一元一次方程复习巩固2589.pdf

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1、梦想不会辜负每一个努力的人.1 一元一次方程单元复习与巩固 一、目标与策略 明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！学习目标：了解一元一次方程及其相关概念，认识从算式到方程是数学的进步。了解解方程的基本目标（使方程逐步转化为x=a的形式），熟悉解一元一次方程的一般步骤，掌握一元一次方程的解法，体会解法中蕴涵的化归思想。能够“找出实际问题中的已知数和未知数，分析它们之间的关系，设未知数，列出方程表示问题中的等量关系”，体会建立数学模型的思想，感受数学的应用价值。重点难点：重点：一元一次方程的解法，列方程解应用题。难点：一元一次方程的解法，列方程解应用题。学习策略：通

2、过观察、归纳得出等式的性质，并利用它们解一元一次方程；通过探究实际问题与一元一次方程的关系，将实际问题转化为数学问题求解，并将求得结果用于实际生活进行检验。二、学习与应用 “凡事预则立，不预则废”。科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对知识网络 详细内容请参看网校资源 ID：#tbjx1#214714 梦想不会辜负每一个努力的人.2 知识点一：一元一次方程及其解的概念 只含有 个未知数，并且未知数的次数都是 的方程叫做一元一次方程。一元一次方程的标准形式是：。使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的 。请你注意：（一）一元一次方程必须满足的 3 个条件：（1）；（2）；（3）；三者缺

3、一不可。（二）判断一个数是否是某方程的解：将其代入方程两边，看两边是否 。知识点二：方程变形解方程的重要依据（一）等式的基本性质（也叫做方程的同解原理）等式的性质 1：。即：。等式的性质 2：。知识要点预习和课堂学习 认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听课学习。请在虚线部分填写预习内容，在实线部分填写课堂学习内容。课堂笔记或者其它补充填在右栏。预习和课堂学习更多知识点解析请学习网校资源ID：#tbjx6#214714。梦想不会辜负每一个努力的人.3 即：。（二）分数的基本的性质:分数的分子、分母同时 的数，分数的值不变。即：（其中 m0）注：分数的基本的

4、性质主要是用于将方程中的小数系数（特别是分母中的小数）化为 ，如方程：5.03x2.04x=1.6，将其化为：=1.6。方程的右边没有变化，这要与“去分母”区别开。知识点三：解一元一次方程的一般步骤：（一）解一元一次方程的基本思路：通过对方程变形，把含有 的项归到方程的一边，把 归到方程的另一边，最终把方程“转化”成 的形式。（二）解一元一次方程的一般步骤是：变形名称 具体做法 变形依据 去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 移项 把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边(记住：移项要变号)合 并 同 类项 把方程化成 ax

5、b(a0)的形式 系数化成 1 在方程两边都除以未知数的系数 a，得到方程 的解xab （三）理解方程 ax=b 在不同条件下解的各种情况，并能进行简单应用:（1）a0 时，方程有唯一解 ；（2）a=0，b=0 时，方程有 ；（3）a=0，b0 时，方程 。知识点四：列一元一次方程解应用题的一般步骤:（一）列一元一次方程解应用题的一般步骤：（1），分析题中已知什么，未知什么，明确各量之间的关系，寻找等量关系 梦想不会辜负每一个努力的人.4（2），一般求什么就设什么为 x，但有时也可以间接设未知数 （3），把相等关系左右两边的量用含有未知数的代数式表示出来，列出方程（4）（5），看方程的解是否符

6、合题意（6）写出答案（二）解应用题的书写格式：设根据题意解这个方程答。注意：（1）在一道应用题中，往往含有几个未知数量，应恰当地选择其中的一个，用字母 示出来，即所设的未知数，然后根据数量之间的关系，将其它几个未知数量用含 的代数式表示。（2）解应用题时，不能漏掉“答”，“设”和“答”中都必须写清单位名称。（3）列方程时，要注意方程两边是同一个数量，并且单位要统一。（4）一般情况下，题目中所给的条件在列方程时不能 使用，也不能漏掉不用。重复利用同一个条件，会得到一个 ，无法求得应用题的解。知识点五：常见的一些等量关系 常见列方程解应用题的几种类型：类型 基本数量关系 等量关系(1)和、差、倍、

