高等数学第十章曲线积分与曲面积分(考研辅导班内部资料)19178.pdf

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1、第十章 曲线积分与曲面积分 曲线积分 一 基本概念 定义 1 第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）（1）平面曲线()L AB的积分：()()01(,)dlim(,)nkkkL ABTkf x ysfs （2）空间曲线()L AB的积分：()()01(,)dlim(,)nkkkkL ABTkf x y zsfs 其中()T表示分割曲线()L AB的分法T的细度，即n段曲线弧长的最大值，(,)kk 或(,)kkk 是第k段弧上的任意一点。物理意义：第一类曲线积分表示物质曲线L的质量，其中被积函数(,)f x y或(,)f x y z表示曲线的线密度。定义 2 第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）（1）

2、平面曲线()L AB的积分：()()01(,)d(,)dlim(,)(,)nkkkkkkL ABTkP x yxQ x yyfxfy （2）空间曲线()L AB的积分：()(,)d(,)d(,)dL ABP x y zx Q x y zyR x y zz()01lim(,)(,)(,)nkkkkkkkkkkkkTkfxfyfz 其中()T表示分割曲线()L AB的分法T的细度，即n段的最大弧长，(,)kk 是第k段弧上的任意一点。物理意义：第二类曲线积分表示变力F沿曲线L所作的功，被积函数(,),(,)P x y Q x y或(,),(,),(,)P x y z Q x y z R x y z

3、表示力F在各坐标轴上的分量。二 基本结论 定理 1（第一类曲线积分的性质）（1）无向性 ()()(,)d(,)dL ABL BAf x ysf x ys（2）线性性质 (1)(,)d(,)dLLk f x yskf x ys；(2)(,)(,)d(,)d(,)dLLLf x yg x ysf x ysg x ys（3）路径可加性 曲线L分成两段1L和2L（不重叠），则 12(,)d(,)d(,)dLLLf x ysf x ysf x ys（4）弧长公式 dLsL(L表示曲线L的弧长)（5）恒等变换 积函数可用积分曲线方程作变换（6）奇偶性与对称性 如果积分弧段()L AB关于y轴对称，()(,

4、)dL ABf x ys存在，则 ()()0,(,)(,)d2(,)d(,)L ABL OBf x yxf x ysf x ysf x yx关于 是奇函数,，关于 是偶函数.其中O点是曲线弧段()L AB与y轴的交点 定理 2（第二类曲线积分的性质）（1）有向性 ()()(,)d(,)dL ABL BAP x yxP x yx （2）线性性质(1)(,)d(,)dLLkf x yxkf x yx；(2)(,)(,)d(,)d(,)dLLLf x yg x yxf x yxg x yx（3）路径可加性 曲线L分成两段1L和2L（不重叠），则 12(,)d(,)d(,)dLLLf x yxf x

5、yxf x yx 定理3（第一类曲线积分与第二类曲线积分的关系）()()ddddddddddL ABL ABxyzP x Q yR zPQRssss ()(coscoscos)dL ABPQRs ()dL AB Fs 其中cos,cos,cos是曲线AB上的点的切线的方向余弦，且 dcosd,dcosd,dcos dxsyszs 一般地，积分曲线的方向余弦是变量。但是，当积分曲线()L AB是直线时，则()L AB切线的方向余弦是一个常量。所以，当积分曲线是直线时，可能采用两类不同的曲线积分的转换。定理 4（格林公式）设D是由分段光滑的曲线L围成，函数(,),(,)P x y Q x y及其一

6、阶偏导数在D上连续，则有(,)d(,)dd dLDQPP x yxQ x yyx yxx 其中L是围成区域D的正向边界曲线。三 基本方法 1 计算第一类曲线积分（对坐标的曲线积分）方法一：基本方法转化为定积分（1）用参数方程给出的积分曲线：()xt，()yt，atb，则 22()(,)d(),()()()dbL ABaf x ysfttttt（2）用一般方程给出的积分曲线：()yy x，axb，则 2()(,)d(,()1dbL ABaf x ysf x y xyx （3）用极坐标方程给出的积分曲线：()，则 22()(,)d()cos,()sin)()()dL ABf x ysf 例 1 计

