专题06数列、不等式-高三数学百所名校好题分项解析汇编之长郡中学专版(2020版)3403.pdf

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1、 高三数学百所名校好题分项解析汇编之长郡中学专版(2020 版)专题 06 数列、不等式 一、选择题 1【湖南省长沙市长郡中学 2019 届高三上学期第三次调研考试数学（理科)试卷】已知等比数列 na满足34a，且639SS，则62024135192222aaaaaaaa()A20213 B21213 C20223 D21223【答案】D【解析】因为639SS，所以31261239192aaaqqaaa，因为34a，所以211=4=1a qa，因此62024135192222aaaaaaaa 62024135192222aaaaaaaa 1010211421422142143，选 D.2【20

2、20 届湖南省长沙市长郡中学高三月考（六)数学（文)试题】设等差数列 na的前n项和为nS，且0na，若533aa，则95SS（）A95 B59 C53 D275【答案】D【解析】由题意得1()2nnn aaS，所以19953533159()99 32725555()2aaSaaSaaaa.故选：D 3【2020 届湖南省长沙市长郡中学高三第五次月考数学(文)试题】（2017 新课标全国 I 理科）记nS为等差数列na的前n项和若4524aa，648S，则na的公差为 A1 B2 C4 D8【答案】C【解析】设公差为d，45111342724aaadadad，6116 56615482Sada

3、d，联立112724,61548adad解得4d，故选 C.点睛:求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如na为等差数列，若mnpq，则mnpqaaaa.4【2020 届湖南省长郡中学高三下学期第二次适应性考试数学(理)试题】在等差数列 na中，12015a ，其前n项和为nS，若101221210SS，则2018S()A2018 B2018 C4036 D4036【答案】C【解析】设等差数列 na的前n项和为2+nSAnBn，则+nSAn Bn，所以nSn是等差数列因为101221210SS，所以nSn的公差为1，又11201511Sa，所以nSn是以2015为首项，1为公差的

4、等差数列，所以201820152017 122018S ，所以20184036S.故选 C.5【2020 届湖南省长沙市长郡中学高三月考（六)数学（理)试题】我国古代数学典籍九章算术第七章“盈不足”章中有一道“两鼠穿墙”问题：有厚墙 5 尺，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半，问两鼠在第几天相遇？（）A第 2 天 B第 3 天 C第 4 天 D第 5 天【答案】B【解析】第一天共挖1 12，前二天共挖220.54.5，故前3天挖通，故两鼠相遇在第3天.故选：B.6【2020 届湖南省长郡中学高三下学期第二次适应性考试数学(文

5、)试题】已知数列 1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，其中第一项是02，接下来的两项是02，12，再接下来的三项是02，12，22，依此类推，若该数列前n项和N满足：80N N是 2 的整数次幂，则满足条件的最小的n为 A21 B91 C95 D10【答案】C【解析】根据题意构造数列 mb()mN，使得：012b，0122+2b，01232+2+2b，.，01212+2+2.2mmb，故1121b，2221b，3321b，.，21mmb，所以数列 mb的前m项和12312312(1 2)(21)(21)(21).(21)(222.2)221 2mmmmmTmmm令数列

6、 1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，为 na，根据题意可得：(1)12.2m mnmkk，(0,)km kN，则数列 na的前n项和0111=(22.2)2221kmkmN Tm(0,)km kN，所以要使数列 na前n项和N满足：80N，则1222180mkm，则6m，故(1)212m mnk，故 D 答案不对。由于N是 2 的整数次幂，则221=0km，则236km，则3k，当4k 时，则4221=0m，解得：13m，(1)13 14=+4=9522m mnk，故满足条件的最小的n为 95，故答案选 C 7【2020 届湖南省长沙市长郡中学高三上学期月考（四)数

7、学（文)试题】在等比数列 na中，24681,4aaaa，则2a()A2 B4 C12 D13【答案】D【解析】因为42468241,4aaaaaaq，解得22q.因为224211aaaq，所以213a.选 D.8【2020 届湖南省长沙市长郡中学高三上学期月考（四)数学（文)试题】一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一周岁生日开始，每年到银行储蓄a元一年定期，若年利率为r保持不变，且每年到期时存款（含利息）自动转为新的一年定期，当孩子 18 岁生日时不再存入，将所有存款（含利息）全部取回，则取回的钱的总数为()A17(1)ar B17(1)(1)arrr C18(1)ar

