D、E，各等级人数所占比例依次为：A等级15%，B等级40%，C等级30%，D等级14%，E等级1%现采用分层抽样的方

3、法，从参加历史等级性考试的学生中抽取 200 人作为样本，则该样本中获得B等级的学生人数为()A30 B60 C80 D28 6（4 分）函数4()2xf xx的零点所在的区间是()A(0,1)B(1,2)C(2,3)D(3,4)7（4 分）向量“a，b不共线”是“|abab”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 8（4 分）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵记鲑鱼的游速为v（单位：/)m s，鲑鱼的耗氧量的单位数为Q科学研究发现v与3log100Q成正比当1/vm s时，鲑鱼的耗氧量的单位数为 900当2/vm s时，其耗氧量的单

4、位数为()A1800 B2700 C7290 D8100 9（4 分）关于x的不等式2|1xxa x对任意xR恒成立，则实数a的取值范围是()A 1，3 B(，3 C(，1 D(，13，)10（4 分）已知函数()f xx，2()g xaxx，其中0a，若11x，3，21x，3，使得1212()()()()f xf xg x g x成立则(a )A32 B43 C23 D12 二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分 11（5 分）13331()log 5log 1527 12（5 分）已知甲运动员的投篮命中率为 0.7，乙运动员的投篮命中率为 0.8，若甲、乙各投篮一次，则恰有一

5、人命中的概率是 13（5 分）已知甲、乙两组数据已整理成如图所示的茎叶图，则甲组数据的中位数是 ，乙组数据的25%分位数是 14（5 分）已知函数2|,1,()2,1.xxxf xa x 当1a 时，函数()f x的值域是 ；若函数()f x的图象与直线1y 只有一个公共点，则实数a的取值范围是 15（5 分）在矩形ABCD中，2AB，1AD 设123456|tABBCCDDAACBD 当1231，4561时，t ；若 1i，1，1i，2，3，4，5，6，则t的最大值是 三、解答题共 6 小题，共 85 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 16（14 分）已知向量(3,4)a，(1,2)

6、b，(2,2)c （）求|a，|b的值；（）若ambnc，求实数m，n的值；（）若()/()abbkc，求实数k的值 17（13 分）为了解学生的周末学习时间（单位：小时），高一年级某班班主任对本班 40 名学生某周末的学习时间进行了调查，将所得数据整理绘制出如图所示的频率分布直方图，根据直方图所提供的信息：（）求出图中a的值；（）求该班学生这个周末的学习时间不少于 20 小时的人数；（）如果用该班学生周末的学习时间作为样本去推断该校高一年级全体学生周末的学习时间，这样推断是否合理？说明理由 18（15 分）已知函数1()log(0|2af xax且1)a （）试判断函数()f x的奇偶性，并

7、说明理由；（）当2a 时，求函数()f x的值域；（）若对任意xR，()1f x恒成立，求实数a的取值范围 19（14 分）空气质量指数是定量描述空气质量状况的指数，空气质量指数的值越高，就代表空气污染越严重，其分级如表：空气质量指数 0 50 51100 101150 151 200 201 300 300 空气质量类别 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 现分别从甲、乙两个城市 12 月份监测的空气质量指数的数据中随机抽取 6 天的数据，记录如表：甲 48 65 104 132 166 79 乙 80 67 108 150 205 62（）估计甲城市 12 月份某一天空气质量类

8、别为良的概率；（）分别从甲、乙两个城市的统计数据中任取一个，求这两个数据对应的空气质量类别都为轻度污染的概率；（）记甲城市这 6 天空气质量指数的方差为20s从甲城市 12 月份空气质量指数的数据中再随机抽取一个记为a，若99a，与原有的6天的数据构成新样本的方差记为21s；若169a，与原有的 6 天的数据构成新样本的方差记为22s，试比较20s，21s，22s的大小（结论不要求证明）20（15 分）已知函数()22xxf x（）判断函数()f x的单调性，并用定义给出证明；（）解不等式：2()2f x；（）若关于x的方程14()223xxf xmm只有一个实根，求实数m的取值范围 21（1