7、算22dLIx ys，22:1L xy上半圆周。解（方法 1）曲线的参数方程：cos,sinxy，0，22dddsxy，于是有 222420013!cossind2(coscos)d2()2 24!28I。（方法 2）曲线的一般方程：21yx，11x，221d1dd1syxxx，于是有 11122222221101(1)d1d21d1Ixxxxxxxxxx。令sinx，则 2202sincoscos d8I。例 2 计算dLIy s，22222:()4()Lxyxy的第一象限部分。解 令cos,sinxryr，则积分曲线的极坐标方程为：24cos2,04r（第一象限部分）,2sin22 cos

8、2,cos2rr，222dddcos2srr，sin2sincos2yr。于是有 444000222sincos2d4sin d4cos4 12cos2I 。方法二：基本技巧利用第一类曲线积分性质 例 3 计算2()dLIxys，其中22:4L xy。解 根据曲线积分的线性性质，有 222()d()d2dLLLIxysxysxy s。根据性质（4）和（5），22()d4d44 2216LLxyssL，根据奇偶性和对称性，2d0Lxy s，于是 2()d16LIxys。例 4 计算2(1)dLIxs，222:4L xyz与0 xyz相交的圆周。解 由于积分曲线关于,x y z的具有轮换对称性，则

9、有 dddLLLx sy sz s；222dddLLLxsyszs 于是，利用积分曲线方程化简被积函数，有 1d()d03LLx sxyzs，222211416d()d4d3333LLLxsxyzssL，所以 22(1)dd2d1dLLLLIxsxsx ss1628433。注 1 计算第一类曲线积分，有基本方法和基本技巧，在具体问题中可以兼顾考虑。但是在有些问题中，基本方法是没有办法解决的，这可能有两种情况：一是可以建立积分曲线参数方程，转化为定积分，但没办法计算这个定积分；二是很难建立积分曲线参数方程，如例 4。2 计算第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）方法一：基本方法转化定积分 设()L

10、AB的平面曲线：其参数方程：(),()xtyt，起点和终点对应的参数取值分别是和，则()dd(),()()(),()()dL ABP xQ yPtttQtttt 设()L AB的空间曲线：其参数方程：(),(),()xtytzw t，起点和终点对应的参数分别是和，则()(,)d(,)d(,)dL ABP x y zxQ x y zyR x y zz (),(),()Ptt w t()(),(),()()(),(),()()dtQtt w ttRtt w t w tt 注 2 第二类曲线积分转化为定积分，积分的下限是积分曲线的起点对应的参数取值，上限是积分曲线的终点对应的参数取值，所以有时可能下

11、限大于上限。方法二：基本技巧利用格林公式转化为二重积分（平面曲线）设曲线L是闭合正向逐段光滑曲线，(,)P x y，(,)Q x y以及一阶偏导数在L围成的区域D内连续，则 (,)d(,)dd dLDQPP x yxQ x yyx yxx 方法三：基本技巧利用斯托克斯公式转化为曲面积分（空间曲线）设有向分段光滑闭合曲线L张成分片光滑有向曲面，,P Q R具有一阶连续偏导数，则 d dd dd dcoscoscosddd/dLy zz xx yP xQ yR zxyzxyz SPQRPQR 其中L方向和法线方向满足右手系，cos，cos，cos是曲面的法向量的方向余弦。注 3 当曲面是平面时，方

