2020年中考数学专题培优二次函数综合应用42487.pdf

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1、 1 2020 年中考数学专题培优 二次函数综合应用 一、解答题（共有 7 道小题）1.如图，直线1yx与 x 轴教育点A，切经过点B(4，m)。点 C在 y 轴负半轴上，满足 OA=OC，抛物线20yaxbxc a经过 A、B、C 三点，且与 x 轴的另一交点为 D。（1）球抛物线的解析式。（2）在抛物线的对称轴上找一点 P，使 PA+PC 的和最小。求出点 P 的坐标。2.如图，已知二次函数22yaxxc的图象经过点C(0，3)，与x轴分别交于点A，点B(3，0)点P是直线BC上方的抛物线上一动点(1)求二次函数22yaxxc的表达式；(2)连接PO，PC，并把POC沿y轴翻折，得到四边形

2、POPC若四边形POPC为菱形，请求出此时点P的坐标；(3)当点P运动到什么位置时，四边形ACPB的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ACPB的最大面积 yxCDBAOxyPBACO 2 3.如图，已知二次函数2yaxbxc的图象与x轴相交于A(1，0)，B(3，0)两点，与y轴相交于点C(0，3)(1)求这个二次函数的表达式；(2)若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PHx轴于点H，与BC交于点M，连接PC 求线段PM的最大值；当PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P的坐标 4.如图，在平面直角坐标系中，二次函数265 yxx的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其顶点

3、为P，连接PA、AC、CP，过点C作y轴的垂线l(1)求点P，C的坐标；(2)直线l上是否存在点Q，使PBQ的面积等于PAC的面积的 2 倍？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由 yxMCAOBPHyxDBAPO 3 5.如图，已知二次函数22yaxxc的图象经过点C(0，3)，与x轴分别交于点A，点B(3，0)点P是直线BC上方的抛物线上一动点(1)求二次函数22yaxxc的表达式；(2)连接PO，PC，并把POC沿y轴翻折，得到四边形POPC若四边形POPC为菱形，请求出此时点P的坐标；(3)当点P运动到什么位置时，四边形ACPB的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ACPB的最大

4、面积 6.如图，直线1yx与 x 轴教育点A，切经过点B(4，m)。点 C在 y 轴负半轴上，满足 OA=OC，抛物线20yaxbxc a经过 A、B、C 三点，且与 x 轴的另一交点为 D。（1）球抛物线的解析式。xyPBACO 4（2）在 y 轴上是否存在一点 G，似的GBGD 的值最大？若存在，求出点 G 的左边；若不存在，请说明理由。7.已知顶点为A抛物线2122ya x经过点322B，点522C，(1)求抛物线的解析式；(2)如图 1，直线AB与x轴相交于点M，y轴相交于点E，抛物线与y轴相交于点F，在直线AB上有一点P，若OPMMAF，求POE的面积；(3)如图 2，点Q是折线AB

5、C上一点，过点Q作QNy轴，过点E作ENx轴，直线QN与直线EN相交于点N，连接QE，将QEN沿QE翻折得到1QENV，若点1N落在x轴上，请直接写出Q点的坐标 参考答案 一、解答题（共有 7 道小题）yxCDBAOy图2N1NFEMACBOQyx图1FEMACBOP 5 1.（1）解：把 y=0 代入1yx，得 x=-1，所以 A(-1，0)由 OA=OC 可得 C(0，-1)将 B(4，m)代入1yx可得 m=5，所以 B(4，5)所以，将 A(-1，0)，B(4，5)，C(0，-1)代入20yaxbxc a可得 0516411abcabc，解得12121abc ，进而，211122yxx

6、（2）22111191=22228yxxx 所以，函数的对称轴为直线12x，点 A(-1，0)关于直线12x 的对称点为 A(2，0)。AC与直线12x 的交点即为点 P。设 AC 所在直线解析式为ykxb，进而可得112yx 当12x 时13124yx 所以，点 P 的坐标为13,24 2.解：(1)将点B和点C的坐标代入函数解析式，得 9603acc，解得13ac，二次函数的解析是为223yxx；(2)若四边形POPC为菱形，则点P在线段CO的垂直平分线上，如图 1，连接PP，则PECO，垂足为E，6 C(0，3)，E(0，32)，点P的纵坐标32，当y32时，即23232xx ，解得12

7、102x，22102x(不合题意，舍)，点P的坐标为(2102，32)；(3)如图 2，xyP图1PEBACOxy图2QBACOPF 7 P在抛物线上，设P(m，m22m3)，设直线BC的解析式为ykxb，将点B和点C的坐标代入函数解析式，得 3303kb，解得13kb 直线BC的解析为yx3，设点Q的坐标为(m，m3)，PQm22m3(m3)m23m 当y0 时，x22x30，解得x11，x23，OA1，AB3(1)4，ABCPCQPBQABPCSSSSVVV四边形 12ABOC12PQOF12PQFB 124312(m23m)3 3375228m2，当m32时，四边形ABPC的面积最大 当

