2021届八省联盟·湖北新高考适应性测试卷(一)数学试题及答案解析3656.pdf

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1、 八省联盟湖北新高考适应性测试卷（一）高三数学 考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分 150 分，考试时间 120 分钟.2.答题前，考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：高考范围.一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.

2、已知312aiibi（,a bR，i 为虚数单位），则复数abi（）A.15 B.4 C.17 D.5 2.已知集合254|0Ax xx，|21,Bx xkkZ，则AB（）A.2,4 B.1,3 C.2,3 D.1,2,3,4 3.现把 5 名扶贫干部分到 3 个村庄，每个村庄至少分一人，其中甲、乙二人必需分在一起，则不同的分配方案共有（）A.24 种 B.30 种 C.36 种 D.48 种 4.已知平面上三个不同的点 M，F，P，若2MF MPMP，则（）A.PMPF B.PMMF C.0PM PF D.0PM PF 5.如果 3 个正整数按照自身顺序或者经过调整顺序可以组成一个等比数列，

3、则称这 3 个数为一组“等比数”（如：1,2,4与4,2,1视为一组“等比数”）.从 1，2，3，4，5，6，7，8，9 中任取 3 个不同的数，则这3 个数构成一组“等比数”的概率为（）A.142 B.128 C.121 D.584 6.直线:10l mxym 被圆22:4240C xyxy所截得的弦的长度的最小值为（）A.4 B.5 C.6 D.3 7.将函数sin0,02yx的图象向左平移6个单位，再向上平移 1 个单位，所得图象的函数解析式是22cosyx，若sinyx图象与ya图象在0,x上有两个不同交点1,x a，2,x a，则12xx的值为（）A.3或 B.43或 C.3或43或

4、 D.3或43 8.“ab”是“31311loglog33abab”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分.9.下列说法正确的是（）A.函数 2lg1f xxax（）一定有最小值 B.函数tan 43yx的最小正周期为2 C.已知函数 221f xxx，则函数 fx的单调递增区间是,1 和0,1 D.在同一坐标系中函数2xy 与2xy的图象关于 y 轴对称 10.下列结论正确的有（）A

5、.若随机变量21,N，40.77P，则20.23P B.若随机变量110,3XB，则3119DX C.已知回归直线方程为10.8ybx，且4x，50y，则9.8b D.已知一组数据丢失了其中一个，剩下的六个数据分别是 3，3，5，3，6，11.若这组数据的平均数、中位数、众数依次成等差数列，则丢失数据的所有可能值的和为 22 11.设0ab，1ab，则下列结论正确的是（）A.102ba B.22aab C.ab最大值为14 D.22112ab 12.已知曲线:1C x xy y，则下列结论正确的是（）A.曲线 C 的渐近线为yx B.曲线 C 与 x 轴的交点为1,0，1,0 C.11,A x

6、 y，22,B xy是曲线 C 上任意两点，若12xx，则12yy D.若,P s t是曲线 C 上任意一点，则2st 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.在三棱锥PABC中，PA平面ABC，ACBC，若2PA，2AC，6BC，则三棱锥PABC外接球的表面积为_.14.二项式52xy的展开式中，所有项均可写成,abkx yka bRN的形式，则当ab取最大值时，abx y的项的系数 k 的值为_.（用数字作答）15.在我国东南沿海地区，几乎每年夏秋两季都会或多或少的受到台风的侵袭.所谓的台风，是指一种热带气旋，在气象学上，按世界气象组织定义指气旋中心持续风力在 1

7、2 级到 13 级（风速在 32.7m/s至 41.4m/s）的热带气旋称为台风.因为台风风力大，并且还会带来暴雨，往往会给经过地区带来较大损失.在某海滨城市A 附近海面有一台风正以 20km/h的速度向西北方向移动，据监测台风中心 B 在该城市正东 40km处，台风半径为 30km，台风侵袭的范围为距台风中心 30km圆形区域，则城市A 受该台风侵袭的持续时间为_小时.16.孙子算经是我国南北朝时期（公元 5 世纪）的数学著作.在孙子算经中有“物不知数”问题，原文如下：有物不知数，三三数之剩二，五五数之剩三，问物几何？即一个整数除以三余二，除以五余三，求这个整数.设这个整数为 a，当1,50