9、4 分）设n是不小于 3 的正整数，集合1(nSa，2a，)|0niaa，1，1i，2，n，对于集合nS中任意两个元素1(Aa，2a，)na，1(Bb，2b，)nb 定义11221:(|)nnA Bnababab 定义 2：若0A B，则称1(Aa，2a，)na，1(Bb，2b，)nb互为相反元素，记作AB，或BA（）若3n，(0A，1，0)，(1B，1，0)，试写出A，B，以及A B的值；（）若A，nBS，证明：A BA Bn；（）设k是小于n的正奇数，至少含有两个元素的集合nMS，且对于集合M中任意两个不相同的元素1(Aa，2a，)na，1(Bb，2b，)nb，都有A Bnk，试求集合M中

10、元素个数的所有可能值 2021-2022 学年北京师大附中高一（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1（4 分）已知集合|12Axx，0B，1，2，3，则(AB )A0，1 B 1，0，1 C0，1，2 D 1，0，1，2【考点】1E：交集及其运算【专题】11：计算题；37：集合思想；49：综合法；5J：集合；65：数学运算【分析】进行交集的运算即可【解答】解：|12Axx，0B，1，2，3，0AB，1，2 故选：C【点评】本题考查了描述法、列举法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力

11、，属于基础题 2（4 分）命题“(0,)x，1lnxx”的否定是()A(0,)x，1lnxx B(0,)x，1lnxx C(0,)x，1lnxx D(0,)x，1lnxx【考点】命题的否定【专题】计算题；简易逻辑【分析】利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“0(0,)x，001lnxx”的否定是：(0,)x，1lnxx 故选：A【点评】本题考查特称命题与全称命题的否定关系，是基础题 3（4 分）下列函数中，是偶函数，且在区间(0,)上单调递增的为()A1yx B|yln x C2xy D1|yx 【考点】3N：奇偶性与单调性的综合【专题

12、】36：整体思想；49：综合法；51：函数的性质及应用；65：数学运算【分析】根据函数奇偶性的定义和基本初等函数的单调性，逐项进行判断即可【解答】解：1yx为奇函数，不符合题意，2xy为非奇非偶函数，不符合题意，1|yx 为偶函数，在(0,)上单调递减，不符合题意，|yln x为偶函数，且0 x 时，ylnx单调递增，符合题意 故选：B【点评】本题考查函数奇偶性的定义，以及基本初等函数的单调性，属于基础题 4（4 分）已知23a，0.5log2b，2log 3c，则()Aabc Bacb Cbca Dcab【考点】4M：对数值大小的比较【专题】11：计算题；33：函数思想；49：综合法；51：

13、函数的性质及应用；65：数学运算【分析】容易得出2031，0.5log20，2log 31，从而可得出a，b，c的大小关系【解答】解：2031，0.50.5log2log10，22log 3log 21，cab 故选：D【点评】本题考查了对数函数的单调性，增函数和减函数的定义，考查了计算能力，属于基础题 5（4 分）从 2020 年起，北京考生的高考成绩由语文、数学、外语 3 门统一高考成绩和考生选考的 3 门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成，等级性考试成绩位次由高到低分为A、B、C、D、E，各等级人数所占比例依次为：A等级15%，B等级40%，C等级30%，D等级14%，E等级1%

14、现采用分层抽样的方法，从参加历史等级性考试的学生中抽取 200 人作为样本，则该样本中获得B等级的学生人数为A、B、C、D、E，各等级人数所占比例依次为：A等级15%，B等级40%，C等级30%，D等级14%，E等级1%现采用分层抽样的方法，从参加历史等级性考试的学生中抽取 200 人作为样本，则该样本中获得B等级的学生人数为()A30 B60 C80 D28【考点】分层抽样方法【专题】对应思想；定义法；概率与统计；数据分析【分析】根据分层抽样原理计算B等级应抽取的人数【解答】解：根据分层抽样原理知，B等级应抽取20040%80（人)故选：C【点评】本题考查了分层抽样方法的应用问题，是基础题