12、向余弦是常量。于是，当空间曲线L比较复杂时，而曲线L在某个平面上，即张成(围成)的曲面是一个平面，我们常常将第二类空间曲线积分转化为曲面积分。注 4 利用格林公式一定要平面曲线，并且是闭合的。对非闭合曲线积分，如果欲用格林公式，可以补充曲线段。通常情况下，补充的曲线段是平行于坐标轴的线段，这样有利于计算在补充曲线段上的曲线积分。注 5 计算第二类曲线积分，不论积分曲线是平面曲线还是空间曲线，都有两个方法：（1）平面曲线积分：将曲线积分转化为定积分或重积分；（2）空间曲线积分：将曲线积分转化为定积分或曲面积分。例 5 计算22ddLyxxy，其中L为上半椭圆：22221xyab，取顺时针方向 解

13、 曲线L的参数方程：cosxat，sinybt，0t，因为顺时针，于是积分弧段的起点和终点对应的参数分别是t和0t，所以 0222222ddsin(sin)coscos dLyxxybtatat btt 232300sindcosdabt t a bt t 根据三角函数积分公式和性质 332002!4sin2sin23!3tdttdt，30cos0tdt 于是有 22ddLyxxy243ab 例 6 计算322dddxxzyyx y z，其中是从点(0,0,0)A到点(1,1,1)B的线段 解 直线AB的方程为 111xyz 于是，积分曲线的参数方程可表示为：xt，yt，tz，参数t从0到1。

14、于是 132233301ddd()d4xxzyyx y ztttt 例 7 计算(e sin)d(cos e1)dxyLIyyxyy，其中L是从(,0)A a到(0,0)O的 上半圆周。解 (e sin)d(cos e1)dxxLL OAOAIyyxyy 0d d0daDQPx yxxy21d d8Dx ya。例 8 计算()d()d()dLyzxzxyxyz，其中L是222xya与1xzab（,0a b）的交线，曲线是逆时针方向。解 积分曲线参数方程：cos,sinxat yat，(1 cos)zbt，02t，所以 20 cos(1cos)(sin)(1cos)cos(cos)Iatatat

15、btat at (cossin)sin datat btt2()a ab。例 9 计算曲线积分dddz xx yy z，其中为平面1zyx被三个坐标面所截成的三角形的整个边界，其方向与三角形的上侧满足右手法则 解 曲线张成曲面是三角形，利用斯托克斯公式，得 dddd dd dd dz xx yy zy zz xx y 在xOy面上的投影区域xyD：xy10，10 x利用矢量点积法，积分曲面法向量为(1,1,1)，所以 dddd dd dd dz xx yy zy zz xx y 3(1,1,1)(1,1,1)d d3d d2xyxyDDx yx y 题型 平面曲线积分与路径无关的条件 设D是平

16、面单连通有界闭区域，L是D内的逐段光滑曲线，若(,)P x y，(,)Q x y，Py，Qx在D上连续，则下面四个命题等价：（1）曲线积分(,)d(,)dLP x yxQ x yy与路径无关，只与起点和终点有关；（2）在G内存在一个函数(,)u x y，使d(,)(,)d(,)du x yP x yxQ x yy；（3）(,)x yG，xQyP；（4）对G内的任意光滑或逐段光滑闭曲线L，有(,)d(,)d0LP x yxQ x yy 例 10 计算(1,2)2(0,0)(e3)d(e2)dyyIxxxyy，其中L是过(0,0)，(0,1)，(1,2)的圆周。解（方法 1）由于eyPQyx，于是

17、曲线积分和积分路线无关。因此(1,2)2(0,0)(e3)d(e2)dyyIxxxyy122200(1 3)d(e2)de5yxxyy（方法 2）利用凑微分 23232e de d3d2 dd(e)ddd(e)yyyyxxyxxy yxxyxxy 所以32(,)eyu x yxxy，故(1,2)22(0,0)(e3)d(e2)d(1,2)(0,0)e5yyIxxxyyuu 练习 10-1 1计算下列第一类曲线积分：（1）()dLxy s，其中L为连接(1,0)和(0,1)两点的线段；（2）22()dLxys，其中L为(cossin),(sincos)xatttyattt，02t；（3）22ed

