2021-2022学年天津市南开大学附中高一(上)期末数学试卷(含解析)14061.pdf

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1、2021-2022 学年天津市南开大学附中高一（上）期末数学试卷 一、单项选择题（共 10 题，每题 4 分）1（4 分）cos675 的值为()A22 B22 C32 D32 2（4 分）在ABC中，sinsinAB是AB的()A充要条件 B充分非必要条件 C必要非充分条件 D既非充分条件又非必要条件 3（4 分）函数21()f xlnxx的零点所在区间为()A(0,1)B(1,2)C(2,3)D(3,4)4（4 分）若tan3，则1cos2(sin2 )A12 B13 C13 D2 5（4 分）函数22()2xxf x是()A偶函数，在(0,)是增函数 B奇函数，在(0,)是增函数 C偶函

2、数，在(0,)是减函数 D奇函数，在(0,)是减函数 6（4 分）已知角的终边上一点(,3)P x，且10cos4，则(x )A15 B5 C15 D5 7（4 分）设3log 6a，5log 20b，则2log 15()A3(1)(1)abab B2(1)(1)abab C23(1)(1)abab D23(1)(1)abab 8（4 分）若3sin3cos2 3sin()xxx，其中02，则()A23 B56 C53 D116 9（4 分）函数|cos()xxf xe的部分图象为()A B C D 10（4 分）将函数()sinf xx的图象先向右平移3个单位，再把所得函数图象横坐标变为原来

3、的1(0)，纵坐标不变，得到函数()g x的图象，若函数()g x在3(,)22上没有零点，则的取值范围是()A(0，1 B(0，29 C(0，2293，89 D(0，2899，1 二、填空题（共 6 题，每小题 4 分）11（4 分）已知集合2|log1Axx，1B ，0，1，2，3，则AB 12（4 分）函数22,0()12(),02xxx xf xx的零点个数为 13（4 分）已知0a，0b，114ab，则4ab的最小值为 14（4 分）已知函数sin()(0,|)2yx 的部分图象如图所示，则 15（4 分）天津之眼，全称天津永乐桥摩天轮，是世界上唯一一个桥上瞰景的摩天轮如图，已知天津

4、之眼的半径是55m，最高点距离地面的高度为120m，开启后按逆时针方向匀速转动，每30min转动一圈喜欢拍照的南鸢同学想坐在天津之眼上拍海河的景色，她在距离地面最近的舱位进舱已知在距离地面超过92.5m的高度可以拍到最美的景色，则在天津之眼转动一圈的过程中，南鸢同学可以拍到最美景色的时间是 分钟 16（4 分）已知函数2(3),1(),1xa xa xf xxlna x，若xR，不等式()0f x恒成立，则a的取值范围是 三、解答题（共 3 题，共 36 分）17（8 分）（1）计算：sin57sin27 cos30cos27；（2）已知10sin2cos2，求tan2的值 18（12 分）已

5、知函数2()sin3sincosf xxxx（1）求其最小正周期和对称轴方程；（2）当3x，6时，求函数()f x的单调递减区间和值域 19（16 分）已知函数()log(3)af xx，()log(3)(0ag xx a，1)a，记()()()F xf xg x （1）求函数()F x的定义域；（2）判断函数()F x的奇偶性，并说明理由；（3）是否存在实数a，使得()F x的定义域为m，n时，值域为1logan，1logam？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，则说明理由 2021-2022 学年天津市南开大学附中高一（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、单项选择题（共 10 题

6、，每题 4 分）1（4 分）cos675 的值为()A22 B22 C32 D32【考点】GO：运用诱导公式化简求值【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；56：三角函数的求值【分析】由已知利用诱导公式，特殊角的三角函数值即可化简求值得解【解答】解：2cos675cos(236045)cos452 故选：B【点评】本题主要考查了诱导公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，属于基础题 2（4 分）在ABC中，sinsinAB是AB的()A充要条件 B充分非必要条件 C必要非充分条件 D既非充分条件又非必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件【专题】5L：简易逻辑

7、【分析】由sinsinAB得：AB或AB，不符合AB，所以只能得到AB，而AB便可得到sinsinAB，所以即可判断sinsinAB与AB的关系了【解答】解：在ABC中，sinsinAB，则AB，若AB则sinsinAB；sinsinAB是AB的充要条件 故选：A【点评】考查三角形内角和，三角函数的诱导公式：sin()sinxx，充分条件，必要条件，充要条件的概念 3（4 分）函数21()f xlnxx的零点所在区间为()A(0,1)B(1,2)C(2,3)D(3,4)【考点】函数零点的判定定理【专题】函数思想；综合法；导数的综合应用；数学运算【分析】函数21()f xlnxx在(0,)上单调

