2020年中考数学压轴题专项训练四边形的综合42683.pdf

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1、 1 2020 年数学中考压轴题专项训练：四边形的综合 1如图，四边形ABCD是直角梯形，ADBC，ABAD，且ABAD+BC，E是DC的中点，连结BE并延长交AD的延长线于G（1）求证：DGBC；（2）F是AB边上的动点，当F点在什么位置时，FDBG；说明理由（3）在（2）的条件下，连结AE交FD于H，FH与HD长度关系如何？说明理由 （1）证明：ADBC，DGECBE，GDEBCE，E是DC的中点，即 DECE，DEGCEB（AAS），DGBC （2）解：当F运动到AFAD时，FDBG 理由：由（1）知DGBC，ABAD+BC，AFAD，BFBCDG，ABAG，BAG90，AFDABG45

2、，FDBG （3）解：结论：FHHD 理由：由（1）知GEBG，又由（2）知ABG为等腰直角三角形，所以AEBG，FDBG，AEFD，2 AFD为等腰直角三角形，FHHD 2如图，在矩形ABCD中，过BD的中点O作EFBD，分别与AB、CD交于点E、F连接DE、BF（1）求证：四边形BEDF是菱形；（2）若M是AD中点，联结OM与DE交于点N，ADOM4，则ON的长是多少？（1）证明：四边形ABCD是矩形，ABCD，DFOBEO，DOFEOB，ODOB，DOFBOE（AAS），DFBE，四边形BEDF是平行四边形，EFBD，四边形BEDF是菱形 （2）解：DMAM，DOOB，OMAB，AB2O

3、M8，DNEN，ONBE，设DEEBx，在 RtADE中，则有x242+（8x）2，3 解得x5，ON 3（1）如图 1，四边形EFGH中，FEEH，EFG+EHG180，点A，B分别在边FG，GH上，且AEBFEH，求证：ABAF+BH（2）如图 2，四边形EFGH中，FEEH，点M在边EH上，连接FM，EN平分FEH交FM于点N，ENM，FGH1802，连接GN，HN 找出图中与NH相等的线段，并加以证明；求NGH的度数（用含 的式子表示）（1）证明：如图 1 中，延长BH到M，使得HMFA，连接EM F+EHG180，EHG+EHM180，FEHM，AEHE，FAHM，EFAEHM（SA

4、S），EAEM，FEAHEM，EABFEH，FEA+BEHHEM+BEHBEMFEH，AEBBEM，4 BEBE，EAEM，AEBMEB（SAS），ABBM，BMBH+HMBH+AF，ABAF+BH （2）解：如图 2 中，结论：NHFN 理由：NE平分FEH，FENHEN，EFEH，ENEN，ENFENH（SAS），NHFN ENFENH，ENFENH，ENM，ENFENH180，MNH1801802，5 FGH1802，MNHFGH，MNH+FNH180，FGH+FNH180，F，G，H，N四点共圆，NHNF，NGHNGFFGH90 4如图，已知ABC中，ACB90，AC4，BC3，点M、

5、N分别是边AC、AB上的动点，连接MN，将AMN沿MN所在直线翻折，翻折后点A的对应点为A （1）如图 1，若点A恰好落在边AB上，且ANAC，求AM的长；（2）如图 2，若点A恰好落在边BC上，且ANAC 试判断四边形AMAN的形状并说明理由；求AM、MN的长；（3）如图 3，设线段NM、BC的延长线交于点P，当且时，求CP的长 解：（1）如图 1 中，6 在 RtABC中，C9 0，AC4，BC3，AB5，AA，ANMC90，ANMACB，AM （2）如图 2 中，NAAC，AMNNMA，由翻折可知：MAMA，AMNNMA，MNAAMN，ANAM，7 AMAN，AMAN，四边形AMAN是平

6、行四边形，MAMA，四边形AMAN是菱形 连接AA交MN于O设AMMAx，MAAB，解得x，AM，CM，CA，AA，四边形AMAN是菱形，AAMN，OMON，OAOA，OM，MN2OM （3）如图 3 中，作NHBC于H 8 NHAC，NH，BH，CHBCBH3，AMAC，CMACAM4，CMNH，PC1 5如图，四边形ABCD为平行四边形，AD1，AB3，DAB60，点E为边CD上一动点，过点C作AE的垂线交AE的延长线于点F（1）求D的度数；（2）若点E为CD的中点，求EF的值；（3）当点E在线段CD上运动时，是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由 解：（1）如图 1