8、 D18(1)(1)arrr【答案】D【解析】根据题意，当孩子 18 岁生日时，孩子在一周岁生日时存入的a元产生的本利合计为17(1)ar，同理：孩子在 2 周岁生日时存入的a元产生的本利合计为16(1)ar，孩子在 3 周岁生日时存入的a元产生的本利合计为15(1)ar，孩子在 17 周岁生日时存入的a元产生的本利合计为(1)ar，可以看成是以(1)ar为首项，(1)r为公比的等比数列的前 17 项的和，此时将存款（含利息）全部取回，则取回的钱的总数：17171618(1)(1)1(1)(1)(1)(1)(1)11arraSarararrrrr；故选：D 9.【2020 届湖南省长沙市长郡中

9、学高三月考（三)数学理科试题】已知实数x,y满足约束条件330220210 xyxyxy,则22zxy的取值范围是()A1,13 B 1,4 C4,135 D4,45【答案】C【解析】根据约束条件画出可行域:如图:不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,可得:22zxy的最小值为点O到直线:220BCxy的距离的平方为minz,根据点到直线的距离公式可得:2min2224521z 可得:最大值为点O与点2,3A 的距离的平方为maxz.根据两点间距离公式可得:2max13zOA.故选:C.10【2020 届湖南省长沙市长郡中学高三月考（三)数学理科试题】等差数列 na中,nS为其前n项和,已

10、知20202020S,且2020202000202020SS,则1a等于()A2021 B2020 C2019 D2018 【答案】D【解析】等差数列 na中,nS为其前 n 项和 又2020202000202020SS 根据等差数列的前n项12nnn aaS 12020120202020222000202020aaaa,即2020204000aa,即20004000d,解得2d,又20202020S,即12020202020202aa,解得12018a ,故选：D.11【2020 届湖南省长沙市长郡中学高三上学期月考（四)数学（文)试题】对于数列na，定义1122.2nnnaaaHn为na的

11、“优值”，现已知某数列的“优值”2nnH，记数列na的前n项和为nS，则20192019S（）A2022 B1011 C2020 D1010【答案】B【解析】由1122.22nnnnaaaHn，得1122.22nnnaaan，211212.2(1)2nnnaaan，-得11122(1)2(1)2nnnnnannn，即1nan，(3)2nn nS，所以201910112019S.故选 B.12【2020 届湖南省长沙市长郡中学高三第五次月考数学(理)试题】若数列 na满足1123252325 lg 1nnnanannn，且15a，则数列23nan的第 100 项为（）A2 B3 C1lg99 D

12、2lg99【答案】B【解析】由1123252325 lg 1nnnanannn可得：，记，有，由累加法得：，数列23nan的第100项为，故选 B.13.【湖南省长沙市长郡中学 2019 届高三上学期第三次调研考试数学（文科)试卷】已知 xR，yR，且 x，y 满足，若的最大值为 a，最小值为 b，则的值为 A1 B3 C5 D8【答案】C【解析】由约束条件作出可行域如图，化目标函数为 y=x+，由图可知，当直线 y=x+过（-2，0）时，直线在 y 轴上的截距最小，z 有最小值为 2；当直线 y=x+过（1，3）时，直线在 y 轴上的截距最大，z 有最大值为 7 a=7，b=2，则 a+b=

13、5 故选：C 14【全国百强校】湖南省长沙市长郡中学 2019 届高三上学期第五次调研考试数学（理科)试题 已知数列的前 n 项和为 Sn，且 Snn24n，若首项为 的数列满足，则数列的前10 项和为 A B C D【答案】A【解析】由，可得，根据，结合题的条件，应用累加法可求得，所以，所以数列的前 项和为，所以，故选 A.15【湖南省长沙市长郡中学 2019 届高三上学期第五次调研考试数学（文科)试题）】数列na满足点(na，)(1)nSn在直线32yx上，则前 5 项和为（）A21132 B21116 C21164 D21132【答案】B【解析】数列na满足点(na，)(1)nSn在直线