15、6（4 分）函数4()2xf xx的零点所在的区间是()A(0,1)B(1,2)C(2,3)D(3,4)【考点】函数零点的判定定理【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算【分析】求出函数的定义域，判断函数的单调性，根据零点判定定理进行判断【解答】解：()f x定义域为|0 x x，4yx在(0,)上是减函数，2xy 在(0,)上是增函数，4()2xf xx在(0,)上是减函数 f（1）4220，f（2）240，函数在(0,)连续，根据函数的零点判定定理可知，()f x的零点所在的区间是(1,2)故选：B【点评】本题考查了函数的零点判定定理，属于基础题 7（4 分）向量“a，

16、b不共线”是“|abab”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件【考点】充分条件、必要条件、充要条件【专题】对应思想；定义法；简易逻辑；逻辑推理【分析】根据向量三角形的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：当向量“a，b不共线”时，由向量三角形性质得“|abab”成立，即充分性成立，反之当向量“a，b方向相反时，满足“|abab”，但此时两个向量共线，即必要性不成立，即向量“a，b不共线”是“|abab”的充分不必要条件，故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合向量三角形的性质是解决本题的关键，是基础题、8（4 分）大西

17、洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵记鲑鱼的游速为v（单位：/)m s，鲑鱼的耗氧量的单位数为Q科学研究发现v与3log100Q成正比当1/vm s时，鲑鱼的耗氧量的单位数为 900当2/vm s时，其耗氧量的单位数为()A1800 B2700 C7290 D8100【考点】函数与方程的综合运用【专题】函数思想；待定系数法；函数的性质及应用；数学运算【分析】根据正比例函数关系设3log100Qvk，代入1v，900Q 可求出k，进而可求出2v 时，Q的值【解答】解：根据题意设3log100Qvk，把1v，900Q 代入可得12k，所以31log2100Qv，当2v 时，代入得3

18、122100Qlog，解得8100Q，故选：D【点评】本题考查函数模型的实际应用，运用待定系数法进行解析式的求解是关键，属于基础题 9（4 分）关于x的不等式2|1xxa x对任意xR恒成立，则实数a的取值范围是()A 1，3 B(，3 C(，1 D(，13，)【考点】函数恒成立问题【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算【分析】由题意，分0 x 与0 x 两类讨论，后者可分离参数a，利用基本不等式求得a的范围，最后取交集可得答案【解答】解：xR，2|1xxa x恒成立，当0 x 时，01成立，aR；当0 x 时，原不等式可化为1|1|axx，11|1 2|13|xxxx，当且仅当

19、1|xx，即1x 时取等号，3a，综上所述，实数a的取值范围是(，3，故选：B【点评】本题考查函数恒成立问题与绝对值不等式的解法，考查了转化与化归思想、分类讨论思想的应用，属于中档题 10（4 分）已知函数()f xx，2()g xaxx，其中0a，若11x，3，21x，3，使得1212()()()()f xf xg x g x成立则(a )A32 B43 C23 D12【考点】3R：函数恒成立问题【专题】35：转化思想；49：综合法；51：函数的性质及应用；65：数学运算【分析】由题意可得12111axax 成立，判断当01a时不成立，考虑1a，由题意可得在1，3内，11ax 的值域为211

20、ax 的值域的子集，解a的不等式可得a的值【解答】解：11x，3，21x，3，使得1212()()()()f xf xg x g x成立，即为1212()()()()g xf xf xg x，即12111axax 成立，显然当01a时，()1()g xyaxf x在1，3的值域为1a，31a，而1(1a ，0，即1yax的函数值中出现 0，不成立，01a舍去；则1a，可得11ax 在1，3的值域为1a，31a 211ax 在1，3的值域为131a，11a，由题意可得在1，3内，11ax 的值域为211ax 的值域的子集，可得11131311aaaa，可得(1)(31)1aa，解方程可得43a，