8、m32时，m22m3154，即P点的坐标为(32，154)当点P的坐标为(32，154)时，四边形ACPB的最大面积值为758 3.解：(1)将A，B，C代入函数解析式，得 8 09303abcabcc，解得123abc ，这个二次函数的表达式yx22x3；(2)设BC的解析式为ykxb，将B，C的坐标代入函数解析式，得 303kbb，解得13kb，BC的解析式为yx3，设M(n，n3)，P(n，n22n3)，PM(n3)(n22n3)n23n(n32)294，当n32时，PM最大94；当PMPC时，(n23n)2n2(n22n33)2，解得n1n20(不符合题意，舍)，n33，n22n30，

9、P(3，0)当PMMC时，(n23n)2n2(n33)2，解得n10(不符合题意，舍)，n232，n332(不符合题意，舍)，n22n3242，P(32，242)；综上所述：P(32，242)4.解：(1)yx26x5(x3)24，9 顶点P(3，4)，令x0 得到y5，C(05)(2)令y0，x26x50，解得x1 或 5，A(1，0)，B(5，0)，设直线PC的解析式为ykxb，则有534bkb，解得35kb，直线PC的解析式为y3x5，设直线交x轴于D，则D(53，0)，设直线PQ交x轴于E，当BE2AD时，PBQ的面积等于PAC的面积的 2 倍，AD23，BE43，E(113，0)或E

10、(193，0)，则直线PE的解析式为y6x22，Q(92，5)，直线PE的解析式为y65x385，Q(212，5)，综上所述，满足条件的点Q(92，5)，Q(212，5)5.解：(1)将点B和点C的坐标代入函数解析式，得 9603acc ，yxEEQQDBAlCPO 10 解得13ac，二次函数的解析是为223yxx；(2)若四边形POPC为菱形，则点P在线段CO的垂直平分线上，如图 1，连接PP，则PECO，垂足为E，C(0，3)，E(0，32)，点P的纵坐标32，当y32时，即23232xx ，解得12102x，22102x(不合题意，舍)，点P的坐标为(2102，32)；(3)如图 2，

11、P在抛物线上，设P(m，m22m3)，设直线BC的解析式为ykxb，将点B和点C的坐标代入函数解析式，得 3303kb，解得13kb 直线BC的解析为yx3，设点Q的坐标为(m，m3)，PQm22m3(m3)m23m 当y0 时，x22x30，xyP图1PEBACOxyP图2QBACOPF 11 解得x11，x23，OA1，AB3(1)4，ABCPCQPBQABPCSSSSVVV四边形 12ABOC12PQOF12PQFB 124312(m23m)3 3375228m2，当m32时，四边形ABPC的面积最大 当m32时，m22m3154，即P点的坐标为(32，154)当点P的坐标为(32，15

12、4)时，四边形ACPB的最大面积值为758 6.（1）解：把 y=0 代入1yx，得 x=-1，所以 A(-1，0)由 OA=OC 可得 C(0，-1)将 B(4，m)代入1yx可得 m=5，所以 B(4，5)所以，将 A(-1，0)，B(4，5)，C(0，-1)代入20yaxbxc a可得 0516411abcabc，解得12121abc ，进而，211122yxx（2）连接 BD 并延长，交 y 轴于点 G，则点 G 即为所求。设 BD 所在直线解析式为ykxb，代入 B(4，5)，D(2，0)进而可得552yx。12 当 x 时5552yx 所以，存在这样的点 G(0，-5)7.解：(1

13、)把点322B，代入2122ya x，解得：a1，抛物线的解析式为：2122yx；(2)由2122yx知A(12，2)，设直线AB解析式为：ykxb，代入点A，B的坐标，得：122322kbkb ，解得：21kb ，直线AB的解析式为：y2x1，易求E(0，1)，704F，102M，若OPMMAF，OPAF，OPEFAE，14334OPOEFAFE，2244175(0)(2)33243OPFA ，设点P(t，2t1)，则：225(21)3tt 解得1215t ，223t ，13 由对称性知；当1215t 时，也满足OPMMAF，1215t ，223t 都满足条件，POE的面积12OE|t|，P

14、OE的面积为115或13(3)若点Q在AB上运动，如图 1，设Q(a，2a1)，则NEa、QN2a，由翻折知QNQN2a、NENEa，由QNEN90易知QRNNSE，QRRNQNN SESEN，即2121QRaaESa2，QR2、ES212a，由NEESNSQR可得a212a2，解得：a54，Q(54，32)；若点Q在BC上运动，且Q在y轴左侧，如图 2，设NEa，则NEa，易知RN2、SN1、QNQN3，QR5、SE5a，在RtSEN中，(5a)212a2，解得：a3 55，图1ENSRQN图2EQRSNN 14 Q(3 55，2)；若点Q在BC上运动，且点Q在y轴右侧，如图 3，设NEa，则NEa，易知RN2、SN1、QNQN3，QR5、SE5a，在RtSEN中，(5a)212a2，解得：a3 55，Q(3 55，2)综上，点Q的坐标为(54，32)或(3 55，2)或(3 55，2)图3ESQRNN