14、32yx上，则32nnSa，当1n 时，1132Sa，得11a，当2n时，113232nnnnSSaa，即133nnnaaa，得123nnaa，即132nnaa，则数列na是公比32q 的等比数列，则前 5 项和为531 1()211231612，故选B 16【湖南省长沙市长郡中学 2019 届高三下学期第一次适应性考试(一模)数学（理)试题】已知命题:p数列 na的通项公式为2naanbnc(,a b c为实数，*)nN，且201720182019,0kkkaaak恒为等差数列；命题:q数列 nb的通项公式为1nnbaq*1,qnN时，数列 nb为递增数列.若pq为真，则实数a的取值范围为（

15、）A,0 B0,C0,D,0【答案】B【解析】因为 na的通项公式为2naanbnc，且201720182019,kkkaaa恒为等差数列 所以由等差数列通项公式可得 a=0 因为数列 nb的通项公式为1nnbaq*1,qnN时，数列 nb为递增数列 所以由等比数列及递增数列可知0a 又因为pq为真 所以 a 的取值范围为0a ，即实数a的取值范围为0,所以选 B 17.【湖南省长沙市长郡中学 2019 届高三上学期第五次调研考试数学（文科)试题）】设点O为坐标原点，点 E（1，k），点 P（x，y）满足002403260 xyxyxy，若目标函数zOE OP的最大值为 10则实数 k A2

16、B5 C109 D74【答案】C【解析】由题设，有zxky，不等式组对应的可行域如图所示：其中，2,0A，95,2B，0,2C.当0k 时，动直线过B时有z有最大值，且最大值为95102k，故109k.当k0时，动直线过A或B时z有最大值，过前者，则最大值为2，不合题意；若为后者，109k，舍去.综上，109k，选 C.18【2020 届湖南省长郡中学高三下学期第二次适应性考试数学(理)试题】已知0ab，1ab，设2abx，2log()yab，1zab，则log 2xx，log 2yy，log 2zz的大小关系为（）Alog 2log 2log 2xyzxyz Blog 2log 2log 2

17、yzxyzx Clog 2log 2log 2xzyxzy Dlog 2log 2log 2yxzyxz 【答案】B【解析】ab0，1ab，可得1=ab，且 a1b0，11222aabxa，222log()log 2log 21yabab，122zaaaab，又 22log(1)zyaabf aa，120faab，f a单调递增，212log(1)0f afb，zy 0，01xyz，log 2=log 2 1xxx，log 2log 21yyy，log 2=log 2+1zzz，根据对数函数性质可得log 2log 2log 2xzy，log 2log 2log 2yzxyzx 故选 B 19

18、【2020 届湖南省长郡中学高三下学期第二次适应性考试数学(文)试题】已知等差数列na的公差为 4，且2a，3a，6a成等比数列，则10a（）A26 B30 C34 D38【答案】C【解析】由题意可得：2326aa a，即22224adaad，结合题意有：2222(4)16aaa，解得22a，则102828 434aad.故选 C.20【2020 届湖南省长沙市长郡中学高三月考（一)数学（文)试题】已知数列 na的前n项和为nS，若13,a 113 22nnnSSn，则5S（）A324 B93 C144 D45【答案】B【解析】因为113?22nnnSSn，所以13?22nnan，又13a 满

19、足13?2nna，因此数列 na是以 3 为首项，以 2 为公比的等比数列.所以553 1 29312S.故选 B 21【2020 届湖南省长沙市长郡中学高三上学期月考（四)数学（理)试题】某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入，若该公司2015年全年投入研发奖金130万元，在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是（）（参考数据：lg1.120.05，lg1.30.11，lg20.30）A2018年 B2019年 C2020年 D2021年【答案】B【解析】设从 2015 年开始第n年该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万