21、故选：B【点评】本题考查函数的值域求法，以及恒成立与有解问题解法，注意运用转化思想和函数的单调性，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题 二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分 11（5 分）13331()log 5log 1527 23 【考点】对数的运算性质【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算【分析】根据幂指数及对数运算性质计算即可【解答】解：1333311512()log 5log 15log12731533 故答案为：23【点评】本题考查幂指数及对数运算性质，考查数学运算能力，属于基础题 12（5 分）已知甲运动员的投篮命中率为 0.7，乙运动员的

22、投篮命中率为 0.8，若甲、乙各投篮一次，则恰有一人命中的概率是 0.38 【考点】相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式【专题】计算题；整体思想；综合法；概率与统计；数学运算【分析】利用独立事件的概率乘法公式求解【解答】解：设甲运动员命中为事件A，乙运动员命中为事件B，则P（A）0.7，P（B）0.8 所以恰有一人命中的概率PP（A）()()P BP A P（B）0.7(10.8)(10.7)0.80.38，故答案为：0.38【点评】本题主要考查了独立事件的概率乘法公式，属于基础题 13（5 分）已知甲、乙两组数据已整理成如图所示的茎叶图，则甲组数据的中位数是 45，乙组数据的25%分位数

23、是 【考点】茎叶图【专题】数形结合；定义法；概率与统计；数据分析【分析】根据茎叶图中的数据，分别找出甲组数据的中位数和乙组数据的25%分位数【解答】解：根据茎叶图知，甲组数据按从小到大排列为 28，31，39，42，45，55，57，58，66；排在中间的一位是中位数，是 45；乙组数据从小到大排列为 29，34，35，42，46，48，53，55，67；计算925%2.25，所以25%分位数是第 3 个数，为 35 故答案为：45；35【点评】本题考查了中位数与百分位数的定义与应用问题，是基础题 14（5 分）已知函数2|,1,()2,1.xxxf xa x 当1a 时，函数()f x的值域

24、是(，1；若函数()f x的图象与直线1y 只有一个公共点，则实数a的取值范围是 【考点】5B：分段函数的应用【专题】33：函数思想；48：分析法；51：函数的性质及应用；65：数学运算【分析】1a，代入解析式可求出()f x的值域；根据()f x的图象与直线1y 只有一个公共点，则有21a且022a，进而可求出a的取值范围【解答】解：当1a 时，2,1()21,1xx xf xx，则此时当1x 时，()21f xx，当1x时，()1f x，所以()f x的值域为(，1；根据解析式可知，当1x 时，()21f xx；当1x时，()22xf xaa，若函数()f x的图象与直线1y 只有一个公共

25、点，则21a且022a，解得11a，则实数a的取值范围是(1，1 故答案为(，1；(1，1【点评】本题考查分段函数值域问题，涉及函数单调性等知识点，属于中档题 15（5 分）在矩形ABCD中，2AB，1AD 设123456|tABBCCDDAACBD 当1231，4561时，t 0；若 1i，1，1i，2，3，4，5，6，则t的最大值是 【考点】平面向量的基本定理【专题】计算题；整体思想；向量法；平面向量及应用；数学运算【分析】建立直角坐标系，向量坐标化求模长的最值即可【解答】解：建立如图所示坐标系：则(0,0)A，(2,0)B，(2,1)C，(0,1)D，故(2,0)AB，(0BC，1)(2

26、,0)CD ，(0,1)DA，(2,1)AC，(2,1)BD ，当1231，4561时，123456(2ABBCCDDAACBD，0)(0，1)(2，0)(0，1)(2，1)(2，1)(0，0)，所以0t；由题意若使模长最大，则132，242，不妨设为132，242，则12345656(422ABBCCDDAACBD，562)，当562，560时模长最大为2 17，故答案为：0;2 17 【点评】本题考查了平面向量的坐标运算，模长的最值问题，属于中档题 三、解答题共 6 小题，共 85 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 16（14 分）已知向量(3,4)a，(1,2)b，(2,2)c

