2014年全国高考理科数学试题及答案-辽宁卷2545.pdf

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1、梦想不会辜负一个努力的人 all试题 1 2014 年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）理科数学 第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集,|0,|1UR Ax xBx x，则集合()UCAB（）A|0 x x B|1x x C|01xx D|01xx 2.设复数 z 满足(2)(2)5zii，则z（）A23i B23i C32i D32i 3.已知132a，21211log,log33bc，则（）Aabc Bacb Ccab Dcba 4.已知 m，n 表示两条不同直线，表示平面

2、，下列说法正确的是（）A若/,/,mn则/mn B若m，n，则mn C若m，mn，则/n D若/m，mn，则n 5.设,a b c是非零向量，学科 网已知命题 P：若0a b，0b c，则0a c；命题 q：若/,/ab bc，则/ac，则下列命题中真命题是（）Apq Bpq C()()pq D()pq 6.6 把椅子摆成一排，3 人随机就座，任何两人不相邻的做法种数为（）A144 B120 C72 D24 7.某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A82 B8 C82 D84 梦想不会辜负一个努力的人 all试题 2 8.设等差数列na的公差为 d，若数列12na a为递减数列，则（

3、）A0d B0d C10a d D10a d 9.将函数3sin(2)3yx的图象向右平移2个单位长度，所得图象对应的函数（）A在区间7,12 12上单调递减 B在区间7,12 12上单调递增 C在区间,6 3 上单调递减 D在区间,6 3 上单调递增 10.已知点(2,3)A 在抛物线 C：22ypx的准线上，学 科网过点 A 的直线与 C 在第一象限相切于点 B，记 C 的焦点为 F，则直线 BF 的斜率为（）A12 B23 C34 D43 11.当 2,1x 时，不等式32430axxx恒成立，则实数 a 的取值范围是（）A 5,3 B 9 6,8 C 6,2 D 4,3 12.已知定义

4、在0,1上的函数()f x满足：(0)(1)0ff；对所有,0,1x y，且xy，有1|()()|2f xf yxy.若对所有,0,1x y，|()()|f xf yk，则 k 的最小值为（）A12 B14 C12 D18 第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.执行右侧的程序框图，若输入9x，则输出y .梦想不会辜负一个努力的人 all试题 3 14.正方形的四个顶点(1,1),(1,1),(1,1),(1,1)ABCD 分别在抛物线2yx 和2yx上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形 ABCD 中，则质点落在阴影区域的概率是 .15.已知

5、椭圆 C：22194xy，点 M 与 C 的焦点不重合，若 M关于 C 的焦点的对称点分别为 A，B，线段 MN 的中点在 C 上，则|ANBN .16.对于0c，当非零实数 a，b 满足224240aabbc，且使|2|ab最大时，345abc的最小值为 .三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分 12 分）在ABC中，内角 A，B，C 的对边 a，b，c，且ac，已知2BA BC，1cos3B，3b，求：（1）a 和 c 的值；（2）cos()BC的值.18.（本小题满分 12 分）一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制

6、了日销售量的频率分布直方图，如图所示：将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.梦想不会辜负一个努力的人 all试题 4（1）求在未来连续 3 天里，有连续 2 天的日销售量都不低于 100 个且另一天的日销售量低于 50 个的概率；（2）用 X 表示在未来 3 天里日销售量不低于 100 个的天数，求随机变量 X 的分布列，期望()E X及方差()D X.19.（本小题满分 12 分）如图，ABC和BCD所在平面互相垂直，且2ABBCBD，0120ABCDBC，E、F 分别为 AC、DC 的中点.（1）求证：EFBC；（2）求二面角EBFC的正弦值.20.（本小题满分 1

7、2 分）圆224xy的切线与 x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为 P（如图），双曲线22122:1xyCab过点 P 且离心率为3.（1）求1C的方程；（2）椭圆2C过点 P 且与1C有相同的焦点，直线l过2C的右焦点且与2C交于 A，B 两点，若以线段 AB 为直径的圆心过点 P，求l的方程.21.（本小题满分 12 分）已知函数8()(cos)(2)(sin1)3f xxxxx，2()3()cos4(1sin)ln(3)xg xxxxx.证明：（1）存在唯一0(0,)2x，使0()0f x；（2）存在唯一1(,)2x，使1()0g x，且对（1）中的01