7、分问题 较大量较小量多余量 总量倍数倍量 抓住关键性词语(2)等积变形问题 3VVaabh，正方体长方体 hhS31VSV，锥体柱体 变形前后体积相等 (3)行程问题 相遇问题 路程速度时间 甲走的路程乙走的路程两地距离 追及问题 同地不同时出发：前者走的路程追者走的路程 同时不同地出发：前者走的路程两地距离追者所走的路程 梦想不会辜负每一个努力的人.5 顺逆流问题 顺流速度静水速度水流速度 逆流速度静水速度水流速度 顺流的距离逆流的距离 (4)劳力调配问题 从调配后的数量关系中找相等关系，要抓住“相等”“几倍”“几分之几”“多”“少”等关键词语(5)工程问题 工作总量工作效率工作时间 各部分

8、工作量之和 1(6)利润率问题 商品利润 商品利润率 100 售价进价(1利润率)抓住价格升降对利润率的影响来考虑(7)数字问题 设一个两位数的十位上的数字、个位上的数字分别为 a，b，则这 个两位数可表示为 抓住数字所在的位置，新数与原数之间的关系(8)储蓄问题 利息本金利率期数 本息和本金利息本金本金利率期数(1利息税率)(9)按比例分配问题 甲乙丙abc 全部数量各种成分的数量之和(设一份为 x)(10)日历中的问题 日历中每一行上相邻两数，右边的数比左边的数大 ；日历中每一列上相邻的两数，下边的数比上边的数大 。日历中的数 a 的取值范围是_，且都是正整数 知识点六：整式、等式与方程的

9、关系:（一）正确理解代数式、等式和方程的概念 代数式：像1,0，a，2x5 等，这些用 把数或表示数的 连接成的式子，叫做代数式，单独一个数或一个字母也是代数式。等式：用 来表示相等关系的式子叫做等式。如653121，mnnm等都叫做等式，而像ba31，117m2n 不含等号，所以它们是 。梦想不会辜负每一个努力的人.6 方程：含有 的等式叫做方程。如 5x311，3544a等都是方程。理解方程的概念必须明确两点：；。两者缺一不可。（二）整式、等式与方程的区别和联系 区别：（1）定义不同。（2）从是否含有等号来看。方程首先是一个等式，它是用“”将两个 连接起来的等式，而整式仅用 连接起来，不含

10、有等号。（3）等式含有“”，表示左右两边相等，方程是个特殊的 ，但其中必须含有 。所以有：方程是 ，但等式不一定是方程。联系：（1）当含字母的某一个代数式取某一个特定的值时，这个特定的值就和这个代数式构成了一个等式，即这个等式就是 。如：要使代数式 5x1 的值等于 0，即求方程 的解。（2）当两个整式中的字母取特定的值，使这两个整式的值相等时，也构成一个 。如：要使整式21x5 的值与整式43x5 的值相等，即求方程 的解。（3）当含有字母的整式的运算结果等于另一个整式时，也构成 。如：要使整式21x4的值比43x的值大3，即求方程 的解。类型一：一元一次方程的有关概念 例 1、已知下列各式

11、：2x51；871；xy；21xyx2；3xy6；5x3y4z经典例题自主学习 认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完成举一反三。无星号题目要求同学们必须掌握，为基础题型，一个星号的题目综合性稍强。更多拔高题型和分析请到网校学习，对自己有高要求的同学请学习网校资源 ID：#jdlt0#214714 梦想不会辜负每一个努力的人.7 0；nm118；x0。其中方程的个数是()A、5 B、6 C、7 D、8 思路点拨：方程是含有未知数的等式，根据定义逐个进行判断，显然 不合题意。解：总结升华：举一反三：【变式 1】判断下列方程是否是一元一次方程：（1）-2x2+3=x （