27、（）求|a，|b的值；（）若ambnc，求实数m，n的值；（）若()/()abbkc，求实数k的值【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示【专题】方程思想；转化法；平面向量及应用；数学运算【分析】（）根据坐标运算求出|a，|b的值即可；（）分别求出a，mb和nc的坐标，根据向量相等得到关于m，n的方程组，解出即可；（）根据共线向量的定义得到关于k的方程，解出即可【解答】解：()(3,4)Ia，(1,2)b，|9165a，|5b，()IIambnc，(3，4)(1m，2)(2n，2)(2mn，22)mn，23224mnmn，得11mn，故1m，1n ；()(12,22)IIIbkckk ，(4,6

28、)ab，()/()bkcab，6(12)4(22)kk ，解得12k 【点评】本题考查了求向量的模，考查共线向量的定义以及向量的坐标运算，是基础题 17（13 分）为了解学生的周末学习时间（单位：小时），高一年级某班班主任对本班 40 名学生某周末的学习时间进行了调查，将所得数据整理绘制出如图所示的频率分布直方图，根据直方图所提供的信息：（）求出图中a的值；（）求该班学生这个周末的学习时间不少于 20 小时的人数；（）如果用该班学生周末的学习时间作为样本去推断该校高一年级全体学生周末的学习时间，这样推断是否合理？说明理由 【考点】频率分布直方图【专题】数形结合；数形结合法；概率与统计；数学运算

29、【分析】()I由频率分布直方图列方程，能求出a()II由图求出该班学生周末的学习时间不少于 20 小时的频率，由此能求出 40 名学生中周末的学习时间不少于 20 小时的人数()III不合理，样本的选取只选在高一某班，不具有代表性【解答】解：()I由频率分布直方图得：(0.0400.0500.0450.0300.015)51a，解得0.020a ()II由图可知，该班学生周末的学习时间不少于 20 小时的频率为：(0.030.015)50.225，则 40 名学生中周末的学习时间不少于 20 小时的人数为400.2259()III不合理，样本的选取只选在高一某班，不具有代表性【点评】本题考查频

30、率、频数的求法，考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 18（15 分）已知函数1()log(0|2af xax且1)a （）试判断函数()f x的奇偶性，并说明理由；（）当2a 时，求函数()f x的值域；（）若对任意xR，()1f x恒成立，求实数a的取值范围【考点】函数恒成立问题【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算【分析】（）利用偶函数的定义()()fxf x可判断函数()f x的奇偶性；（）当2a 时，21()log|2f xx，由110|22x及对数的性质可求得函数()f x的值域；（）依题意，得1loglog|2aaax 恒成立，对对数的底数a分1

31、a 与01a两类讨论，即可求得对任意xR，()1f x恒成立时，实数a的取值范围【解答】解：()I因为函数()f x的定义域为R，所以xR时，xR（1 分）又因为11()loglog()|2|2aafxf xxx，所以1()log|2af xx是偶函数（4 分）()II当2a 时，21()log|2f xx 因为|0 x，所以|2 2x 所以110|22x（7 分）所以，21log1|2x，即()1f x（8 分）所以当2a 时，函数()f x的值域为(，1，（9 分）()III因为()1f x恒成立，即1log1|2ax 恒成立，所以1loglog|2aaax 恒成立（10 分）当1a 时，

32、即1|2ax 恒成立 因为110|22x，所以当1a 时不合题意，（11 分）当01a时，即1|2ax 恒成立 因为110|22x，所以112a（14 分）所以对任意xR，()1f x恒成立时，实数a的取值范围为1,1)2（15 分）【点评】本题考查了函数恒成立问题，考查了转化与化归思想和分类讨论思想的应用，考查运算能力，属中档题 19（14 分）空气质量指数是定量描述空气质量状况的指数，空气质量指数的值越高，就代表空气污染越严重，其分级如表：空气质量指0 50 51100 101150 151 200 201 300 300 数 空气质量类别 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染