8、递增，利用零点存在定理可得答案【解答】解：函数21()f xlnxx在(0,)上单调递增，且f（1）10 ，f（2）111112044244lnln e，函数21()f xlnxx的零点所在区间为(1,2)，故选：B【点评】本题考查了零点存在定理的应用，考查运算能力，属于中档题 4（4 分）若tan3，则1cos2(sin2 )A12 B13 C13 D2【考点】二倍角的三角函数【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；数学运算【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系式，二倍角公式，计算求得结果【解答】解：tan3，则21cos22coscos11sin22sincossintan3，故选：B

9、【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系式，二倍角公式的应用，属于基础题 5（4 分）函数22()2xxf x是()A偶函数，在(0,)是增函数 B奇函数，在(0,)是增函数 C偶函数，在(0,)是减函数 D奇函数，在(0,)是减函数【考点】3E：函数单调性的性质与判断；3K：函数奇偶性的性质与判断【专题】51：函数的性质及应用【分析】判断函数的定义域为R，然后利用定义判断()f x与()fx的关系，利用2x的单调性判断()f x单调性【解答】解：()f x的定义域为R，2222()()22xxxxfxf x ，则函数()f x为奇函数；又2xy 为增函数，2xy 为增函数，()f x为增函

10、数；故选：B【点评】本题考查了函数奇偶性的判定以及单调性的判定 6（4 分）已知角的终边上一点(,3)P x，且10cos4，则(x )A15 B5 C15 D5【考点】任意角的三角函数的定义【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；数学运算【分析】由题意，利用任意角的三角函数的定义，求得x的值【解答】解：角的终边上一点(,3)P x，且210cos43xx，5x，故选：B【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题 7（4 分）设3log 6a，5log 20b，则2log 15()A3(1)(1)abab B2(1)(1)abab C23(1)(1)abab D23(1)(1)a

11、bab【考点】4H：对数的运算性质【专题】33：函数思想；51：函数的性质及应用；49：综合法；11：计算题【分析】根据3log 6a，5log 20b，则可求出2131loga，2251logb，从而得出2121511logab，通分即可得出答案【解答】解：22322613633loglogalogloglog；2131loga；2252220252055loglogblogloglog；2251logb；2221223153511(1)(1)ablogloglogabab 故选：D【点评】考查对数的运算性质，对数的换底公式 8（4 分）若3sin3cos2 3sin()xxx，其中02，则

12、()A23 B56 C53 D116【考点】两角和与差的三角函数【专题】逻辑推理；数学运算；计算题；转化思想；三角函数的求值【分析】直接利用三角函数关系式的变换和三角函数的诱导公式的应用求出结果【解答】解：根据三角函数关系式的变换，113sin3cos2 3sin()2 3sin()2 3sin()66xxxxx，故选：D【点评】本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，诱导公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题 9（4 分）函数|cos()xxf xe的部分图象为()A B C D【考点】函数的图象与图象的变换【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运

13、算【分析】根据题意，由函数的奇偶性排除C，再分析函数的特殊点的函数值，排除A，B，即可得答案【解答】解：根据题意，函数|cos()xxf xe，其定义域为R，有|cos()cos()()xxxxfxf xee，函数()f x为偶函数，其图象关于y轴对称，排除C，又0cos0(0)1fe，排除B，2cos2()02fe，331cos32()13fee，排除A，故选：D【点评】本题考查函数的图象分析，涉及函数的奇偶性和函数的特殊点的函数值，属于基础题 10（4 分）将函数()sinf xx的图象先向右平移3个单位，再把所得函数图象横坐标变为原来的1(0)，纵坐标不变，得到函数()g x的图象，若函

14、数()g x在3(,)22上没有零点，则的取值范围是()A(0，1 B(0，29 C(0，2293，89 D(0，2899，1【考点】函数sin()yAx的图象变换【专题】转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；数据分析【分析】由题意利用函数sin()yAx的图象变换规律，求得()g x的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，求得的取值范围【解答】解：将函数()sinf xx的图象先向右平移3个单位，可得sin()3yx的图象；再把所得函数图象横坐标变为原来的1(0)，纵坐标不变，得到函数()sin()3g xx的图象 当3(,)22x，(323x，3)23 若函数()g x在3(,)22上没有