7、中，9 四边形ABCD是平行四边形，ABCB，ADC+DAB180，DAB60，ADC120 （2）如图 1 中，作AHCD交CD的延长线于H 在 RtADH中，H90，ADH60，AD2，AHADsin60，DHADcos60，DEEC，EHDH+DE2，AE，CFAF，FH90，AEHCEF，AEHCEF，EF （3）如图 2 中，作AFC的外接圆O，作AHCD交CD的郯城县于H，作OKCD于K，10 交O于M，作FPCD交AD的延长线于P，作MNCD交AD的延长线于M，作NQCD于Q DEPF，AD是定值，PA定值最大时，定值最大，观察图象可知，当点F与点M重合时，PA定值最大，最大值A

8、N的长，由（2）可知，AH，CH，H90，AC，OMAC，OKAH，AOOC，KHKC，OK，MKNQ，在 RtNDQ中，DN，ANAD+DN+，11 的最大值+6如图，在边长为 2 的正方形ABCD中，点P是射线BC上 一动点（点P不与点B重合），连接AP、DP，点E是线段AP上一点，且ADEAPD，连接BE（1）求证：AD2AEAP；（2）求证BEAP；（3）直接写出的最小值 （1）证明：DAEPAD，ADEAPD，ADEAPD，AD2AEAP （2）证明：四边形ABCD是正方形，ADAB，ABC90，AB2AEAP，BAEPAB，ABEAPB，AEBABP90，BEAP （3）ADEAP

9、D，12，AD2，DE最小时，的值最小，如图，作ABE的外接圆 O，连接OD，OE，易知OE1，OD，DEODOE1，DE的最小值为1，的最小值 7在正方形ABCD中，点E是BC边上一点，连接AE （1）如图 1，点F为AE的中点，连接CF已知 tanFBE，BF5，求CF的长；（2）如图 2，过点E作AE的垂线交CD于点G，交AB的延长线于点H，点O为对角线AC的中点，连接GO并延长交AB于点M，求证：AM+BHBE 解：（1）RtABE中，BF为中线，BF5，AE10，FE5，作FPBC于点P，RtBFP中，13 BP3，FP4，在等腰三角形BFE中，BE2BP6，由勾股定理求得，CP83

10、5，；（2）ACDBAC45，AOCO，AOMCOG，证明AMOCGO（ASA），AMGC，过G作GP垂直AB于点P，得矩形BCGP，CGPB，ABPG，AEBH，ABEGPH，ABEGPH（ASA），BEPHPB+BHCG+BHAM+BH 8阅读理解：如图 1，若一个四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为垂美四边形（1）概念理解：如图 2，在四边形ABCD中，ABAD，CBCD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；14（2）性质探究：如图 1，试在垂美四边形ABCD中探究AB2，CD2，AD2，BC2之间的关系，并说明理由；（3）解决问题：如图 3，分别以 RtABC的直角边A

11、C和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结CE、BG、GE、CE交BG于点N，交AB于点M已知AC，AB2，求GE的长 解：（1）如图 2，四边形ABCD是垂美四边形；理由如下：连接AC、BD交于点E，ABAD，点A在线段BD的垂直平分线上，CBCD，点C在线段BD的垂直平分线上，直线AC是线段BD的垂直平分线，ACBD，即四边形ABCD是垂美四边形；（2）猜想结论：AB2+CD2AD2+BC2，证 明：如图 1，在四边形ABCD中，ACBD，AODAOBBOCCOD90，由勾股定理得：AB2+CD2AO2+BO2+OD2+OC2AD2+BC2AO2+BO2+OD2+OC2 A

12、B2+CD2AD2+BC2，15（3）如图 3，连接CG，BE，CAGBAE90，CAG+BACBAE+BAC，即GABCAE，在GAB和CAE中，FMNG图 3EDCAB GABCAE（SSS），ABGAEC，AEC+AME90，ABG+BMN90，BNC90，即BGCE，四边形CGEB是垂美四边形，由（2）得：EG2+BC2CG2+BE2，AB2，BC1，EG2CG2+BE2BC26+8213，9已知：如图，长方形ABCD中，ABBD90，ABCD4 米，ADBC8米，点M是BC边的中点，点P从点A出发，以 1 米/秒的速度沿AB方向运动再过点B沿BM方向运动，到点M停止运动，点O以同样的

