2021届高三数学(文理通用)一轮复习题型专题训练：导数的综合应用--证明不等式(含解析)4313.pdf

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1、-1-导数的综合应用证明不等式 考查内容：主要涉及利用导数证明不等式 注意：涉及到复合函数求导问题一般为理科内容 一选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知1201xx，则（）A1221lnlnxxxx B1221lnlnxxxx C2112lnlnxxxx D2112lnlnxxxx 2当时，有不等式（）A1xex B1xex C当0 x 时1xex，当0 x 时1xex D当0 x 时1xex，当0 x 时1xex 3已知非零实数 a，x，y满足2211loglog0aaxy，则下列关系式恒成立的是（）A221111xy Byxxyxy C1111xyaa Dxy

2、yx 4已知函数=ln1f xxax 有两个零点12,x x，且12xx，则下列结论错误的是（）A01a B122xxa C121xx D2111xxa 5已知01ab，则下列不等式一定成立的是（）Alnlnabab Bln1lnab Clnlnaabb Dabab 6当01x时，lnxf xx，则下列大小关系正确的是（）A 22fxf xf x B 22f xfxf x-2-C 22f xf xfx D 22f xf xfx 7若ln22a，ln33b，ln66c，则（）Aabc Bcba Ccab Dbac 8下列不等式中正确的是()sin,(0,)xx x；1,xexxR；ln,(0)x

3、x x，.A B C D 9若0,x,则下列不等式恒成立的是()A21xexx B21111241xxx C21cos12xx D21ln 18xxx 10若0mne，则下列不等式成立的是（）Amneemn Bmneemn Clnlnnmnm Dlnlnnmnm 11设a为常数，函数 2ln1f xxxax，给出以下结论：（1）若2ae，则 f x存在唯一零点（2）若1a，则 0f x （3）若 f x有两个极值点12,x x，则1212lnln1xxxxe 其中正确结论的个数是（）A3 B2 C1 D0 12已知函数ln()1xxf xx 在0 xx处取得最大值，则下列选项正确的是（）A 0

4、012f xx B 0012f xx C 0012f xx D 0012fxx 二填空题 13若 0 x1x21，且 1x30时，10 xa时，()0fx，函数 f(x)单调递增，1xa时，()0fx，函数 f(x)单调递减.所以max11()()ln.f xfaa 因为函数 f(x)有两个零点，所以1ln0,ln0,ln0,01.aaaa 又111()0,(1)10,1.affaxeee 又111210,.xxaaa 令2221()()()ln()()ln(0)g xfxf xxaxxaxxaaaa 则212()11()20.21()a xag xaxxx xaa 所以函数 g(x)在1(0

5、,)a上为减函数，11()()g xga=0，又1()=0f x，11111222()ln()()1()()0,fxxaxf xg xaaa 又2()0f x，212xxa，即1222xxa.故答案为 B 5.【解析】对 A，令()lnxf xx，2ln1()(ln)xfxx，当()00fxxe，()f x在(0,)e单调递减，()()f af b，即lnlnabab，故 A正确；对 B，01ab，lnln0ab，ln1lnab，故 B 错误；对 C，令()lnf xxx()ln1fxx，当10 xe时，()0fx；当1xe时，()0fx，()f x在1(0,)e单调递减，在1(,)e单调递增

6、，显然当1be时，lnlnaabb，故 C错误；对 D，lnlnabaabbab，由 C选项的分析，当1ae时，lnlnaabb，故D错误；故选：A.6.【解析】根据01x得到201xx，而 21 lnxfxx，-7-所以根据对数函数的单调性可知01x时，1 ln0 x，从而可得 0fx，函数 f x单调递增，所以 210f xf xf，而 222ln0 xfxx，所以有 22f xf xfx.故选 D.7.【解析】设ln()xf xx，则21 ln()xfxx，所以()f x在(0,)e上递增，在(,)e 上递减；即有(6)(4)(3)fff，所以ln6ln4ln2ln36423，故cab.

7、故选：C 8.【解析】对于：令sin,(0,)yxx x，则cos10yx 恒成立，则sin,(0,)yxx x是减函数，所以有0y 恒成立，所以sin,(0,)xx x成立，所以正确；对于：1,xexxR，令1xyex，e1xy，当0 x 时，0y，当0 x 时，0y，所以函数1xyex在(,0)上是减函数，在(0,)上是增函数，所以在0 x 处取得最小值，所以00 10ye，所以1,xexxR成立，所以正确；对于，ln xx，(0,)x，令lnyxx，有111xyxx，所以有当01x时，0y，当1x 时，0y，所以函数lnyxx在1x 时取得最大值，即ln0 10yxx，所以ln xx，(

8、0,)x恒成立，所以正确；所以正确命题的序号是，故选 B.9.【解析】对于A,分别画出2,1xyeyxx 在0,上的大致图象如图,知21xexx 不恒成立,排除A；-8-对于B,令 2521111,248 1xxf xxxxfxx，所以20,5x 0,fxf x为减函数,2,5x，0,fxf x为增函数,所以 f x最小值为230871,53125fB错，排除B；对于D,当4x 时,221ln5ln244,8eD错，排除D，故选 C.10.【解析】构造函数 21,xxxeef xfxxx，函数在0,1上单调递减，在1,上单调递增，因为0mne，当 m 和 n 在不同单调区间时，函数值大小不能确