8、0a时，则符合条件的所有 a 的和为_.四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分 10 分）在ABC中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且2coscosbcAaC.（1）求角 A 的大小；（2）若2 6a，4c，求ABC的面积.18.（本小题满分 12 分）在点,nn S在函数12xyp pR的图象上；2112nnnnaaaa；12nnaSt tR这三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答.在数列 na中，nS为其前 n 项和，12a，_，其中nN.（1）求 na的通项公式；（2）令111nnnnabaa下，求数列 n

9、b的前 n 项和nT.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.19.（本小题满分 12 分）产品质量是企业的生命线，为提高产品质量，企业非常重视产品生产线的质量，某企业引进了生产同一种产品的 A，B 两条生产线，为比较两条生产线的质量，从 A，B 生产线生产的产品中各自随机抽取了 100 件产品进行检测，把产品等级结果和频数制成了如右的统计图.（1）有多大的把握认为一级品与生产线有关？（2）生产一件一级品可盈利 100 元，生产一件二级品可盈利 50 元，生产一件三级品则亏损 20 元，以频率估计概率.分别估计 A，B 生产线生产一件产品的平均利润；你认为哪条生产线的利润较为稳定？并说

10、明理由.附：22n adbcKabcdacbd，nabcd.临界值表：2P Kk 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 20.（本小题满分 12 分）如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是平行四边形，SA 平面ABCD，22BCAB，60ABC，2SEED，F 为SC的中点.（1）求证：BF平面ACE；（2）当SA长为何值时，二面角SACE的大小为 45.21.（本小题满分 12 分）已知点 E 到直线:2l y 的距离与点 E 到点0,1F的距离之差为 1.设点 E 的轨迹为曲线

11、C.（1）求曲线 C 的方程；（2）若00,P xy为直线 l 上任意一点，过点 P 作曲线 C 的两条切线PM，PN，切点分别为 M，N，求点 F 到直线MN的最大距离.22.（本小题满分 12 分）已知函数 1ln2f xx xax.（1）若0a，讨论函数 f x的单调性；（2）求函数 f x的极值点.八省联盟湖北新高考适应性测试卷（一）高三数学 参考答案、提示及评分细则 1.C 312aiibi，即332aaibi，根据复数相等的充要条件，得3ab且32a，解得1a，4b，所以221 1617abiab.故选 C.2.B 易知14|Axx，又 B 为全体奇数集，所以 1,3AB.故选 B

12、.3.C 把甲、乙二人当作一人看待，相当于把 4 人分到三个村庄，分组方法数为24C，分配方法数为33A，根据分步乘法计数原理，共有234336C A 种分配方案.故选 C.4.A 因 为MFMPPF，所 以22MF MPMPPFMPMPPF MPMP，所 以 0PF MP，所以PMPF.故选 A.5.C 从 9 个数中任取 3 个不同的数，有3984C 种情况；其中，构成一组等比数的有1,2,4，1,3,9，2,4,8，4,6,9共 4 种情况，故这 3 个数构成一组等比数的概率418421P.故选 C.6.A l 的方程可化为110m xy，所以 l 过定点 1,1A，圆 C 的方程化为标

13、准方程为22219xy，显然点 1,1在圆内，当 l 与AC垂直时被圆 C 截得的弦的长度最小.因为22121 15AC，所以弦的长度的最小值为 22 954.故选 A.7.D 反向思考：22coscos21sin 212yxxx，将其图象向右平移6个单位，再向下平移 1个单位，所得图象的函数解析式是sin 21 1sin 2626yxx ，又0，02，所以2，6.根据图象可知，两交点关于6x或23x对称，123xx或1243xx.故选 D.8.B 由31311loglog33abab，得3311loglog33abab，所 以3311loglog33abab，令 31log3xf xx，则

14、f af b，因为函数 f x为0,上的单调递增函数，所以0ab；反之则不然.故选 B.9.CD 对于 A，当0a 时，2lg1f xx，此时210,x ，2lg1f xx值域为R，故A 错误；对于 B，该函数最小正周期为4，故 B 错误；对于 C，22221,0|2|121,0 xxxfxxxxxx ，所以由二次函数的图象可知，函数 fx的单调递增区间是,1 和0,1，故 C 正确；对于 D，在同一坐标系中，函数2xy 与2xy的图象关于 y 轴对称，命题正确.故选 CD.10.AC 对于 A，241 0.770.23PP ，故 A 正确；对于 B，122010339D X，所以220313