18、xyLs，其中L为222xya，直线yx和x轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界；（4）22dLxys，其中L为圆周22xyax；（5）222dyzs，其中是2222xyza与xy的相交的圆周；（6）2(23)dxyzs，其中是2222xyza与0 xyz的相交的圆周；2计算下列对坐标的曲线积分：（1）22()dLxyx，其中L是抛物线2yx上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧；（2）dLxy x，其中L为圆周222()(0)xayaa及x轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界(逆时针方向绕行)；（3）ddLy xx y，其中L为圆周2cosxt，2sinyt上对应t从0到2的一段弧；（5）

19、dd(1)dx yy xxyz，其中从(1,1,1)到点(2,3,4)的一条直线段；3计算2d2LxyIxy，L为曲线sinyx从点(0,0)到点(,0)的弧段 4计算下列曲线积分：（1）3222(2cos)d(1 2 sin3)dLxyyxxyxx yy，其中L为在抛物线22xy上从点(0,0)和,12的一段弧；（2）22(1)lndd12Lyx yxyxy，其中L为1xy围成的正方形的边界，沿顺时针方向 5验证下列(,)d(,)dP x yxQ x yy在整个xOy平面内是某一函数(,)u x y的全微分，并求这样的一个(,)u x y：(1)(2)d(2)dxyxxyy；(2)22d(+

20、1)dxy xxy；(3)2232(132)d(2e)dyx yxyxxx yy；(4)22(2 coscos)d(2 sinsin)dxyyxxyxxyy 6证明下列曲线积分在整个xOy面内与路径无关，并计算积分值：（1）(2,3)(0,1)()d()dxyxxyy；（2）(1,1)(0,0)()d()dxxyy，()x和()y为连续函数 7利用曲线积分，计算下列曲线所围成的图形面积：（1）椭圆：22916144xy；（2）圆：224xyx 8已知曲线积分e2()d()dxLf x y xf xy与路径无关，且(1)1f求(1,1)(0,0)e2()d()dxf x y xf xy 9设曲线

21、积分2d()dLxyxyxy与积分路径无关，其中()x具有连续的导数，且(0)0，计算(1,1)2(0,0)d()dIxyxyxy 曲面积分 一 基本概念 定义 1 第一类曲面积分（对面积的曲线积分）()01(,)dlim(,)nkkkkTkf x y zSfS ；其中()T表示分割曲面的分法T的细度，即n块曲面直径的最大值，(,)kkk 是第k块曲面上的任意一点。物理意义：第一类曲面积分表示物质曲面的质量，其中被积函数(,)f x y z是曲面的面密度。定义 2 第二类曲面积分（对坐标的曲面积分）(,)d d(,)d d(,)d dP x y zy zQ x y zz xR x y zx y

22、 ()01lim(,)()(,)()(,)()nkkkkyzkkkkzxkkkkxyTkPSQSRS ；其中()T表示分割曲面的分法T的细度，(,)kkk 是第k块曲面上的任意一点。()kyzS，()kzxS，()kxyS是kS分别在坐标面yoz，zox，xoy上的投影。物理意义：第二类曲面积分表示单位时间内流速场V流经曲面一侧的流量，其中被积函数(,)P x y z，(,)Q x y z，(,)R x y z是流量场V在个坐标轴方向上的分量。二 基本结论 定理 1（第一类曲面积分性质）（1）线性性质(1)(,)d(,)dkf x y zSkf x y zS；(2)(,)(,)d(,)d(,)