9、定，故 AB 不正确;构造函数 2ln1 ln,xxf xfxxx，函数在0,ee，0mne故lnlnnmnm.故答案为：D.11.【解析】（1）若函数 f x存在零点，只需方程2ln10 xxax有实根，即方程ln1xax有实根，令ln1()xg xx，则只需函数ln1()xg xx图像与直线ya有交点即可.又22ln()xg xx，由22ln()0 xg xx可得20 xe；由22ln()0 xg xx可得2xe；所以函数ln1()xg xx在2(0,)e上单调递增，在2(,)e 上单调递减，故22max()()g xg ee，因此，当2ae时，直线ya与ln1()xg xx图像仅有一个交

10、点，即原函数只有一个零点，所以（1）正确；（2）由（1）可知，当1a 时，2ln1()1xg xeax 在(0,)上恒成立，即2()()0f xg xax在(0,)上恒成立，即 0f x 在(0,)上恒成立；故（2）正确；（3）因为 2ln1f xxxax，所以 ln2fxxax，若 f x有两个极值点12,x x，则1122ln20ln20 xaxxax，所以1212lnln2xxaxx，-9-又由 f x有两个极值点，可得方程ln20 xax有两不等实根，即方程ln2xax有两不等式实根，令ln()xh xx，则1 ln()xh xx，由1 ln()0 xh xx得0 xe；由1 ln()

11、0 xh xx得xe；所以函数ln()xh xx在(0,)e上单调递增，在(,)e 上单调递减，所以max1()h xe，又当1x 时，ln()0 xh xx；当1x 时，ln()0 xh xx；所以方程ln2xax有两不等式实根，只需直线2ya与函数ln()xh xx的图像有两不同交点，故102ae；所以1212lnln1xxxxe，即（3）正确.故选 A 12.【解析】函数的定义域为0,，而 2ln11xxfxx，令 ln1h xxx，则 h x在0,上单调递减，且 221133110,ln2ln02222h ehee ，010,2x使 00h x，从而 f x在00,x上单调递增，在0,

12、x 上单调递减，f x在0 xx处取得最大值，00ln10 xx，0000000ln1ln1,12xxxxfxxx .故选：A 13.【解析】令 ln0 xf xex x，则 1xfxex，易知当0,x时，fx单调递增，由131303fe，110fe ，则存在01,13x使得 00fx，当00,xx时，0fx，f x单调递减；当0,xx时，0fx，f x单调递增；1201xx，当02xx时，21f xf x即2121lnlnxxexex，此时2121lnlnxxeexx，故错误；341xx，43f xf x即3443lnlnxxexex，-10-3443lnlnxxeexx，故正确；令 0 x

13、eh xxx，21xexhxx，当0,1x时，0h x，h x单调递减；当1,x时，0h x，h x单调递增；2301xx，2h x与 3h x的大小无法确定即23xx e、32xx e的大小无法确定，故错误；1201xx，21h xh x即2121xxeexx，1221xxx ex e，故正确.故答案为：.14.【解析】因为，所以，可知（0，1e）递减，（1e，+）递增，故错误；令，所以()lng xx，可知在（0,1）上递减，（1，+）上递增，故错；令，所以 h（x）在（0，+）上递增，所以，故正确；当时，可知，又因为 f（x）在（1e，+）递增，设111()()2()()xxf xxf

14、xx f x1()()()2()xf xxfxf x112 ln2ln0 xxxxx，又因为 f（x）在（1e，+）递增，所以1xx时，1()()f xf x即11lnlnxxxx，所以1xx时，()0 x，故()x为增函数，所以21()()xx，所以2222111()()2()()xx f xx f xx f x1()0 x，故正确 15.【解析】对于若11abba成立.两边同时取对数可得11lnlnabba,化简得1 ln1 lnabba，因为01ab，则10,10ab ,不等式两边同时除以11ab可得lnln11baba 令 ln1xf xx,0,1x，则 22111ln1ln11xxx

15、xxfxxx-11-当0,1x时,11ln0 xx,所以 0fx 即 ln1xf xx在0,1x内单调递增 所以当01ab时 f bf a,即lnln11baba，所以11abba，故正确 对于若lnlnabeeab,化简可得lnlnabeaeb，令 lnxg xex,0,1x，则 211,xxgxegxexx，由 0gx 可知 1xgxex在0,1x内单调递增，而 0,110gge ，所以 1xgxex在0,1x内先负后正，因而 lnxg xex在0,1x内先递减,再递增,所以当01ab时无法判断，lnaea与lnbeb的大小关系.故错误.对于,若log1log1abab，令 log1xh