12、2）3x-1=2y （3）x+x1=2 （4）2x2-1=1-2(2x-x2)解析：判断是否为一元一次方程需要对原方程进行 后再作判断。答案：【变式 2】已知：(a3)(2a5)x(a3)y60 是一元一次方程，求a 的值。解析：类型二：一元一次方程的解法 解一元一次方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。如果我们在牢固掌握这一常规解题思路的基础上，根据方程原形和特点，灵活安排解题步骤，并且巧妙地运用学过的知识，就可以收到化繁为简、事半功倍的效果。（一）巧凑整数解方程 例 2、解方程：xx759279911 思路点拨：仔细观察发现，含未知数的项的系数和为 ，常数项和为

13、，故直接移项凑成 比先去分母简单。解：举一反三：梦想不会辜负每一个努力的人.8【变式】解方程：02.03.004.005.09.04.0 xx2x5 解：（二）巧用观察法解方程 例 3、解方程：)3(413)2(31)1(21yyy 思路点拨：该方程可化为)3(41)2(31)1(21yyy3，不难看出，当 时，该方程左边三项的值都是 1，即左边右边，原方程是 元 次方程，只能有 个解，于是可求得方程的解 。解：（三）巧去括号法解方程 含多层括号的一元一次方程，要根据方程中各系数的特点，选择适当的去括号的方法，以避免繁杂的计算过程。例 4、解方程：1642534331 x 思路点拨：因为题目中

14、分数的分子和分母具有倍数关系，所以从 向 去括号可以使计算简单。解：举一反三：【变式】解方程：22222212121x 解：梦想不会辜负每一个努力的人.9 （四）运用拆项法解方程 在解有分母的一元一次方程时，可以不直接去分母，而是逆用分数加减法法则，拆项后再合并，有时可以使运算简便。例 5、解方程：2583243xx 思路点拨：注意到_，这样逆用分数加减法法则，可使计算简便。解：（五）巧去分母解方程 当方程的分母含有小数，而小数之间又没有特殊的倍数关系时，若直接去分母则会出现比较繁琐的运算。为了避免这样的运算。应把分母化成整数。化整数时，利用分数的基本性质将各个分子、分母同时扩大相同的倍数即可

15、。例 6、解方程：7.023.107.0 xx1 解：总结升华：（六）巧组合解方程 例 7、解方程：932438535xxxx 思路点拨：按常规解法将方程两边同乘 化去分母，但运算较复杂，注意到左边的第一项和右边的第 项中的分母有公约数 ，左边的第 项和右边的第一项的分母有公约数 ，移项局部通分化简，可简化解题过程。解：梦想不会辜负每一个努力的人.10 （七）巧解含有绝对值的方程 解含有绝对值的方程的基本思想是先去掉绝对值符号，转化为一般的一元一次方程。对于只含一重绝对值符号的方程，依据绝对值的意义，直接去绝对值符号，化为两个一元一次方程分别解之，即若|x|m，则_。例 8、解方程：|x2|3

16、0 解法一：解法二：举一反三：【变式 1】5|x|163|x|4 解析：【变式 2】3142x 解析：小结：解一元一次方程有一般程序化的步骤，我们在解一元一次方程时，既要学会按部就班(严格按步骤)地解方程，又要能随机应变(灵活打乱步骤)解方程。对于一般解题步骤与解题技巧来说，前者是基础，后者是机智，只有真正掌握了一般步骤，才能熟能生巧。解一元一次方程常用的技巧有：（1）有多重括号，去括号与合并同类项可交替进行。（2）当括号内含有分数时，常由外向内先去括号，再去分母。（3）当分母中含有小数时，可用分数的基本性质化成整数。（4）运用整体思想，即把含有未知数的代数式看作整体进行变形。解方程时，认真观