23、df x y zg x y zSf x y zSg x y zS(2)曲面可加性 12(,)d(,)d(,)df x y zSf x y zSf x y zS (3)面积公式 dS （表示曲面的面积）(4)恒等变换 被积函数可以用积分曲面方程作变换(5)奇偶性与对称性 如果光滑或逐片光滑曲面关于xOy坐标面对称，函数(,)f x y z在上连续，则 10(,)(,)d2(,)d,(,)f x y zzf x y zSf x y zSf x y zz，关于 是奇函数关于 是偶函数 其中1是被xOy面分成的半部分 定理 2（第二类曲面积分性质）(1)有向性 设是与有相反侧的同一光滑曲面，(,)d

24、d(,)d df x y zx yf x y zx y (2)线性性质 (1)(,)d d(,)d dkf x y zx ykf x y zx y；(2)(,)(,)d d(,)d d(,)d df x y zg x y zx yf x y zx yg x y zx y(3)曲面可加性 12(,)d d(,)d d(,)d df x y zx yf x y zx yf x y zx y 定理 3（两类曲面积分关系）d dd dd dd dd dd dddddy zz xx yP y zQ z xR x yPQRssss coscoscos dPQRs ,d d,d d,d dP Q Ry zz

25、 xx y d Fs 其中cos,cos,cos表示处法线的方向余弦。且 d dcosd,d dcosd,d dcos dy zsz xsx ys。定理 4（高斯公式）d dd dd dd d dPQRP y zQ z xR x yx y zxyz 表示的外测。三 基本方法 3 计算第一类曲面积分（对面积的曲面积分）方法一：基本方法转化为二重积分（1）曲面方程：(,)zz x y，(,)x yD有界闭区域，则 22(,)d(,(,)1d dxyDf x y zsf x y z x yzzx y 其中D是积分曲面在xoy面的投影。类似的，曲面方程：(,)xx y z或(,)yy z x时，得到相

26、应公式。（2）曲面参数方程：(,),(,),(,)xx u vyy u v zz u v，(,)u vD有界闭区域 222uuuExyz，uvuvuvFx xy yz z ，222vvvGxyz，则 2(,)d(,),(,),(,)d dDf x y zsf x u vy u v z u vEGFu v 方法二：基本技巧利用第一类曲面积分性质 例 1 计算曲面积分dSz，其中是球面2222azyx被平面hz)0(ah 截出的顶部。解 积分曲面的方程：222yxaz，于是在xOy坐标面上的投影区域 xyD：2222hayx 又由于 222221(,)(,)xyazx yzx yaxy，于是有 2

27、22dd dxyDSax yzaxy2222200ddaharrar(极坐标变换)2222012ln()2ln2ahaaarah 例 2 计算曲面积分(2)dxyzS，其中是平面1zyx在第一卦限部分 解(方法 1)曲面的方程：yxz1，则 22221(,)(,)1(1)(1)3xyzx yzx y 根据公式(1)，有 (2)d(1)3d dxyDxyzSxx y，其中10,10|),(xxyyxDxy所以 1100(2)d3d(1)dxxyzSxxy102 33(1)(1)d3xxx.用曲面积分的性质解此题：(方法 2)由于积分曲面关于,x y z具有轮换对称性，所以有 dddx Sy Sz

28、 S 于是 1dddd3x Sx Sy Sz S 111()dd333xyzSS 是积分曲面块的面积，即等腰三角形的面积：1322sin3022 所以 2 3(2)d2 ddd4d3xyzSx Sy Sz Sx S 例 3 计算曲面积分2()dyzS，其中：2222xyzR 解 由于 2(1)dyS2222(2)dd2dz dyyzzSySyz SS 根据曲面积分的对称性和奇偶性，有d0yz S又由于积分曲面关于,x y z具有轮换对称性，于是 222dddxSySzS 所以 222()dddyzSxSzS2222()d3xyzS2428d33RSR。例 4 计算曲面积分()dxyzS，其中：