20、元，由已知得112001301 12%200,1.12130nn，两边取常用对数得200(1)lg1.12lg,130nlg2lg1.30.30.1113.8,5lg1.120.05nn ，故从 2019 年开始，该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元，故选 B.22【2020 届湖南省长郡中学高三下学期第二次适应性考试数学(文)试题】已知实数x，y满足不等式组0262xyxyxy，则点,x y构成平面区域的面积是（）A3 B52 C2 D32【答案】A【解析】根据题意作出不等式组所表示的平面区域，分别求出三个点的坐标(2,2)A，(4,2)B，(1,1)C，求出点B到直线yx的距离

21、22423 211d，222 12 12AC，1123 2322ABCSACd.故选：A.23【湖南省长沙市长郡中学 2019 届高三上学期第一次适应性考试（一模)数学（文)试题】已知在等比数列 na中，222415530,9002,9naaaa a aa，则2019a的个位数字是（）A6 B7 C8 D9【答案】D【解析】设等比数列 na的公比为q，首项为1a 由2224159002aaa a得：2224242900aaa a.解得：2430aa.即：31130qaq a，由539aa得：3q，所以11a，所以1113nnnaa q，所以：0131a，1233a，2339a，34327a，4

22、5381a，563243a，由此可得na的个位数是以 4 为周期重复出现的.所以2019a的个位数字是3a的个位数字，即2019a的个位数字是：9.故选 D 24【2020 届湖南省长沙市长郡中学高三下学期 3 月阶段性测试数学(理)试题】中国古代数学著作九章算术中有这样一个问题：“某贾人擅营，月入益功疾（注：从第 2 月开始，每月比前一月多入相同量的铜钱），3 月入 25 贯，全年（按 12 个月计）共入 510 贯”，则该人 12 月营收贯数为（）A35 B65 C70 D60【答案】C【解析】设每个月的收入为等差数列an 公差为 d 则 a3=25，S12=510 a1+2d=25，12

23、a1+12 112d=510，解得 a1=15，d=5，1211115 11 570aad 故选 C 25【2020 届湖南省长沙市长郡中学高三下学期 3 月阶段性测试数学(理)试题】设等比数列na的前n项和为nS，公比为q，且3S，9S，6S成等差数列，则38q等于（）A-4 B-2 C2 D4【答案】A【解析】依题意可知 2S9=S6+S3，9631111112111aqaqaqqqq整理得 2q6-q3-1=0，解 q3=1 或12，当 q=1时，2S9=S6+S3，不成立故排除所以38q等于-4 故选 A 26【2020 届湖南省长沙市长郡中学高三下学期 3 月阶段性测试数学(文)试题

24、】等比数列 na的前 n 项和为 Sn，且14a，22a，3a成等差数列，若1a=1，则 S10=（）A512 B511 C1024 D1023【答案】D【解析】设等比数列的公比为q，由题意，得2344aa，即244qq，解得2q，则1010101 22110231 2S；故选 D.27【2020 届湖南省长沙市长郡中学高三上学期第一次月考数学试题】若 ab，数列 a，x1，x2，b 和数列 a，y1，y2，y3，b 都是等差数列，则 2121xxyy（）A23 B34 C1 D43【答案】D【解析】a，x1，x2，b 是等差数列，2113xxba，a，y1，y2，y3，b 是等差数列，211

25、4yyba，212143xxyy.故选：D 28【湖南省长沙市长郡中学 2019 届高三下学期第六次月考数学（理)试题】九章算术中的“竹九节”问题：现有一根 9 节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面 4 节的容积共 3 升，下面 3 节的容积共 4 升，现自上而下取第 1,3,9 节，则这 3 节的容积之和为（）A133升 B176升 C199 升 D2512升【答案】B【解析】设自上而下各节的容积分别为129aaa，公差为d，上面 4 节的容积共 3 升，下面 3 节的容积共 4 升，123419871463 3214aaaaadaaaad，解得11372266ad，自上而下取第 1