17、察方程的结构特征，灵活采用解方程的一些技巧，可达到事半梦想不会辜负每一个努力的人.11 功倍的效果。类型三：一元一次方程的综合应用题（一）优化方案问题 例 1、由于活动需要，78 名师生需住宿一晚，他们住了一些普通双人间和普通三人间，结果每间客房正好住满，且宾馆给他们打五折优惠，这样一天一共付住宿费 2130 元。请你算一算，他们需要双人普通间和三人普通间各多少间？类型 普通(元/间)豪华(元/间)双人房 140 300 三人房 150 400 解：（二）行程中的追及相遇问题 例 2、甲、乙两人从 A、B 两地同时出发，甲骑自行车，乙骑摩托车，沿同一条路线相向匀速行驶.出发后经 3 小时两人相

18、遇.已知在相遇时乙比甲多行了 90 千米，相遇后经1 小时乙到达 A 地.问甲、乙行驶的速度分别是多少？思路点拨：设甲的速度为x千米/时，题目中所涉及的有关数量及其关系可以用下表表示：相遇前 相遇后 速度 时间 路程 速度 时间 路程 甲 x 390 xx 3x+90 乙 3 相遇前甲行驶的路程+_=相遇前乙行驶的路程；相遇后乙行驶的路程=相遇前甲行驶的路程.解：总结升华：举一反三：【变式】甲、乙两地相距 240 千米，汽车从甲地开往乙地，速度为 36 千米/时，摩托梦想不会辜负每一个努力的人.12 车从乙地开往甲地，速度是汽车的32。摩托车从乙地出发 2 小时 30 分钟后，汽车才开始从甲地

19、开往乙地，问汽车开出几小时后遇到摩托车？分析：本题是一个异地不同时出发的相遇问题，其基本关系是：。虽然 不 同 时 出 发，但 在 相 遇 时，汽 车 所 行 的 路 程 摩 托 车 所 行 的 路 程 ，这就是本题的等量关系。如果设汽车开出 x 小时后与摩托车相遇，则在相遇时，汽车和摩托车所行的路程可表示如图：其中摩托车先行的路程为_千米；摩托车后来所行的路程为_千米。解：（三）日历中的方程 例 3、（1）在 2006 年 8 月的日历中(如图(1)，任意圈出一竖列上相邻的三个数，设中间的一个数为 a，则用含 a 的代数式表示这三个数(从小到大排列)分别是。（2）现将连续自然数 1 至 20

20、06 按图中(如图(2)的方式排成一个长方形阵列，用一个长方形框出 16 个数。在图（2）中框出的这 16 个数的和是。在图(2)中，要使一个长方形框出的 16 个数之和分别等于 2000、2006，是否可梦想不会辜负每一个努力的人.13 能？若不可能，试说明理由；若有可能，请求出该长方形框出的 16 个数中的最小数和最大数。思路点拨：(1)通过观察可以发现，一竖列上相邻的三个数，下面的数总比上面的数大_；(2)经观察不难发现，在这个长方形框里的 16 个数中，第一个数_与最后一个数_的和为_，第二个数与倒数第二个数，第三个数与倒数第三个数，它们的和都是_；设最小的数为 a，由图（2）及（1）

21、可知，这 16 个数分成 8 组，每组的两个数之和都是_。解：总结升华：举一反三：【变式】每人准备一份日历，在各自的日历上任意圈一个竖列上的相邻的四个数，两个分别把自己所圈4 个数的和告诉同伴，由同伴求出这个数。(1)4 个数的和等于 42。(2)4 个数的和等于 60。解：（四）教育储蓄 例 4、小张在银行存了一笔钱，月利率为 2%，利息税为 20%，5 个月后，他一共取出了本息和为 1080 元，问它存入的本金是多少元？解：（五）图表信息题 例 5、小明家使用的是分时电表，按平时段（6：0022：00）和谷时段（22：00次梦想不会辜负每一个努力的人.14 日 6：00）分别计费，平时段每