15、零点，123222，01 故有23，3023，或者023，323 由求得209；解求得2839，则的取值范围为(0，2293，89，故选：C【点评】本题主要考查函数sin()yAx的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题 二、填空题（共 6 题，每小题 4 分）11（4 分）已知集合2|log1Axx，1B ，0，1，2，3，则AB 1，2 【考点】交集及其运算【专题】集合思想；定义法；集合；数学运算【分析】求解对数不等式化简A，再由交集运算得答案【解答】解：2|log1|02Axxxx，1B ，0，1，2，3，|02 1ABxx，0，1，2，31，2 故答案为：1，2【点评】本题考查

16、交集及其运算，考查对数不等式的解法，是基础题 12（4 分）函数22,0()12(),02xxx xf xx的零点个数为 3 【考点】函数的零点与方程根的关系【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算【分析】分段分别求出()0f x 的根，即可得到函数()f x的零点个数【解答】解：当0 x时，2()2f xxx，令220 xx得，2x 或0 x，当0 x 时，1()2()2xf x，令12()02x得，1x ，综上所述，函数()f x的零点为1，0，2，零点个数为 3，故答案为：3【点评】本题主要考查了分段函数的零点，是基础题 13（4 分）已知0a，0b，114ab，则4

17、ab的最小值为 94 【考点】基本不等式及其应用【专题】整体思想；综合法；不等式；数学运算【分析】由基本不等式及其应用求解即可【解答】解：由0a，0b，114ab，则1 11141494()(4)(5)(52)4444abababababbaba，当且仅当4abba即38b，34a 时取等号，即4ab的最小值为94，故答案为：94【点评】本题考查了基本不等式及其应用，属基础题 14（4 分）已知函数sin()(0,|)2yx 的部分图象如图所示，则 6 【考点】由sin()yAx的部分图象确定其解析式【专题】计算题；数形结合；综合法；三角函数的图象与性质；数学运算【分析】先求出T，进而求出的值

18、，然后利用()13f，求出的值【解答】解：令()sin()f xx，74()123T，所以22，所以()sin(2)f xx，结合2()sin()133f，得2232k，kZ，易知0k 时，6 即为所求 故答案为：6 【点评】本题考查三角函数的图像与性质，属于基础题 15（4 分）天津之眼，全称天津永乐桥摩天轮，是世界上唯一一个桥上瞰景的摩天轮如图，已知天津之眼的半径是55m，最高点距离地面的高度为120m，开启后按逆时针方向匀速转动，每30min转动一圈喜欢拍照的南鸢同学想坐在天津之眼上拍海河的景色，她在距离地面最近的舱位进舱已知在距离地面超过92.5m的高度可以拍到最美的景色，则在天津之眼

19、转动一圈的过程中，南鸢同学可以拍到最美景色的时间是 小于 10 分钟 【考点】三角函数模型的应用【专题】计算题；函数思想；综合法；三角函数的图象与性质；数学运算【分析】建立适当的直角坐标系，用坐标表示点P，建立高度H与t的函数关系式，从而求出对应的拍到最美景色的时间【解答】解：如图，设座舱距离地面最近的位置为点P，以轴心O为原点，与地面平行的直线为x轴，建立直角坐标系 设0tmin时，游客甲位于点(0,55)P，以OP为终边的角为2；根据摩天轮转一周大约需要30min，可知座舱转动的角速度约为，由题意可得55sin()6555cos65(030)15215Httt 由55cos6592.515

20、t，可得1cos152t，243153t，1020t，南鸢同学可以拍到最美景色的时间是小于201010（分钟）故答案为：小于 10 【点评】本题考查了三角函数模型应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题 16（4 分）已知函数2(3),1(),1xa xa xf xxlna x，若xR，不等式()0f x恒成立，则a的取值范围是 1，e 【考点】函数恒成立问题；分段函数的应用【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算【分析】原问题等价于1x时，0 xlna恒成立和1x 时，2(3)0 xa xa恒成立，从而即可求解【解答】解：由题意，因为xR，不等式()0f x恒成立，所以1

