2021年第20届中国女子数学奥林匹克试题完整版及部分答案4395.pdf

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1、2021中国女子数学奥林匹克第一天长春东北师范大学附属中学2021 年 8 月 12 日上午 8:00 12:001.Nn，Rqpxxxn,121，其中qp，满足nipipnxx11，求证：（1）niqipnxx11；（2）qniqiqnpnipipnxxxx111111)()(2ABC 内接于圆 OI、J 分别是ABC 的内心和BAC 所对的旁心，点 X Y在圆 O 上，满足AXIAXJ90，线段 IJ的中垂线交直线 BC于 K点，求证：AK 平分 XY3 求最小的 n，对 n n 的方格表，红黄蓝三染色，满足：（1）每种颜色的方格数目相同；（2）若某行有红格，则该行必有蓝格，且无黄格；（3

2、）若某行有蓝格，则该行必有红格，且无黄格4 称na为 CGMO 数列，若1nna为严格递增的正整数数列对nan,2020满足存在,121nnaaaA，且nAanaa为完全平方数求证：存在常数21,CC，对任意 CGMO数列，存在NN，当Nn 时，有2221nCanCn2021中国女子数学奥林匹克第二天长春东北师范大学附属中学2021 年 8 月 13 日上午 8:00 12:005.从集合20,2,1 中任选 4 个（可以相同的）数，求证：在这 4 个数中，必可以适当的选取cba,，使关于 x 的同余方程)(modcbax有解6 S 是一个有限集合，)(sP是 S 所有子集的集合，求证：对任意

3、一个函数RsPf)(:都有02)()()()(sPAsPBBABfAf7 在ABC中，ABAC，K是 B关于 AC 的对称点，L是 C关于 AB 的对称点，X是ABC内一点且满足 AX BC，XL=XK过点 X作 CK 的垂线交 BK 于 Y，过点 X作 BL 的垂线交CL 于 Z 求证：B、C、O、Y、Z五点共圆8 设m，n 是正整数，记)1()1)(1()()1()1)(1()(212mnnnmxxxxgxxxxf，证明：存在 mn 次整系数多项式)(xh满足)()()(xgxhxf，且)(xh的1mn项的系数都是正整数证法 1题目：ABC内接于圆 O I、J 分别是ABC的内心和BAC所

4、对的旁心，点 X Y在圆 O上，满足AXIAXJ90，线段 IJ的中垂线交直线 BC 于 K点，求证：AK 平分 XY证明：设 AI交ABC于另一点 M，YJ 交ABC外接圆与另一点 E，AY，AX 分别交直线 BC于 F，G.因为AYE90，所以 AE 是直径，X，Y，E三点共线，EM IJ，由鸡爪定理，MB MC MIMJ，所以 M，E，K三点共线，由切割线定理，GX GA GC GB，所以点 G对于 OM与（A，X，J）等幂，即点 G在 OM与（A，X，J）的根轴上，因为 OM与 O（A，X，J）外切，I 为切点，所以 IGAM，同理，FJAM，于是 IG，KM，FJ 互相平行，由平行线等分线段定理，K是 FG 中点，注意到EMJEMI，由射影定理，LAFJZEJMZEIMZAIXZAGI，于是AJFAIG，所以IGAIXGAXJFAJYFAY2222，所以 XYFG，由射线束定理，AK 平分 XY.证法 2证法 3证法 4推广：