22、千瓦时电价为 0.61 元，谷时段每千瓦时电价为 0.30元。小明将家里 2005 年 1 月至 5 月的平时段和谷时段的用电量分别用折线图表示（如下图），同时将前 4 个月的用电量和相应电费制成表格（如下表）。月用电量（千瓦时）电费（元）1 90 51.80 2 92 50.85 3 98 49.24 4 105 48.44 5 根据上述信息，解答下列问题：（1）计算 5 月份的用电量及相应的电费，将所得结果填入表中；（2）小明家这 5 个月的平均用电量为_千瓦时；（3）小明家这 5 个月每月用电量是_趋势（选择“上升”或“下降”）；这5 个月每月电费呈_趋势（选择“上升”或“下降”）；（4

23、）小明预计 7 月份家中用电量很大，估计 7 月份用电量可达 500 千瓦时，相应电费将达 243 元，请你根据小明的估计，计算出 7 月份小明家平时段用电量和谷时段用电量 解析：三、总结与测评 要想学习成绩好，总结测评少不了！课后复习是学习不可或缺的环节，它可以帮助我们巩固学习效果，弥补知识缺漏，提高学习能力。总结规律和方法强化所学 请重点学习网校资源ID：#tbjx22#214714 项目 月份（月）梦想不会辜负每一个努力的人.15 解一元一次方程的注意事项：（1）分母是小数时，根据_，把分母转化为_；（2）去分母时，方程两边各项都乘各分母的_，此时不含分母的项切勿漏乘，分数线相当于_，去

24、分母后分子各项应加_；（3）去括号时，不要漏乘括号内的项，不要弄错符号；（4）移项时，切记要_，不要丢项，有时先_再移项，以免丢项；（5）系数化为 1 时，方程两边同乘以系数的_或同除以_，不要弄错符号；（6）不要生搬硬套解方程的步骤，具体问题具体分析，找到最佳解法。列方程解应用题的注意事项：列一元一次方程解决实际问题的一般步骤也可以概括为：设未知数。根据_列方程。_。检验解的合理性，如果合理就用以解决实际问题，不合理则需要重新回到开始。作答。列方程解应用题是将实际问题数学化的过程，这个过程的关键是建立等量关系，通过列方程解决实际问题要把握三个重要环节：一是整体的、系统的审清题意；二是找问题中

25、的等量关系；三是正确求解方程并判断解的合理性，其中，审题是基础，找等量关系是关键，为了找准等量关系，可以借助线段、表格、图形等方法进行分析。知识点：一元一次方程 测评系统分数：模拟考试系统分数：如果你的分数在 80 分以下，请进入网校资源 ID：#cgcp0#214714 做基础达标部分的练习，如果你的分数在 80 分以上，你可以进行能力提升题目的测试。我的收获 习题整理 题目或题目出处 所属类型或知识点 分析及注意问题 成果测评 现在来检测一下学习的成果吧！请到网校测评系统和模拟考试系统进行相关知识点的测试。自我反馈 学完本节知识，你有哪些新收获？总结本节的有关习题，将其中的好题及错题分类整

26、理。如有问题，请到北京四中网校的“名师答疑”或“互帮互学”交流。梦想不会辜负每一个努力的人.16 好题 错题 注：本表格为建议样式，请同学们单独建立错题本，或者使用四中网校错题本进行记录。网校重要资源 知识导学：一元一次方程的复习与巩固(#214714)视听课堂：一元一次方程的解法及方程思想的应用(#24853)；一元一次方程复习(#23657)；若想知道北京四中的同学们在学什么，请去“四中同步”看看吧！和四中的学生同步学习，同步提高！更多资源，请使用网校的学习引领或搜索功能来查看使用。对本知识的学案导学的使用率：好（基本按照学案导学的资源、例题进行复习、预习和进行课堂笔记等，使用率达到 80%以上）中（使用本学案导学提供的资源、例题和笔记，使用率在 50%-80%左右）弱（仅作一般参考，使用率在 50%以下）学生：_ 家长：_ 指导教师：_ 请联系北京四中网校当地分校以获得更多知识点学案导学。