8、xx.梦想不会辜负一个努力的人 all试题 5 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.22.（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲 如图，EP 交圆于 E、C 两点，PD 切圆于 D，G 为 CE 上一点且PGPD，连接 DG 并延长交圆于点 A，作弦 AB 垂直 EP，垂足为 F.（1）求证：AB 为圆的直径；（2）若 AC=BD，求证：AB=ED.23.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 将圆221xy上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的 2 倍，

9、得曲线 C.（1）写出 C 的参数方程；（2）设直线:220lxy与 C 的交点为12,P P，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段12PP的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.24.（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 设函数()2|1|1f xxx，2()1681g xxx，记()1f x 的解集为 M，()4g x 的解集为 N.（1）求 M；（2）当xMN时，证明：221()()4x f xx f x.梦想不会辜负一个努力的人 all试题 6 参考答案 一、选择题 1.D 2.A 3.C 4.B 5.A 6.D 7.B 8.C 9.B 10.D 11.

10、C 12.B 二、填空题 13.299 14.23 15.12 16.-2 三、解答题 17.解：（）由2BA BC得cos2c aB，又1cos3B，所以6ac，由余弦定理，得2222cosacbacB 又3b，所以2292 213ac 解22613acac，得2,3ac或3,2ac 因为ac，所以3,2ac（）在ABC中，2212 2sin1 cos1()33BB 由正弦定理，得2 2 24 2sinsin339cCBb 因abc，所以 C 为锐角，因此224 27cos1 sin1()99CC 于是 cos()coscossinsinBCBCBC 1 72 2 4 2233 93927

11、18.解：梦想不会辜负一个努力的人 all试题 7（）设1A表示事件“日销售量不低于 100 个”，2A表示事件“日销售量低于 50 个”，B表示事件“在未来连续 3 天里有连续 2 天日销售量不低于 100 个且另一天销售量低于 50 个”，因此 1()(0.0060.0040.002)500.6P A 2()0.003 500.15P A()0.60.60.1520.108P B （）X可能取的值为 0，1，2，3，相应的概率为 033(0)(10.6)0.064P XC，123(1)0.6(10.6)0.288P XC，223(2)0.6(10.6)0.432P XC，333(3)0.6

12、0.216P XC，分布列为 X 0 1 2 3 P 0.064 0.288 0.432 0.216 因为XB（3，0.6），所以期望()3 0.61.8E X ，方差()3 0.6(10.6)0.72D X 19.（）证明：方法一：过点E做EOBC，垂足为O，连接OF 由ABCDBC 可证出EOCFOC，所以2EOCFOC，即FOBC 又EOBC,EOFOO，所以BC 平面EFO，又EF 平面EFO，所以 方法二：由题意，以B为坐标原点，在平面DBC内过B作垂直BC的直线，并将其作为x轴，BC所在直线为y轴，在平面ABC内过B作垂直BC的直线，并将其作为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，易

13、得 梦想不会辜负一个努力的人 all试题 8(0,0,0)B，(0,1,3)A，(3,1,0)D，(0,2,0)C，因而13(0,)22E，3 1(,0)22F，所以33(,0,)22EF，(0,2,0)BC，因此0EF BC 从而EFBC，所以EFBC（）方法一：在图 1 中，过点O做OGBF，垂足为 G，连接 EG，因为平面ABC 平面BDC，所以EO 面BDC，又OGBF，所以由三垂线定理知EGBF，因此EGO为二面角EBFC的平面角 在EOC中，113cos30222EOECBC 由BGOBFC知，34BOOGFCBC，因此tan2EOEGOOG 从而得2 5sin5EGO 即二面角E

14、BFC的正弦值为2 55 方法二：在图 2 中，平面BFC的一个法向量为1(0,0,1)n 设平面BEF的法向量2(,)n x y z，又3 113(,0),(0,)2222BFBE，所以220,0,nBFnBE得其中一个2(1,3,1)n 设二面角EBFC的大小为，且由题知为锐角，梦想不会辜负一个努力的人 all试题 9 则1212121cos|cos,|5n nn nnn 因此2 5sin5，即所求二面角EBFC的正弦值为2 55 20.解：（）设切点坐标为0000(,)(0,0)xyxy，则切线斜率为00 xy，切线方程为0000()xyyxxy，即004x xy y，此时，两个坐标轴的