21、x时，0 xlna恒成立，即()1minlna f x，所以0a e；1x 时，2(3)0 xa xa恒成立，即23()1maxxxax 令1(0)xt t，则2223(1)3(1)21334()51xxttttttxttt ，由对勾函数的单调性知4()5ytt 在(0,2)上单调递增，在(2,)上单调递减，所以2t 时，44()5(2)512maxtt，所以1a；综上，1 a e 所以a的取值范围是1，e 故答案为：1，e【点评】本题考查了函数的恒成立问题，属于中档题 三、解答题（共 3 题，共 36 分）17（8 分）（1）计算：sin57sin27 cos30cos27；（2）已知10s

22、in2cos2，求tan2的值【考点】二倍角的三角函数；三角函数的恒等变换及化简求值【专题】综合法；三角函数的求值；数学运算；计算题；转化思想【分析】（1）将sin57化为sin(3027)展开后代入原式即可；（2）将原式两边平方后，结合降幂公式化为sin 2，cos2的表达式，即可化成tan2的表达式，求解即可【解答】解：（1）由sin57sin27 cos30sin(3027)sin27 cos30cos27cos27 sin30 cos27cos30 sin27sin27 cos30cos27 sin30 cos271sin30cos272 （2）原式两边平方，得225sin4sinco

23、s4cos2，即1cos2512sin 2322，即32sin 2cos202，所以3tan24 【点评】本题考查两角和与差、二倍角公式的应用，属于中档题 18（12 分）已知函数2()sin3sincosf xxxx（1）求其最小正周期和对称轴方程；（2）当3x，6时，求函数()f x的单调递减区间和值域【考点】三角函数的周期性；三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的单调性【专题】综合题；函数思想；综合法；三角函数的图象与性质；数学运算【分析】（1）将函数式化为sin()yAx的形式，再求解；（2）利用换元思想结合正弦函数的性质求解【解答】解：1cos231()sin2sin(2)2262xf

24、 xxx，（1）22T，令262xk，解得32kx，kZ，所以，函数()f x的最小正周期为，对称轴方程为32kx，kZ（2）令26zx，,3 6x ，则5,66z ，所以sin()sinsin26z，即11 sin2z，故原函数的值域为12，1；由3222262kxk，kZ，解得536kxk，kZ，分别令0k，1，结合3x，6得36x，因此，函数的单调递减区间为,36【点评】本题考查三角函数的性质与三角恒等变换的方法，属于中档题 19（16 分）已知函数()log(3)af xx，()log(3)(0ag xx a，1)a，记()()()F xf xg x （1）求函数()F x的定义域；（

25、2）判断函数()F x的奇偶性，并说明理由；（3）是否存在实数a，使得()F x的定义域为m，n时，值域为1logan，1logam？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，则说明理由【考点】函数的定义域及其求法；函数奇偶性的性质与判断【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算【分析】（1）由3()log(0,1)3axF xaax的真数大于 0 可求出函数的定义域；（2）利用奇偶函数的定义可判断函数()F x的奇偶性；（3）假设存在实数a满足题目条件，然后根据函数在区间m，n上单调性建立等式关系，然后转化成方程2(3)30 xaxa在区间(0,3)上有两个不同的实根，从而可判断满足

26、题目条件的实数a存在【解答】解：（1）3()()()log(3)log(3)log(0,1)3aaaxF xf xg xxxaax，由3030 xx得：33x，所以，函数()F x的定义域为(3,3)（2）()F x为奇函数，理由为：()()log(3)log(3)log(3)log(3)0aaaaFxF xxxxx，所以，()()FxF x，且()F x的定义域为(3,3)，所以()F x为奇函数；（3）假设存在实数a满足题目条件 由题意得：0m，0n，又m，(0,3)n，03mn，又1log1logaanm，loglogaamn，解得1a 36133xyxx 在(3,3)上单调递减，当1a

27、 时，()F x在(3,3)上单调递减，()1log()1logaaf mmf nn ，即3log1loglog33log1loglog3aaaaaamammmnannn ，所以22(3)30(3)30mamanana，m，n是方程2(3)30 xaxa的两个不同的实根，故方程2(3)30 xaxa在区间(0,3)上有两个不同的实根，令2()(3)3h xxaxa，则2(3)1203032(0)0(3)0aaahh，即96 296 23300aaaaa 或，解得(0,96 2)a，又1a，所以，满足题目条件的实数a不存在【点评】本题主要考查了函数的定义域确定、奇偶性、单调性的判定和奇偶性与单调性的综合应用，考查了转化与化归思想及运算求解能力，属于难题