15、209DX，故 B 不正确；对于 C，回归直线方程经过点,x y，将4x，50y 代入求得9.8b，故 C 正确；对于 D，设丢失的数据为 x，则这组数据的平均数为317x，众数为 3，当3x 时，中位数为 3，此时36731x，解得10 x ；当35x时，中位数为 x，此时23137xx，解得4x；当5x 时，中位数为 5，此时113073x，解得18x.所以所有可能 x 的值和为104 1812，故 D 不正确.故选 AC.11.BD 由0ab，1ab，则1012ab.对 A，由于102a ，112b，所以01ba，所以 A 错误；对 B，2211222bbaabab，所以 B 正确；对

16、C，2124abab（当且仅当ab时取“=”），由于ab，所以“=”不可取，所以 C 错误；对 D，因为222122abab，又2aa，2221bbabab，所以 D 正确.故选 BD.12.ACD 由1x xy y，知 曲 线 C 由2210,0 xyxy，2210,0 xyxy，2210,0yxxy三部分组成（两边为双曲线的一部分，中间为圆的一部分，如图所示），两边部分为双曲线，其渐近线为yx，故 A 正确；曲线 C 与 x 轴的交点为1,0，故B 错误；由图可知 C 正确；由图可知点 P 到yx的距离1d，所以12st，所以2st，故 D 正确.故选ACD.13.12 设球的半径为 R，

17、由题意知222212RPAACBC，所以球的表面积为12.14.40 或 80 由题意知，5ab，且,a bN，则0a，5b 或1a，4b 或2a，3b 或3a，2b 或4a，1b 或5a，0b.只有当2a，3b 或3a，2b 时，ab取得最大值，故此时含23x y的项的系数是335280C 或含32x y的项的系数是225240C.15.1 设台风中心 B 的东北方向上存在点 P 到城市 A 的距离为 30km，在ABP中，设PBx，则2222cos45PAPBABPB AB，即22230402 40 cos45xx，化简得240 27000 xx，其两根1x，2x满足1240 2xx，12

18、700 x x，所以2121212420 xxxxx x，即20kmCD，所以时间120CDt（小时），即城市 A 受台风侵袭的持续时间为 1 小时.16.8184 由题设3253amn，,*m nN，则351mn.当5mk，n 不存在；当51mk，n 不存在；当52mk，31nk，满足题意；当53mk，n 不存在；当54mk，n 不存在；故1581,500ak，所以74921515k，kZ，所以0,1,2,32k，共 33 个数.且这些数组成以8 为首项，15 为公差的等差数列，所以这 33 个数的和为33 3233 81581842.17.解：（1）由题意可得2sinsincossinco

19、sBCAAC，2sincossincossincossinsinBAACCAACB.sin0B，1cos2A，0,A，3A.（2）由正弦定理得34sin22sin22 6cACa，又20,3C，所以4C，所以62sinsin()sinsincoscossin3434344BAC，所以1162sin2 6462 3224ABCSacB.18.解：（1）选择：由题意知，12nnSp，当2n 时，12nnnnaSS.因为12a，所以1n 时也满足上式，所以2nnanN.选择：由2112nnnnaaaa，得221120nnnnaa aa，所以1120nnnnaaaa，因为0na，所以10nnaa，所以

20、12nnaa，又12a，所以 na成以 2 为首项，2 为公比的等比数列，所以2nnanN.选择：12nnaSt tR，当2n 时，1112nnaSt，与12nnaSt tR相减得112nnnaaa，所以122nnaan 因为12a，所以 na成以 2 为首项，2 为公比的等比数列，所以*2nnanN.（2）由（1）知*2nnanN，所以1121121212121nnnnnnb，所以223341111111112 121212121212121nnnT 223341111111112 121212121212121nn 111321n.19.解：（1）根据已知数据可建立列联表如下：一级品 非一

21、级品 合计 A 生产线 20 80 100 B 生产线 35 65 100 合计 55 145 200 22220020 6535 805.6435.02455 145 100 100n adbcKabcdacbd，所以有 97.5%的把握认为一级品与生产线有关.（2）A 生产线生产一件产品为一、二、三级品的概率分别为15，35，15.记 A 生产线生产一件产品的利润为 X，则 X 的取值为 100，50，20，其分布列为 X 100 50 20 P 15 35 15 B 生产线生产一件产品为一、二、三级品的概率分别为720，25，14.记 B 生产线生产一件产品的利润为 Y，则 Y 的取值为

