江苏省(上冈高级中学等)四校2020-2021学年高一年级下学期期中联考数学试卷4242.pdf

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1、试卷第 1 页，总 6 页 2020/2021 学年度高一年级第二学期四校期中联考试卷 数学试题 第 I 卷（选择题）请点击修改第 I 卷的文字说明 一、单选题(共 40 分)1(本题 5 分)若i为虚数单位,a bR且2ii,iab则复数iab的模等于 A2 B3 C5 D6 2(本题 5 分)若点(3,4)P 为角终边上一点，则cos 24的值为（）A17 250 B17 250 C31 250 D31 250 3(本题 5 分)已知向量=（1，k），=（2，2），且+与 共线，那么 的值为（）A1 B2 C3 D4 4(本题 5 分)在正方体1111ABCDABC D中O为底面ABCD的

2、中心，E为1C C的中点，则异面直线1D A与EO所成角的正弦值为 A22 B33 C32 D63 5(本题 5 分)已知复数z满足i zza i(i为虚数单位)，且2z，则正数a的值为 A2 B1 C2 D12 6(本题 5 分)已知ABC的面积为5 3，6A，5AB，则BC 试卷第 2 页，总 6 页 A2 3 B2 6 C3 2 D13 7(本题 5 分)设非零向量,a b的夹角为，若2ab，且不等式2abab对任意恒成立，则实数的取值范围为（）A1,3 B1,5 C7,3 D5,7 8(本题 5 分)古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有阴眼，阴鱼

3、的头部有个阳眼，表示万物都在相互转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律.图 2（正八边形ABCDEFGH）是由图 1（八卦模型图）抽象而得到，并建立如下平面直角坐标系，设1OA.则下述四个结论：以直线OH为终边的角的集合可以表示为32,4kkZ；以点O为圆心、OA为半径的圆的弦AB所对的弧长为4；22OA OD；2,2BF 中，正确结论的个数是（）A1 B2 C3 D4 二、多选题(共 20 分)9(本题 5 分)在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，22abbc，则（）A22sinsinsinsinABBC B1 2coscbA 试

4、卷第 3 页，总 6 页 C2AB DABC不可能为锐角三角形 10(本题 5 分)已知与为单位向量，且，向量满足，则的可能取值有（）A2 B3 C4 D5 11(本题 5 分)一几何体的平面展开图如图所示，其中四边形ABCD为正方形，E、F分别为PB、PC的中点，在此几何体中，给出的下面结论中正确的有 A直线AE与直线BF异面 B直线AE与直线DF异面 C直线EF平面PAD D直线DF 平面PBC 12已知函数()|cos 2|cos|f xxx，有下列四个结论，其中正确的结论为（）A()f x在区间33,42上单调递增 B是()f x的一个周期 C()f x的值域为2,22 D()f x的

5、图象关于y轴对称 第 II 卷（非选择题）请点击修改第 II 卷的文字说明 三、填空题(共 20 分)ababc2cabc试卷第 4 页，总 6 页 13(本题 5 分)计算：27345 123 4iii ii _.14(本题 5 分)已知ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若5 cos45cosbAcBa，则222tancos22cossintan22AAAAB_ 15(本题 5 分)16在中，为线段上一点，则PCPB 的最小值为_ 16(本题 5 分,第一空 2 分，第二空 3 分)在ABC中，若1cos4B，2b，则11tantanAC的最小值为_，ABC面积的最大值为_ 四

6、、解答题(共 70 分)17(本题 12 分)已知函数 223sin2 3sin cos5cosf xxxxx（1）若 5f，求tan的值；（2）设ABC三内角,A B C所对边分别为,a b c且2222222acbcabcac，求 f x在0,B上的值域 18(本题 12 分）已知复数z同时满足下列两个条件：z的实部和虚部都是整数，且在复平面内对应的点位于第四象限；421zz（）求出复数z；（）求|22|iiz ABC90C30B2AC PAB试卷第 5 页，总 6 页 19(本题 12 分如图，四棱锥PABCD，PA 平面 ABCD，四边形 ABCD 是直角梯形，/ADBC，90BAD，

7、2BCAD，E 为 PB 中点.（1）求证：/AE平面 PCD；（2）求证：AEBC.20.(本题 12 分)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知四边形OABC是等腰梯形，(6,0),(1,3)AC，点M满足12OMOA，点P在线段BC上运动（包括端点）.（1）求OCM的余弦值；（2）是否存在实数，使()OAOPCM，若存在，求出满足条件的实数的取值范围，若不存在，请说明理由.21(本题 12 分)如图，直角ABC中，点 M，N 在斜边 BC 上（M，N 异于 B，C，且N 在 M，C之间）.试卷第 6 页，总 6 页 （1）若 AM 是角 A 的平分线，3AM，且2CMMB，求三角形 ABC