16、xx，利用换底公式化简可得 ln1lnxh xx,0,1x 则 22ln1lnln1ln1 ln11lnln1 lnxxxxxxxxxhxxxx xx 当0,1x时,ln0,1 ln10 xxxx，所以 ln1 ln10 xxxx,即 0h x，则 ln1lnxh xx在0,1x内单调递减，所以当01ab时,ln1ln1lnlnabab，即log1log1abab，所以正确，综上可知,正确的为，故答案为:16.【解析】的定义域为，所以有，所以有，即，即，所以有；-12-因为，所以有 17.【解析】（1）设()sinf xxx，()tang xxx，()cos1fxx，222cossinsin1

17、()11coscos xxxg xxx，0,2x，0cos1x，()0fx，()0g x，函数()sinf xxx在0,2上单调递减；函数()tang xxx在0,2单调递增；()(0)0f xf，()(0)0g xg，即sin xx，tan xx，sintanxxx，0,2x；（2）设函数()1xh xex，所以()1xh xe；令()10 xh xe得：0 x，由()10 xh xe 得0 x；由()10 xh xe得0 x；所以函数()1xh xex在,0上单调递减，在0,上单调递增；当0 x 时，()h x取最小值，即min()(0)0h xh，当0 x 时，恒有()0h x，即1xe

18、x，0 x 显然成立 18.【解析】(1)依题意知函数的定义域为x|x0，f(x)2x-2=2(1)(1)xxx，由 f(x)0，得 x1;由 f(x)0，得 0 x2 时，g(x)0，g(x)在(2，)上为增函数，g(x)g(2)4-2ln2-6+40，当 x2时，x2-2lnx3x-4,即当 x2 时()34f xx.-13-19.【解析】1）221ln1xxbxfxxx 由于直线230 xy的斜率为12，且过点 1,1，故 11,1 1,2ff 即1,1,22bab 解得1a，1b.（2）由（1）知 f(x)=ln1,1xxx所以 22ln112ln11xxf xxxxx 考虑函数 21

19、20 xh xlnxxx，则 h(x)=222222112xxxxxx，所以 x1 时 h(x)0 而 h(1)=0,故 x0,1时 h(x)0 可得 ln1xf xx,x1，h(x)0 可得 ln1xf xx,从而当0 x，且1x 时，ln1xf xx.20.【解析】（1）函数 f(x)的定义域为(1,)()fx11x11xx 由()fx1，得 x0 当 x（0，）时，f(x)是减函数，即 f(x)的单调递减区间为（0，）（2）证明：由知，当 x（1，0）时，()fx0，当 x（0，）时，()fx0，因此，当1x 时，()f x(0)f，即ln(1)xx0ln(1)xx 令1()ln(1)1

20、1g xxx，则211()1(1)g xxx2(1)xx 当 x（1，0）时，()g x0，当 x（0，）时，()g x0 当1x 时，()g x(0)g，即1ln(1)11xx0，1ln(1)11xx -14-综上可知，当1x 时，有11ln(1)1xxx 21.【解析】（1）2lnf xxaxx ，212121axxfxaxxx ，则1 8a ，当18a 时 0,0fx，此时f(x)在0,单调递减，当108a时0 ，方程2210axx 有两个不等的正根12,x x，不妨设12xx，则当 120,xxx时 0fx，当12,xx x时，0fx，这时f(x)不是单调函数，综上，a的取值范围为1,

21、8，（2）由（1）可知当且仅当10,8a时，f(x)有极小值点1x和极大值点2x 且1212xxa，2212x xa，12f xf x 22111222lnlnxaxxxaxx 12121211lnln1122xxxxxx 12121ln12x xxx 1ln 214aa，令 1ln 214g aaa，10,8a，则当10,8a时，221141044agaaaa，则 1ln 214g aaa在10,8a时单调递减，所以 132ln28g ag，即 123 2ln2f xf x，22.【解析】（1）当1a 时，()ln(0)xf xex x，1()xfxex，且(1)fe，曲线()yf x在(1

22、,)e处的切线的斜率(1)1kfe.-15-曲线()yf x在(1,)e处的切线方程为(1)(1)yeex，即(1)10exy；（2）由题意得()xafxex.0 x是()f x的导函数()fx的零点，0000 xafxex，即00 xaex，00lnlnxaex，即 00lnln()xxa.又ea ，则 00lnln()1xxa.令()lng xxx，显然0 x，所以1()10g xx 因此()lng xxx在(0,)上是增函数，且 0(1)1g xg.001x，因此0ln0ax.0000lnxxf xeaxe.23.【解析】（1）函数 1lnf xxxx的定义域是0,.因为 2222213()1112410 xxxfxxxxx 恒成立，所以函数 1lnf xxxx在定义域0,上是单调递增函数.（2）由（1）知 2111fxxx.令 12fxfxm，得21122211101110mxxmxx ，由一元二次方程根与系数关系得12111xx，即1212122xxx xx x，得124xx，12121212121211lnlnln1f xf xxxxxx xx xxx 令124txx，则1212ln1ln1x xx xtt ，令 ln14g tttt，则 1104g ttt，得 432ln2g tg.