15、正半轴与切线围成的三角形面积为000014482Sxyx y，由22000042xyx y知，当且仅当002xy时00 x y有最大值，即S有最小值，因此点 P 的坐标为(2,2)由题意知，222222213ababa 解得221,2ab，故1C的方程为 2212yx （）由（）知2C的焦点坐标为(3,0),(3,0)，由此设2C的方程为22221113xybb，其中10b 由(2,2)P在2C上，得 22112213bb 解得213b，因此2C方程为 22163xy 梦想不会辜负一个努力的人 all试题 10 显然，l不是直线0y，设l的方程为3xmy，点1122(,),(,)A x yB

16、xy，由223163xmyxy 得22(2)2 330mymy，又12,y y是方程的根，因此 1221222 2232myymy ym 由11223,3xmyxmy，得 121222212121224 3()2 32663()32xxm yymmx xm y ym yym 因1122(2,2),(2,2)APxyBPxy，由题意知0AP BP，所以 121212122()2()40 x xxxy yyy 将代入式整理得 222 64 6110mm 解得3 612m 或3 612m ，因此直线l的方程为 3 6(1)302xy或3 6(1)302xy 21.证明：（）当(0,)2x时，2()(

17、1 sin)(2)2cos03fxxxxx，函数()f x在(0,)2上为减函数，又2816(0)0,()0323ff，所以存在唯一0(0,)2x，使0()0f x（）考虑函数3()cos2()4ln(3),1 sin2xxh xx xx 梦想不会辜负一个努力的人 all试题 11 令tx，则,2x时，0,2t 记3 cos2()()4ln(1)1 sinttu thttt，则3()()(2)(1 sin)f tu ttt 由（）得，当0(0,)tx时，()0u t，当0(,)2tx时，()0u t 在0(0,)x上()u t是增函数，又(0)0u，从而当0(0,tx时，()0u t，所以()

18、u t在0(0,x上无零点 在0(,)2x上()u t是减函数，由0()0,()4ln202u xu，知存在唯一10(,)2tx，使1()0u t 所以存在唯一的1(0,)2t，使1()0u t 因此存在唯一的11(,)2xt，使111()()()0h xhtu t 因为当(,)2x时，1 sin0 x，故()(1sin)()g xx h x与()h x有相同的零点，所以存在唯一的1(,)2x，使1()0g x 因1110,xt tx，所以01xx 22.证明：（）因为PDPG，所以PDGPGD 由于PD为切线，故PDADBA，又由于PGDEGA，故DBAEGA，所以DBABADEGABAD，

19、从而BDAPFA 由于AFEP，所以90PFA，于是90BDA，故AB是直径。（）连接,BC DC 由于AB是直径，故90BDAACB 在Rt BDA与Rt ACB中，,ABBA ACBD，从而Rt BDARt ACB，于是DABCBA 由因为DCBDAB，所以DCBCBA，故/DCAB 梦想不会辜负一个努力的人 all试题 12 由于ABEP，所以DCEP，DCE为直角。于是ED为直径，由（）得EDAB 23.解：（）设11(,)x y为圆上的点，在已知变换下变为C上点(,)x y，依题意，得112xxyy 由22111xy得22()12yx，即曲线C的方程为2214yx 故C的参数方程为c

20、os2sinxtyt（t为参数）（）由2214220yxxy解得：10 xy，或02xy 不妨设12(1,0),(0,2)PP，则线段12PP的中点坐标为1(,1)2，所求直线斜率为12k，于是所求直线方程为111()22yx，化为极坐标方程，并整理得 2cos4 sin3，即34sin2cos 24.解：（）33,1,)()1,(,1)xxf xx x，当1x 时，由()331f xx得43x，故413x；当1x 时，由()11f xx 得0 x，故01x 所以()1f x 的解集为4|03Mxx（）由2()16814g xxx 得2116()44x，解得1344x 因此13|44Nxx，故3|04MNxx 当xMN时，()1f xx，于是 梦想不会辜负一个努力的人 all试题 13 22()()()()x f xxf xxf x xf x 2111()(1)()424x f xxxx