29、222zaxy 解 根据积分线性性质，有()dxyzS=dddx Sy Sz S 根据第一类曲面积分的对称性和奇偶性，有 dd0 x Sy S 于是()ddxyzSz S 2223222d dd dDDaaxyx ya x yaaxy 4 计算第二类曲面积分（对坐标的曲面积分）方法一：基本方法转化为二重积分（1）投影法：将第二类曲面积分化为二重积分 d dd dd dP y zQ z xR x y(,),)d d(.(,),)d d(,(,)d dyzzxxyDDDP x y zy zy zQ x y x zzz xR x y z x yx y 其中号取决于的侧方向与坐标轴方向是相同还是相反，

30、若相同，则取正；若相反，则取负。xyD，yzD，zxD分别是曲面在坐标面xoy，yoz，zox上的投影。（2）矢量点积法：积分曲面:(,)zf x y，(,)x yD（在xoy上的投影）d dd dd d,1 d dxyDP y zQ z xR x yP Q Rffx y 其中：号取决于的侧面与z轴方向是相同还是相反，若相同，则取正，若相反，则取负。方法二：基本技巧利用高斯高斯转化为三重积分（3）高斯公式 d dd dd dd d dPQRP y zQ z xR x yx y zxyz 其中表示的外侧。例 5 计算曲面积分d dxyz x y，其中是球面1222zyx的0 x，0y部分的外侧

31、解（投影法）将分成1与2，1：221yxz，下侧；2：221yxz，上侧，1与2在xOy面上投影区域xyD：122 yx的第一象限部分，因此 12d dd dd dxyz x yxyz x yxyz x y 2222(1)d d(1)d dxyxyDDxyxyx yxyxyx y 222(1)d dxyDxyxyx y(极坐标变换，sin,cosxryr)1322002sincosd1drrr 13201drrr(三角变换，sinr)32352200sincosd(sinsin)d 2!4!23!5!15 注 1 计算d dxyz x y，只能往xOy投影，将积分曲面表示为：(,)zf x y

32、，被积函数的z用(,)f x y去替换。例 6 计算d dd dd dIx y zy z xz x y，其中是22zxy在第一挂限和01z部分的上侧。解（矢量点积法）积分曲面的法向量,12,2,1xyzzxy n，在xOy面的投影：22:1xyDxy，从而有 d dd dd dIx y zy z xz x y22,2,2,1 d dxyDx y xyxyx y 1222200()d ddd8xyDxyx yrr r 。注 2 若曲面积分中含有两种或两种以上坐标面，常常用矢量点积法，当然也可以用投影法，但是需要做多次投影，这样会很麻烦，工作量也很大。例 7 计算曲面积分323232()d d(2

33、)d d(3)d dIxzy zyxz xzyx y，其中是上半球面221zxy的上侧。解 补充曲面片1:0z，下侧，使其变成闭曲面积分，于是有 11323232()d d(2)d d(3)d dIxzy zyxz xzyx y 12223()d d dxyzx y z （利用高斯公式）由于 2223()d d dxyzx y z212220003ddsin drrr65。1323232()d d(2)d d(3)d dxzy zyxz xzyx y 223d d3d dxyxyDDyx yyx y 21220033dcosd4rr r ，所以 63395420I。注 2 应用高斯公式计算闭曲

34、面积分，是计算闭曲面积分的基本技巧，但是如果不是闭曲面，我们常常通过补充曲面片，变成闭曲面，再应用高斯公式，但是补充的曲面片一般是平行于坐标面的平面，因为这样有利于计算函数在补充曲面片上的曲面积分。例 8 设()f u具有连续的导数，计算 33311d dd dd dyyIxy zfyz xfzx yzzyz 其中是22zxy与球面2221xyz与2224xyz所围成的立体表面的外侧。解 本题是闭合曲面的第二类曲面积分，满足高斯公式条件，又由于23Pxx，2213Qyfyyzz，2213Ryfzzzz，根据高斯公式 33311d dd dd dyyIxy zfyz xfzx yzzyz 222