13、速度同时从点D出发沿着DA方向运动，到点A停止运动，设点P运动的时间为x秒（1）当x2 秒时，线段AQ的长是 6 米；（2）当点P在线段AB上运动时，图中阴影部分的面积发生改变吗？请你作出判断并说明理由 16（3）在点P，Q的运动过程中，是否存在某一时刻，使得BPDQ？若存在，求出点P的运动时间x的值；若不存在，请说明理由 解：（1）四边形ABCD是矩形，ADBC8，DQ2，AQADDQ826，故答案为 6（2）结论：阴影部分的面积不会发生改变 理由：连结AM，作MHAD于H则四边形ABMH是矩形，MHAB4 S阴SAPM+SAQMx4+（8x）416，阴影面积不变；（3）当点P在线段AB上时

14、，BP4x，DQx BPDQ，4xx，x3 当点P在线段BM上时，BPx4，DQx BPDQ，17 x4x，x6 所以当x3 或 6 时，BPDQ 10A，B，C，D是长方形纸片的四个顶点，点E、F、H分别 是边AB、BC、AD上的三点，连结EF、FH（1）将长方形纸片ABCD按图所示的方式折叠，FE、FH为折痕，点B、C、D折叠后的对应点分别为B、C、D，点B在FC上，则EFH的度数为 90；（2）将长方形纸片ABCD按图所示的方式折叠，FE、FH为折痕，点B、C、D折叠后的对应点分别为B、C、D，若BFC18，求EFH的度数；（3）将长方形纸片ABCD按图所示的方式折叠，FE、FH为折痕，

15、点B、C、D折叠后的对应点分别为B、C、D，若EFHm，求BFC的度数为 1802m 解：（1）沿EF，FH折叠，BFEBFE，CFHCFH，点B在FC上，EFH（BFB+CFC）18090，故答案为：90；（2）沿EF，FH折叠，可设BFEBFEx，CFHCFHy，2x+18+2y180，x+y81，EFHx+18+y99；（3）沿EF，FH折叠，可设BFEBFEx，CFHCFHy，18 EFH180BFECFH180（x+y），即x+y180m，又EFHEFBBFC+CFHxBFC+y，BFC（x+y）EFH180mm1802m，故答案为：1802m 11勾股定理是数学史上非常重要的一个定

16、理早在 2000 多年以前，人们就开始对它进行研究，至今已有几百种证明方法在欧几里得编的原本中证明勾股定理的方法如下，请同学们仔细阅读并解答相关问题：如图，分别以 RtABC的三边为边长，向外作正方形ABDE、BCFG、ACHI（1）连接BI、CE，求证：ABIAEC；（2）过点B作AC的垂线，交AC于点M，交IH于点N 试说明四边形AMNI与正方形ABDE的面积相等；请直接写出图中与正方形BCFG的面积相等的四边形（3）由第（2）题可得：正方形ABDE的面积+正方形BCFG的面积 正方形ACHI 的面积，即在 RtABC中，AB2+BC2 AC2 （1）证明：四边形ABDE、四边形ACHI是

17、正方形，ABAE，ACAI，BAECAI90，EACBAI，在ABI和AEC中，ABIAEC（SAS）；（2）证明：BMAC，AIAC，BMAI，19 四边形AMNI的面积2ABI的面积，同理：正方形ABDE的面积2AEC的面积，又ABIAEC，四边形AMNI与正方形ABDE的面积相等 解：四边形CMNH与正方形BCFG的面积相等，理由如下：RtABC中，AB2+BC2AC2，正方形ABDE的面积+正方形BCFG的面积正方形ACHI的面积，由得：四边形AMNI与正方形ABDE的面积相等，四边形CMNH与正方形BCFG的面积相等；（3）解：由（2）得：正方形ABDE的面积+正方形BCFG的面积正

18、方形ACHI的面积；即在 RtABC中，AB2+BC2AC2；故答案为：正方形ACHI，AC2 12在长方形纸片ABCD中，点E是边CD上的一点，将AED沿AE所在的直线折叠，使点D落在点F处（1）如图 1，若点F落在对角线AC上，且BAC54，则DAE的度数为 18 （2）如图 2，若点F落在边BC上，且AB6，AD10，求CE的长（3）如图 3，若点E是CD的中点，AF的沿长线交BC于点G，且AB6，AD10，求CG的长 解：（1）四边形ABCD是矩形，BAD90，BAC54，DAC905436，由折叠的性质得：DAEFAE，20 DAEDAC18；故答案为：18；（2）四边形ABCD是矩