33、现分别从甲、乙两个城市 12 月份监测的空气质量指数的数据中随机抽取 6 天的数据，记录如表：甲 48 65 104 132 166 79 乙 80 67 108 150 205 62（）估计甲城市 12 月份某一天空气质量类别为良的概率；（）分别从甲、乙两个城市的统计数据中任取一个，求这两个数据对应的空气质量类别都为轻度污染的概率；（）记甲城市这 6 天空气质量指数的方差为20s从甲城市 12 月份空气质量指数的数据中再随机抽取一个记为a，若99a，与原有的6天的数据构成新样本的方差记为21s；若169a，与原有的 6 天的数据构成新样本的方差记为22s，试比较20s，21s，22s的大小（

34、结论不要求证明）【考点】极差、方差与标准差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率【专题】转化思想；定义法；概率与统计；逻辑推理【分析】（）根据甲城市这 6 天内空气质量类别为良的有 2 天，即可得到答案；（）先确定总的基本事件数，再求出符合条件的基本事件数，利用概率的计算公式求解即可；（）直接比较即可【解答】解：（）甲城市这 6 天内空气质量类别为良的有 2 天，则估计甲城市 12 月份某一天空气质量类别为良的概率为13（）由题意，分别从甲、乙两个城市的统计数据中任取一个，因为(48,80)，(48,67)，(48,108)，(48,150)，(48,205)，(48,62)，(65,80)，

35、(65,67)，(65,108)，(65,150)，(65,205)，(65,62)，(104,80)，(104,67)，(104,108)，(104,150)，(104,205)，(104,62)，(132,80)，(132,67)，(132,108)，(132,150)，(132,205)，(132,62)，(166,80)，(166,67)，(166,108)，(166,150)，(166,205)，(166,62)，(79,80)，(79,67)，(79,108)，(79,150)，(79,205)，(79,62)，所以基本事件数一共有 36 种，A表示“这两个数据对应的空气质量类别都

36、为轻度污染”，则(104,108)A，(104,150)，(132,108)，(132,150)，包含 4 个样本点，则41()369P A （）222102sss【点评】本题考查了概率和统计的综合应用，涉及了列举法计算基本事件数及事件发生的概率，解题的关键是正确表示出总的基本事件数 20（15 分）已知函数()22xxf x（）判断函数()f x的单调性，并用定义给出证明；（）解不等式：2()2f x；（）若关于x的方程14()223xxf xmm只有一个实根，求实数m的取值范围【考点】函数与方程的综合运用【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算【分析】（）根据

37、题意，利用作差法分析可得结论；（）由函数的解析式可得12()22f，则有2()2f x 1()()2f xf，结合函数的单调性分析可得答案；（）根据题意，原问题等价于方程24(1)22103xxmm 有且只有一个实数解利用换元法分析可得答案【解答】解：()I根据题意，()f x在R上单调递增；证明：任取1x，2xR，且12xx，则11221212121()()(22)(22)(22)(1)22xxxxxxxxf xf x；又由12xx，则有1222xx，12()()f xf x 故函数()f x在R上单调递增；()II根据题意，函数()22xxf x则12()22f，2()2f x 1()()

38、2f xf，又函数()f x在R上单调递增，则有12x 故不等式的解集为1(,)2（）根据题意，若关于x的方程14()223xxf xmm只有一个实根，即方程24(1)22103xxmm 有且只有一个实数解 令2xt，则0t，问题转化为：方程24(1)103mtmt 有且只有一个正数根，当1m 时，34t ，不合题意，当1m 时，()i若0，则3m 或34，若3m ，则12t，符合题意；若34m，则2t ，不合题意，()ii若0，则3m 或34m，由题意，方程有一个正根和一个负根，即101m，解得1m；综上，实数m的取值范围是 3(1,)【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，涉及函数