35、3()d d dxyzx y z（利用球面坐标变化）222240013ddsin drrr93(22)5。练习 10-2 1计算下列对面积的曲面积分：（1）22()dxyS，其中是由锥面22zxy及平面1z 围成的区域的整个边界曲面；（2）(23)dxyzS，其中是球面2222xyza上0z 的部分；（3）2dxS，其中是球面2221xyz；（4）2(1)dxyS，其中是2222xyza球面 2计算下列第二类曲面积分：（1）d dd dd dz x yx y zy z x，其中是柱面221xy被平面0z 和3z 所截得的在第一卦限内的部分的前侧；（2）(,)d d2(,)d d(,)d df

36、x y zx y zf x y zyz xf x y zzx y，其中函数(,)f x y z连续，是平面1xyz在第四卦限内的部分的上侧；（3）d dd dd dxz x yxy y zyz z x，其中是平面1xyz，0 x，0y，0z 所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧；（4）333d dd dd dyxy zxyz xzx y，其中是抛物面22zxy在0z 和1z 之间部分的外侧 3 计算曲面积分22d d()d dd dyz y zxzy z xxy x y，其中为曲面224yxz在xOz平面的右侧部分的外侧 4计算曲面积分323232()d d()d d()d dxazy zya

37、xz xzayx y，其中为上半球面222zaxy的上侧 5 计算曲面积分(1)d dd dzx yy z x，其中为圆柱面224xy被平面2xz和0z 截得的部分的外侧 6计算曲面积分 d dd dd dx y zy z xz x y，其中为上半球面222zaxy的外侧 7利用高斯公式计算曲面积分（1）d dd dd dx y zy z xz x y，其中为球面2222xyzR的外侧；（2）22d dd dd dxz y zyz z xzx y，其中为曲面22zxy与222zxy所围成的立体表面的外侧 8设为单位上半球面221zxy的外侧，计算 d dd dd dIy zx zx y 9利用

38、斯托克斯公式计算 dddLIy xz yx z，其中L是2222xyza与0 xyz的交线，从x轴正向看逆时针方向 第十章答案与提示 练习 10-1 答案与提示 1（1）2；（2）2322(12)a；（3）e224aa提示：将曲线积分表示为在三段曲线积分的和；（4）22a提示：令cos22aaxt，sin2ayt，则 22220dsind22 2Lt axysata；（5）22 a提示：积分曲线是2222xyza与xy的交线，也是2222yza 与xy的交线；于是2222dd2yzsa sa（6）323a提示：由于积分曲线关于,x y z是轮换的，于是有 222dddxsyszs 和 dddx

39、 sy sz s 所以有 222223112d()dd333xsxyzsasa；11d()d0d033x sxyzss 2（1）5615；（2）32a；（3）0；（5）13；324 4（1）24提示：验证与路径无关或补充线段利用格林公式；（2）2提示：利用格林公式 5（1）2211222xxyy；（2）2x yy；（3）322yxx yx ye；（4）22sincosyxxy 6（1）4；（2）1100()d()dxxyy 7（1）12；（2）4 81提示：由积分和路径无关，则有(1,1)(0,0)e2()d()dxf x y xf xy(1,0)(0,0)e2()d()dxf x y xf

40、xy(1,1)(1,0)e2()d()dxf x y xf xy 1100e2()0d(1)dxf xxfy1 912 由积分2d()dLxyxyxy和路径无关，则()2yxxy，所以2()xxC，根据条件(0)0，得到2()xx 练习 10-2 答案与提示 1.（1）1(21)2；（2）33 a提示：由奇偶性和对称性dd0 x Sy S；（3）43提示：利用积分曲面关于,x y z的轮换对称性，有 222dddxSySzS；（4）2214(1)3aa提示：由于22(1)ddddxySxSy SS，而且2222221d()dd333aaxSxyzSS，d0y S，dS 2（1）32；（2）12；（3）18；（4）3 3323 452920a 58 632 a。7（1）34 R；（2）2 8 923 a