26、，3，9 节，则这 3 节的容积之和为：1391397017310.22666aaaad（升）故选 B 29【2019 届湖南省长沙高三下学期 5 月联考数学(理)试题】已知实数 x，y 满足不等式组140 xxyxy，记2zxy的最大值为 m，则函数22xyam（0a，1a）的图象所过定点坐标为()A1,4 B2,1 C2,3 D2,4【答案】D【解析】作出不等式组对应的可行域，如下图阴影部分，联立04xyxy，可得2,2A，目标函数2zxy可化为2yxz，当目标函数过点2,2A时，z取得最大值 2，故2m.因为函数xya（0a，1a）的图象过定点0,1，所以函数222xya（0a，1a）的

27、图象过定点2,4.故选：D.30【2020 届湖南省长沙市长郡中学高三月考（三)文科数学试题】等差数列 na的前 n 项和为nS，若74SS，且10a，则使得0kS 的最小正整数k=（）A9 B10 C11 D12【答案】D【解析】等差数列 na的前 n 项和为nS，74SS，117 64 37422adad，解得15ad，又10a，所以0d.1(1)(1)(11)5222kk kk kk kSkadkddd，由0kS 得11k，故使得0kS 的最小正整数12k.故选:D.二、填空题 31【2020 届湖南省长郡中学高三下学期第二次适应性考试数学(文)试题】已知数列 na的前n项和为nS,且0

28、na，22nnnSaa，若不等式29(1)nnnSka.对任意的nN恒成立，则k的取值范围是_【答案】7,7.25【解析】当1n 时，22111aaa，由于0na，解得11a；当2n 时，21112nnnSaa,2 2nnnSaa 两式作差得：22112.nnnnnaaaaa 整理得：11nnaa.所以数列 na是以11a 为首项，公差d1的等差数列，因此1n,2nnn naS，由于*291nnnSkanN 得：291nnnkn，则有：*911nnk nNn ，令91ncnn，则2199911n n1nnnnccnn 易得，当3n 时，1nncc；当4n 时，1nncc.所以有1234577.

29、57.25ccccc（1）当n为偶数时，91nkn，所以7.25k;（2）当n为奇数时，91nkn ，所以7k.综上可得，k的取值范围是7,7.25.32【2020 届湖南省长郡中学高三下学期第二次适应性考试数学(理)试题】已知实数,x y满足约束条件212(2)yxyyx，若(0)zxty t的最大值为 11，则实数t _.【答案】4；【解析】由已知得到可行域如图：可求出三个交点坐标 A（3，2），B（-1,2）,C52,33,目标函数(0)zxty t的最大值为 11，几何意义是直线1zyxtt 截距的最大值为 11,由图得知,当1zyxtt 过点 A 截距取得最大值,故1132t，解得=

30、4，故答案为：4.33【2020 届湖南省长沙市长郡中学高三第五次月考数学(理)试题】数列 na满足112324221nnaaaan，且数列 na的前 n 项和为nS，若实数满足对于任意nN都有24nS，则的取值范围是_【答案】314【解析】当1n 时，11a，当2n()nN时，由112324221(1)nnaaaan，可得 2123124223(2)nnaaaan，(1)(2)得，12222nnnnaa，因此有 21,12,2()nnnannN.当1n 时，122141414S；当2n()nN时，1211()1213()31212nnnS，因此有23nS，而 24nS对于任意nN恒成立，所以

31、有43，且22，解得324.故答案为：314 34【2020 届湖南省长沙市长郡中学高三上学期第一次月考数学试题】已知等比数列an的前 n 项和为 Sn，且 S37a1，则an的公比 q 的值为_【答案】2 或3【解析】设等比数列的公比为q，S37a1，211117aa qa qa，化为260qq，解得2q或3.故答案为：2 或3 35【2020 届湖南省长沙市长郡中学高三上学期月考（四)数学（理)试题】在区域0,11xx yxyxy 中，若满足0axy的区域面积占面积的13，则实数a的值为_.【答案】12【解析】根据题意,区域 为如图所示的三角形 ABC,则三角形 ABC 为等腰直角三角形,