19、形，BC90，BCAD10，CDAB6，由折叠的性质得：AFAD10，EFED，BF8，CFBCBF1082，设CEx，则EFED6x，在 RtCEF中，由勾股定理得：22+x2（6x）2，解得：x，即CE的长为；（3）连接EG，如图 3 所示：点E是CD的中点，DECE，由折叠的性质得：AFAD10，AFED90，FEDE，EFG90C，在 RtCEG和FEG中，RtCEGFEG（HL），CGFG，设CGFGy，则AGAF+FG10+y，BGBCCG10y，在 RtABG中，由勾股定理得：62+（10y）2（10+y）2，解 得：y，即CG的长为 21 13如图，矩形ABCD中，AB6cm，

20、AD8cm，点P从点A出发，以每秒一个单位的速度沿ABC的方向运动；同时点Q从点B出发，以每秒 2 个单位的速度沿BCD的方向运动，当其中一点到达终点后两点都停止运动设两点运动的时间为t秒（1）当t 7 时，两点停止运动；（2）设BPQ的面积面积为S（平方单位）求S与t之间的函数关系式；求t为何值时，BPQ面积最大，最大面积是多少？解：（1）四边形ABCD是矩形，ADBC8cm，ABCD6cm，BC+AD14cm，t1427，故答案为 7 （2）当 0t4 时，S（6t）2tt2+6t 当 4t6 时，S（6t）84t+24 当 6t7 时，S（t6）（2t8）t210t+24 22 当 0t

21、4 时，S（6t）2tt2+6t（t3）2+9，10，t3 时，PBQ的面积最大，最小值为 9 当 4t6 时，S（6t）84t+24，40，t4 时，PBQ的面积最大，最大值为 8，当 6t7 时，S（t6）（2t8）t210t+24（t5）21，t7 时，PBQ的面积最大，最大值为 3，综上所述，t3 时，PBQ的面积最大，最大值为 9 14综合实践：问题情境 数学活动课上，老师和同学们在正方形中利用旋转变换探究线段之间的关系探究过程如下所示：如图 1，在正方形ABCD中，点E为边BC的中点将DCE以点D为旋转中心，顺时针方向旋转，当点E的对应点E落在边AB上时，连接CE“兴趣小组”发现的

22、结论是：AECE；“卓越小组”发现的结论是：DECE，DECE 解决问题（1）请你证明“兴趣小组”和“卓越小组”发现的结论；拓展探究 证明完“兴趣小组”和“卓越小组”发现的结论后，“智慧小组”提出如下问题：如图 2，连接CC，若正方形ABCD的边长为 2，求出CC的长度（2）请你帮助智慧小组写出线段CC的长度（直接写出结论即可）（1）证明：DEC由DEC旋转得到，23 DCDC，CDCE90 又四边形ABCD是正方形，DADC，A90，DADC，DEDE，RtDAERtDCE（HL），AECE 点E为BC中点，CEAECE，点E为AB的中点 BECE，又DCBC，DCECBE90，DCECBE

23、（SAS），DECE，CDEECB，CDE+DEC90，ECB+CED90，DECE （2）解：如图 2 中，作CMCD于M，交AB于N ABCD，CMCD，CMAB，DMCCNEDCE90，MDC+DCM90，DCM+ECN90，MDCECN，24 DMCCNE，2，设NEx，则AMAN1+x，CM2x，CN（1+x），MNAD2，2x+（1+x）2，解得x，CM2（1+），MC，CC 15在ABC中，AD平分BAC交BC于D，MDN的两边分别与AB，AC相交于M，N两点，且DMDN（1）如图甲，若C90，BAC60，AC9，MDN120，NDAB 写出MDA 90，AB的长是 18 求四边

24、形AMDN的周长（2）如图乙，过D作DFAC于F，先补全图乙再证明AM+AN2AF 解：（1）AD平分BAC，BADCADBAC30，NDAB，NDABAD30，MDAMDNNDA1203090，C90，BAC60，ABC30，25 ACAB，AB2AC18，故答案为：90，18；ABC30，NDAB，NDC30，又MDN120，MDB30，MADNADADNMBD30，BMMD，DNAN，DMDN，BMMDDNAN，在 RtADM中，设MDx，则AM2x，BMMDDNANx，AB18，3x18，x6，AM12，MDDNAN6，四边形AMDN的周长AM+MD+DN+AN12+6+6+630；（2）补全图如图乙所示：证明：过点D作DEAB于E，如图丙所示：DEAB，DFAC，AD平分BAC，DEMDFN90，DEDF，在 RtDEA和 RtDFA中，RtDEARtDFA（HL），AEAF，在 RtDEM和 RtDFN中，RtDEMRtDFN（HL），EMFN，26 AM+ANAE+EM+AFNF2AF