三角函数倍角公式14279.pdf

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1、三角函数倍角公式 复习重点:二倍角公式 二倍角的正弦公式：sin2A2sinAcosA 二倍角的余弦公式：cos2Acos2Asin2A2cos2A112sin2A 二倍角的正切公式：tan2A=2tanA/(1-tan2A)ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga 对公式的再认识：(1)适用范围：二倍角的正切公式有限制条件：Ak2且 Ak24(kZ)；(2)公式特征：二倍角公式是两角和的正弦、余弦和正切公式之特例；二倍角关系是相对的。(3)公式的灵活运用：正用、逆用、变形用。复习难点:倍角公式的应用 复习内容:小结：倍角公式：sin2A2sinAcosA cos2Acos2Asin2A2c

2、os2A112sin2A tan2A22tanA1tan A 化“1”公式（升幂公式）1sin2A(sinAcosA)2，1sin2A(sinAcosA)2 1cos2A2cos2A 1cos2A2sin2A 降幂公式 cos2A1cos2A2 sin2A1cos2A2 二倍角公式是两角和公式的特殊情况，即:由此可继续导出三倍角公式.观察角之间的联系应该是解决三角变换的一个关键.二倍角公式中余弦公式有三种形式，采用哪种形式应根据题目具体而定.倍角和半角相对而言，两倍角余弦公式的变形可引出半角公式.推导过程中可得到一组降次公式，即，进一步得到半角公式:降次公式在三角变换中应用得十分广泛，“降次”

3、可以作为三角变换中的一个原则.半角公式在运用时一定要注意正、负号的选取，而是正是负取决于所在的象限.而半角的正切可用 的正弦、余弦表示，即:.这个公式可由二倍角公式得出，这个公式不存在符号问题，因此经常采用.反之用tan也可表示sin,cos,tan，即:，这组公式叫做“万能”公式.教材中只要求记忆两倍角公式，其它公式并没有给出，需要时可根据二倍角公式及同角三角函数公式推出.例 1推导三倍角的正弦、余弦公式 解:sin3=sin(2+)cos3=cos(2+)例 2利用三倍角公式推导 sin18的值.解:sin36=cos54,2sin18cos18=4cos318-3cos18 cos180

4、 2sin18=4cos218-3 2sin18=4-4sin218-3 4sin218+2sin18-1=0 .本题还可根据二倍角公式推出cos36.即.例 3化简求值:(1)csc10-sec10(2)tan20+cot20-2sec50 解:(1)csc10-sec10 (2)tan20+cot20-2sec50 例 4求:sin220+cos250+sin30sin70 解:sin220+cos250+sin30sin70 例 5已知:.求:cos4+sin4 的值.解:,即，即，cos4+sin4 例 6求 cos36cos72的值.解:cos36cos72 例 7求:的值.解:上述

5、两题求解方法一致，都是连续应用二倍角的正弦公式.而能采用这种方法求值的题目要求也是严格的，要满足（1）余弦相乘，（2）后一个角是前一个角的两倍，（3）最大角的两倍与最小值的和（或差）是.满足这三个条件即可采用这种方法.例 8已知:2cos=1+sin，求.方法一:2cos=1+sin，或，,或=2.方法二:2cos=1+sin，,或,或=2.例 9已知:，求:tan 的值.解:，0,(1)当时,，则有,，.(2)当，则有，.注意:1 与 sin 在一起时，1 往往被看作，而 1 与 cos在一起时，往往应用二倍角余弦公式把 1 去掉.例 10已知:sin,sin,cos 为等差数列;sin,sin,cos 为等比数列.求证:2cos2=cos2.证明:，4sin2=1+2sin2 2-4sin2=2-1-2sin2 2cos2=cos2.课后练习:1若，则（）.A、PQ B、PQ C、P=Q D、PQ=2若 A 为 ABC 的内角，则 cos2A=（）.A、B、C、D、3若，则 sin2=（）.A、B、C、D、4若，则 sin=（）.A、B、C、D、-5若，则=（）.A、B、C、1 D、-1 6若，则 cos=_.7.若 为第二象限角，且，则=已知sinA+cosA=2sinB.求证:cos2B=cos2.参考答案 6.7.6