32、所以BAC=45，因为直线 ax+y=0 过(0,0),结合图形可知 a0 时,才能满足0axy的区域面积占 面积的13,所以满足0axy的区域为图中阴影 AOD,设 D 点坐标为(x,1x)，满足0axy的区域面积占 面积的13,即三角形 AOD 的面积为三角形 ABC 面积的13，可得1112 145322AOADsin ，即22112111322xx ，解得 x=23，又 D 点在直线 ax+y=0 上，所以21033a，解得 a=12，故答案为：12.36【2020 届湖南省长沙市长郡中学高三月考（六)数学（理)试题】当实数,x y满足240101xyxyx 时,14axy恒成立,则实

33、数a的取值范围是 .【答案】31,2 【解析】由图可知：不等式14axy在阴影部分区域恒成立，令zaxy可知0a，因为当0a，且当1,0 xy时，00zaxyaa不能使得14axy恒成立；由0a 得zaxy在点1,0处取得最小值，即minzaxya，在点2,1处取得最大值，即max21zaxya，所以有1214aa 解得312a 37【全国百强校】湖南省长沙市长郡中学 2019 届高三上学期第五次调研考试数学（理科)试题 已知点列 P1（1，y1），P2（2，y2），P3（3，y3），Pn1（n1，yn1）在 x 轴的投影为 Q1，Q2，Qn1，且点 Pn1满足 y11，直线 PnPn1的斜率

34、 k1n nP P2n则多边形 P1Q1Qn1Pn1的面积为_【答案】32n-n-3【解析】根据题意可得12nnnyy，结合11y，应用累加法，可以求得1121nny，根据题意可以将该多边形分成 n 个直角梯形来算，且从左往右，第 n 个梯形的面积为113 212nnnnyyS，总的面积应用分组求和法，可求得多边形的面积为3(21)3 23nnSnn，故答案是3 23nn.38【2020 届湖南省长沙市长郡中学高三下学期 3 月阶段性测试数学(文)试题】已知等差数列na的前n项和为nS，且43a ，1224S，若0(ijaai，j*N且1)ij，则i的取值集合是 _.【答案】1，2，3，4，5

35、，6，7，8，9，10 【解析】等差数列na的前n项和为nS，且43a ，1224S，411213312 1112242aadSad，解得19a ，2d，9(1)2211nann ，0(ijaai，j*N且1)ij，1i 时，92110j，解得10j；2i 时，4112110j，解得9j；3i 时，6112110j，解得8j；4i 时，8112110j，解得7j；5i 时，10112110j，解得6j；6i 时，12112110j，解得5j；7i 时，14112110j，解得4j；8i 时，16112110j，解得3j；9i 时，18112110j，解得2j，10i 时，20112110j，解

36、得1j 综上，i的取值集合为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10 故答案为：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10.39【2020 届湖南省长沙市长郡中学高三月考（三)数学理科试题】已知实数abc abc，三个数成等比数列，它们的和是21，积是64，那么这个数列的公比q _.【答案】4【解析】根据题意可得：22164abcabcacb，解得：4b，则1716acac且ac，解得：116ac，所以4bqa.40【2020 届湖南省长沙市长郡中学高三月考（三)数学理科试题】设正实数x,y,z满足22340 xxyyz,则当xyz取得最大值时,212xyz的最大值为_.【答案】1【解析】223

37、40 xxyyz 可得2234zxxyy 222211434343xyxyxyxxyyzxxyyyxxy,根据均值不等式得11144323xyxyzxyyxyx,当且仅当4xyyx,即2xy时取得最大值,此时22zy,2221222111 12xyzyyy ,当1y 时取得最大值1.212xyz的最大值为:1.故答案为:1.41【湖南省长沙市长郡中学 2019 届高三下学期第六次月考数学（理)试题】已知实数,x y满足约束条件：10220220 xyxyxy，若zxay只在点4,3处取得最小值，则a的取值范围是_【答案】,1【解析】由实数 x，y 满足约束条件：10220220 xyxyxy

38、作可行域如图，联立22010 xyxy，解得4 3C（，）当0a 时，目标函数化为zx，由图可知，可行解4,3使zxay取得最大值，符合题意；当0a 时，由zxay，得1zyxaa，此直线斜率大于 0，当在y轴上截距最大时z最大，可行解4,3为使目标函数zxay的最优解，1a 符合题意；当0a 时，由zxay，得1zyxaa，此直线斜率为负值，要使可行解4,3为使目标函数zxay取得最大值的唯一的最优解，则10a，即0a 综上，实数a的取值范围是,1，故答案为,1 42已知首项为 2 的正项数列na的前 n 项和为nS，且当 n2 时，3nS22na31nS若12nnSm 恒成立，则实数 m