39、与方程的关系，属于中档题 21（14 分）设n是不小于 3 的正整数，集合1(nSa，2a，)|0niaa，1，1i，2，n，对于集合nS中任意两个元素1(Aa，2a，)na，1(Bb，2b，)nb 定义11221:(|)nnA Bnababab 定义 2：若0A B，则称1(Aa，2a，)na，1(Bb，2b，)nb互为相反元素，记作AB，或BA（）若3n，(0A，1，0)，(1B，1，0)，试写出A，B，以及A B的值；（）若A，nBS，证明：A BA Bn；（）设k是小于n的正奇数，至少含有两个元素的集合nMS，且对于集合M中任意两个不相同的元素1(Aa，2a，)na，1(Bb，2b，)

40、nb，都有A Bnk，试求集合M中元素个数的所有可能值【考点】集合中元素个数的最值【专题】转化思想；转化法；集合【分析】（）根据相反元素的定义进行计算即可（）根据相反元素的定义分别计算出A B和A B，进行计算即可（）根据相反元素的定义结合条件A Bnk，利用反证法进行证明求解即可【解答】解：（）(1,0,1)A，(0,0,1)B，2A B（3 分）（）设1(Aa，2a，)na，1(Bb，2b，)nb，12(,)nAx xx，由ia，ib，0ix，1，1i，2，n，可得|1iiax，1i，2，n 所以1122|nnaxaxaxn，当且仅当|1iiax，1i，2，n，即1iixa，1i，2，n时

41、上式“”成立 由题意可知1122(|)0nnA Anaxaxax 即1122|nnaxaxaxn 所以1iixa，1i，2，1112|(1)|2(|1|0|)2(1)2nnniiiiiiiiiiinA BA Bnababnbbnbbnnn（8 分）（）解法 1：假设1(Aa，2a，)na，1(Bb，2b，)nb，1(Cc，2c，)nc为集合M中的三个不相同的元素 则1122(|)nnA Bnabababnk 即1122|nnabababk 又由题意可知|0iiab或 1，1i，2，11|n ab，22|ab，|nnab恰有k个1，与nk个 0 设其中k个等于 1 的项依次为1122|,|,|k

42、kmmmmmmabababnk个等于 0 的项依次为1122|,|,|kkkknnmmmmmmababab 由题意可知1122(|)nnA Cnacacacnk 所以11|iijjknmmmmij kacack，同理11|iijjknmmmmij kbcbck 所以1111(|)(|)2iijjiijjknknmmmmmmmmij kij kacacbcbck 即111(|)|2iiiijjjjknnmmmmmmmmij kj kacbcacbck 因为1122|1kkmmmmmmababab 由（2）可知1(|)iiiikmmmmiacbck 因为1122|0kkkknnmmmmmmabab

43、ab 所以11|jjjjnnmmmmj kj kacbc ，设11|jjjjnnmmmmj kj kacbcp ，由题意可知pN 所以22kpk，得2kp与k为奇数矛盾 所以假设不成立，即集合M中至多有两个元素 当 1,1,1,0,0,0,(0,0,0kn kM个个时符合题意 所以集合M中元素的个数只可能是2（13 分）解法 2：假设1(Aa，2a，)na，1(Bb，2b，)nb，1(Cc，2c，)nc为集合M中的三个不相同的元素 则1122(|)nnA Bnabababnk 即1122|nnabababk 又由题意可知|0iiab或 1，1i，2，11|n ab，22|ab，|nnab恰有k

44、个1，与nk个 0 设其中k个等于 1 的项依次为1122|,|,|kkmmmmmmabababnk个等于 0 的项依次为1122|,|,|kkkknnmmmmmmababab 由题意可知1122(|)nnA Cnacacacnk 所以11|iijjknmmmmij kacack 同理11|iijjknmmmmij kbcbck 得1(|)0iiiikmmmmiacbc 又因为111(|)(|1|0|)2iiiiiiikkkmmmmmmmiiiacbccckc为奇数 与1(|)0iiiikmmmmiacbc矛盾所以假设不成立，即集合M中至多有两个元素 当(1,1,1,1kM 个，0,0,0n k个，(0，0，00)时符合题意 所以集合M中元素的个数只可能是 2【点评】本题主要考查集合元素的性质和应用，考查学生的推理能力，综合性较强，难度较大