22、 100，50，20，其分布列为 X 100 50 20 P 720 25 14 131100502046555E X ；7211005020502054E Y .故 A，B 生产线生产一件产品的平均利润分别为 46 元、50 元.22213110046504620461464555D X ；222721100505050205021002054D Y .因为 D XD Y，所以 A 生产线的利润更为稳定.20.（1）证明：取SE的中点 G，连接FG.连接BD交AC于点 N，连接FD交CE于点 M，连接MN.因为 F 为SC的中点，G 是SE的中点，所以FGCE.又2ESED，所以 E 为GD

23、的中点，所以 M 为FD的中点，易得 N 为BD的中点，所以BFMN.因为MN 平面AEC，BF 平面AEC，所以BF平面ACE.（2）解：因为22BCAB，60ABC，由余弦定理得 22212cos604 1 2 2 132ACBCABBC AB ，所以3AB.所以ABAC.分别以AB，AC，AS所在直线为 x，y，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设0SAt t，则0,0,0A，0,0,St，0,3,0C，1,3,0D，所以0,3,0AC，112 2 31,3,01,3,33333tAEADDEADDSt .设平面ACE的法向量为,mx y z，则00m ACm AE，即3022 30

24、333ytxyz，令2z 得xt，所以,0,2mt.因为平面SAC的法向量为1,0,0n 所以2cos,|4m ntm nm nt 由于二面角SACE大小为 45，所以2|cos,|2m n，即22142tt，解得2t 或2t （舍）.故当2SA 时，二面角SACE的大小为 45.21.解：（1）依题意，点 E 到直线:1ly 的距离等于点 E 到点0,1F的距离，则点 E 的轨迹是以 F 为焦点以直线l为准线的抛物线.设其方程为220 xpy p.由题意，12p，解得2p.所以曲线 C 的方程是24xy（2）设切点分别为11,M x y，22,N xy.设 过 曲 线C上 点11,M x y

25、的 切 线 方 程 为11yyk xx，代 入24xy，整 理 得211440 xkxkxy，21144 40kkxy -，又因为2114xy，所以12xk.从而过曲线 C 上点11,M x y的切线方程为1112xyyxx，即21124xxyx 又切线过点00,P xy，所以得2110024xxyx，即10012xyxy.同理可得过点22,N xy的切线为22224xxyx，又切线过点00,P xy，所以得2220024xxyx，即20022xyxy.即点11,M x y，22,N xy均满足002xyxy，即002x xyy.故直线MN的方程为002x xyy.又00,P xy为直线:2l

26、 y 上任意一点，故022x xy对任意0 x成立，所以令0 x，得2y.从而直线MN恒过定点0,2.又曲线 C 的焦点 F 的坐标为0,1，所以点 F 到直线MN的最大距离为 1.22.解：（1）函数 f x的定义域为0,.若0a，则 21ln2f xxx，21211222xxfxxxx.令 0fx，得12x；令 0fx，得102x，故函数 f x在区间10,2上单调递减，在1,2上单调递增.（2）由于 1|ln2f xx xax，0,x.（i）当0a 时，21ln2f xxaxx，21421222xaxfxxaxx，令 0fx，得21404aax，22404aax（舍去），所以当10,xx

27、时，0fx；当1,xx时，0fx，所以 f x在10,x上单调递减，在1,x 上单调递增，所以 f x的极小值点为244aa.（ii）当0a 时，221ln,021ln,2xaxxxafxxaxx xa 当0 xa 时，21421222xaxfxxaxx.令 0fx，得24210 xax，记2416a，若0，即20a 时，0fx，所以 f x在0,a上单调递减；f x在0,a上无极值点；若0，即2a 时，则由 0fx得2344aax，2444aax.因为224aaa，所以340 xxa，所以当30,xx时，0fx；当34,xx x时，0fx；当4,xxa时，0fx，所以 f x在30,x上单调

28、递减，在34,x x上单调递增；在4,xa上单调递减.所以 f x在0,a上的极小值点为244aa，极大值点为244aa.当xa时，24212xaxfxx，令 0fx，得2144aax，2244aaxa（舍去）.若244aaa ，即22a -，则当,xa 时，0fx，所以 f x在,a上单调递增；f x在,a上无极值点；若244aaa ，即202a，则当1,xa x 时，0fx；当1,xx时，0fx，所以 f x在1,a x上单调递减，在1,x 上单调递增.所以 f x在,a上有极小值点244aa.综上所述，当2a 时，f x的极小值点为244aax和xa，极大值点为244aax；当222a 时，f x的极小值点为xa；当22a 时，f x的极小值点为244aax.