39、的取值范围为_【答案】1516，【解析】由题意可得：21211323323nnnnnnSaSSaS，两式相减可得：2211330nnnnaaaa，因式分解可得：1130nnnnaaaa，由与数列为正项数列，所以130nnaa，故数列 na为以 2 为首项，3 为公差的等差数列，所以312nnnS，所以2312nnnm恒成立，即其最大值小于等于 m.由于函数分母为指数型函数，增长速度较快，所以当 n 较大时，函数值越来越小，n 较小时存在最大值，经代入验证，当3n 时有最大值1516，所以1516m.43【2020 届湖南省长沙市长郡中学高三第五次月考数学(文)试题】几位大学生响应国家的创业号召

40、，开发了一款应用软件，为激发大家的学习兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动，这款软件的激活码为下列数学问题的答案：已知数列 1、1、2、1、2、4、8、1、2、4、8、16、，其中第一项是02，接下来的两项是012 2、，再接下来的三项是0122 2 2、，以此类推，求满足如下条件的最小整数:100N N 且该数列的前N项和为 2 的整数幂，那么该软件的激活码是_。【答案】440【解析】由题意可知，将 1、1、2、1、2、4、8、1、2、4、8、16、，可分为02，012,2，0122,2,2，01232,2,2,2，012342,2,2,2,2.0123412,2,2,2,2.2

41、n，根据等比数列前n项和公式，求得每组和分别为121，221，321，421，.21n，每组含有的项数为：1,2,3,.n，总共的项数为(1)2n nN，所有组的项之和为121S 221321421.21n12(12)2212nnnn，由题意可知：12n为 2 的整数幂，只需将2n 消去即可，则12(2)0n ，解得1n，总共有1(1 1)232项，不满足100N，124(2)0n ，解得5n，总共有5(51)3182项，不满足100N，1248(2)0n ，解得13n，总共有13(131)4952项，不满足100N，124816(2)0n ，解得29n，总共有29(291)54402项，满足

42、100N，即该软件的激活码是440，故答案为：440.44【湖南省长沙市长郡中学 2019 届高三上学期第一次适应性考试（一模)数学（文)试题】太极图被称为“中华第一图”.从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫、白外五观的标记物；从道袍、卦摊、中医、气功、武术到南韩国旗、新加坡空军机徽，太极图无不跃居其上.这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”.在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分的区域可用小等式组或来表示，设是阴影中任意一点，则的最大值为_.【答案】【解析】如图，作出直线：，当直线 往上平移至与阴影部分的圆的边界相切时，最大，此时圆心到直线的距离等于半径 1，

43、即：.解得：45【2020 届湖南省长沙市长郡中学高三月考（一)数学（文)试题】已知数列 na的前n项和2nSn，则4a _.【答案】7【解析】由题得4431697aSS.故答案为：7 46【2020 届湖南省长郡中学高三下学期第二次适应性考试数学(文)试题】已知变量 x、y 满足约束条件0280260yxyxy，在实数 x、y 中插入 7 个实数，使这 9 个数构成等差数列 na的前 9 项，则1ax、9ay，则数列 na的前 13 项和的最大值为_.【答案】2216【解析】画出约束条件0280260yxyxy表示的平面区域，如图所示；解方程组280260 xyxy，得4 10,33A；记这

44、个等差数列为 na，其公差为d，则1()9 18yxdyx，所以数列 na的前 13 项和为 1131371136()131313613(3)284aayxSaadxxy，作出直线:30l xy，由图形可知，当直线l过点A时，3zxy取得最大值，所以13S的最大值为13422110436.故答案为：2216.47【2020 届湖南省长沙市长郡中学高三上学期月考（四)数学（文)试题】已知正实数满足，则的最小值为_【答案】【解析】正实数满足，（2a+b），当且仅当时取等号 的最小值为 故答案为 48【2020 届湖南省长沙市长郡中学高三上学期月考（四)数学（文)试题】已知数列 na的前n项和为11

45、21,4,41nnnS aSaaan，则na _【答案】14,13 4,2nnnan【解析】当2n 时，由1214nnSaaa，得1124nnSaaa，1144nnnSSa，即14nnaa，14(2)nnana，又111214,44Saaa a，212a，当2n 时，211243 4nnna 又14a，不满足上式，所以所求通项公式为14,13 4,2nnnan 故答案为14,13 4,2nnnan 三、解答题 49【湖南省长沙市长郡中学 2019 届高三上学期第三次调研考试数学（理科)试卷】已知数列 na的前 n 项和 Sn满足111110nnnnSSS S，且11a （）求数列通项公式 an

46、；（）在数列 na的前 100 项中，是否存在两项,mnaamn，使得2111,mnaaa三项成等比数列？若存在，求出所有的 m，n 的取值；若不存在，请说明理由【答案】（）an2n1；（）取值为5811,143874mmmnnn【解析】(1)因为111110nnnnSSS S，所以11nnSS，所以11,nSnn Sn2,n当2n 时221(1)21nnnaSSnnn，因为12 1 11a ，所以21nan.(2)若2111,mnaaa三项成等比数列，则22111,nmaaa（）2111()32121nm2(21)3(21)mn，因为2100(21)597212412nmmm，又21m为 3

47、 的奇倍数，所以2,5,8,11m，验证得5811,143874mmmnnn.50【2019 届湖南省长沙高三下学期 5 月联考数学(文)试题】已知 na是等差数列，且1lg0a，4lg1a （1）求数列 na的通项公式（2）若1a，ka，6a是等比数列 nb的前3项，求k的值及数列nnab的前n项和【答案】（1）32nan（2）23112,41223nnkSnn【解析】1数列 na是等差数列，设公差为 d，且1lg0a，4lg1a 则：111310aad，解得：3d 所以：1 3132nann 2若1a，ka，6a是等比数列 nb的前 3 项，则：216kaaa，根据等差数列的通项公式得到：

48、32kak，代入上式解得：2k；1a，2a，6a是等比数列 nb的前 3 项，1214aa，所以：等比数列 nb的公比为4q 由等比数列的通项公式得到：14nnb 则1324nnnabn，故：111 144324nnSn，314124 1nnn，231141223nnn 51【2020 届湖南省长郡中学高三下学期第二次适应性考试数学(文)试题】定义:如果一个数列从第 2 项起，每一项与它前一项的差都大于或等于 2，则称这个数列为“D 数列”.（1）若首项为 1 的等差数列 na的每一项均为正整数，且数列 na为“D 数列”，其前 n 项和nS满足22nSnn(nN)，求数列 na的通项公式；（

49、2）已知等比数列 na的每一项均为正整数，且数列 na为“D 数列”，213aa，设2 61nnnbna(nN)，试判断数列 nb是否为“D 数列”，并说明理由.【答案】（1）11221nann（2）是，理由见解析【解析】（1）设等差数列 na的公差为 d，则2d，由11a，得12nn nSnd.由题意得，2122n nndnn对nN均成立，当1n 时，上式成立.当2n 时，224211ndnn，又dN，2d，2d 等差数列 na的通项公式为11221nann.（2）设等比数列 na的公比为 q，则11nnaa q，数列 na的每一项均为正整数，且1120nnnnnaaa qaaq，1q，且

50、q 为整数 111nnnnnnaaq aaaa.在数列1nnaa中，21aa为最小项，由数列 na为“D 数列”可知，只需212aa.即112a q，又213aa，即113a q.由数列 na的每一项均为正整数，可得112a q，11a，3q 或12a，2q.当11a，3q 时，13nna，则112 6321 31nnnnbnn.令1nnncbb(nN)，21332221nnncnn 则1213 221nnn 13 221nnnn 21113 23 23221nnnnnnccnnnn .2123 20321nnnnnn 数列 nc为递增数列，即121nnncccc.又1212cbb.对任意的n