8、 的面积；（2）已知3AB，AC3 3，6MAN，设BAM.若21sin7，求 MN 的长；求AMN面积的最小值.22已知向量 11312acosxbsinxf xaba，函数.（1）求函数 f（x）的单调增区间.（2）若方程 23002fxfxmx 在，上有解，求实数 m 的取值范围.（3）设 1122g xfx，已知区间a，b（a，bR 且 ab）满足：yg（x）在a，b上至少含有 100 个零点，在所有满足上述条件的a，b中求 ba 的最小值.答案第 1 页，总 22 页 参考答案 一、选择题 5 分每题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C C D B

9、A D A B AB ABC AC CD 1C 【详解】2i2iiiaab,则12ab，所以i5ab，故选 C.2C【分析】由题意，求出sin,cos，根据倍角公式求出sin 2,cos 2，再根据两角差的余弦公式把cos 24展开，即得答案.【详解】点(3,4)P 为角终边上一点，22224433sin,cos553434，22224324347sin22sincos2,cos2cossin55255525 ，2272431 2cos 2cos2 cossin2 sincos2sin244422252550.故选：C.【点睛】答案第 2 页，总 22 页 本题考查三角函数的第二定义、倍角公式

10、、两角差的余弦公式，属于基础题.3D【解析】试题分析：利用向量的运算法则求出两个向量的和；利用向量共线的充要条件列出方程求出k；利用向量的数量积公式求出值 解：=（3，k+2）共线 k+2=3k 解得 k=1 =（1，1）=12+12=4 故选 D 点评：本题考查向量的运算法则、考查向量共线的充要条件、考查向量的数量积公式 4B【分析】取 BC 中点为 M，连接 OM，EM 找出异面直线夹角为OEM，在三角形中利用边角关系得到答案.【详解】取 BC 中点为 M，连接 OM，EM 在正方体1111ABCDABC D中O为底面ABCD的中心，E为1C C的中点 易知：1ADEM 答案第 3 页，总

11、 22 页 异面直线1D A与EO所成角为OEM 设正方体边长为 2，在EMO中：1,2,3OMEMOE 3sin3OEM 故答案选 B【点睛】本题考查了立体几何里异面直线的夹角，通过平行找到对应的角是解题的关键.5A【分析】由已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，再利用复数求模公式计算即可得到答案.【详解】由0i zza i a ，得111122a iia iaaziiii ，又2z，所以22222aa，解得2a.故选：A【点睛】本题主要考查复数代数形式的乘除运算和复数模的求法，属于基础题.答案第 4 页，总 22 页 6D【详解】因为6A，5AB，ABC的面积为1115 3s

12、in5222AB ACAAC，解得：4 3AC，222cosBCABACAB ACA325482 5 4 3132 ，故选D 7A【分析】根据题先利用平面向量的数量积的运算法则进行转化为2(13)(84)cos0恒成立，然后结合函数的恒成立，列出不等式组，即可求解.【详解】由题意，非零向量,a b的夹角为，且2ab，则2cos2cosa babb，不等式2abab对任意恒成立，所以22(2)()abab，即22222442aa bbaa bb，整理得2(13)(84)cos0恒成立，因为cos1,1，所以221384013840 ，即7315 ，可得13，即实数的取值范围为1,3.故选：A.答

13、案第 5 页，总 22 页【点睛】求平面向量的模的两种方法：1、利用aa a及22()2abaa bb，把向量模的运算转化为数量积的运算；2、利用向量的几何意义，即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解.8B【分析】根据终边相同的角的定义可判断命题的正误；利用扇形的弧长公式可判断命题的正误；利用平面向量数量积的定义可判断命题的正误；利用平面向量的坐标运算可判断命题的正误.【详解】对于命题，以直线OH为终边的角的集合可以表示为3,4kkZ，命题错误；对于命题，4AOB，以点O为圆心、OA为半径的圆的弦AB所对的弧长为4，命题正确；对于命题，由平面向量数量积

14、的定义可得32cos42OA ODOA OD，命题错误；对于命题，易知点22,22B，22,22F，所以，2,2BF ，命题正确.故选：B.答案第 6 页，总 22 页【点睛】本题以数学文化为背景，考查了终边相同的角的集合、扇形的弧长、平面向量数量积的定义以及平面向量的坐标运算，考查计算能力，属于基础题.9AB【分析】根据题中条件，先数形结合表示出向量 a，b 的和，再利用向量 c 与向量 a,b 和之差，表示出向量 c 的终点轨迹，是以（2,2）为圆心，半径为 2 的圆，所以向量 c 的模长范围22,22,依据选项选出 AB。10ABC【分析】根据题中条件，先由正弦定理，可判断 A 正确；根

15、据余弦定理，可判断 B 正确；根据两角和与差的正弦公式，可判断 C 正确；根据特殊值可判断 D 正确.【详解】因为22abbc，由正弦定理可得，22sinsinsinsinABBC，即 A 正确；又由22222cosabbcbcbcA可得2 cosbcbA，即1 2coscbA，所以B 正确；由2 cosbcbA可得sinsin2sincossincossincosBABBAABBAsin AB，所以2AB或BAB（舍），故 C 正确；由上推导可知，222ABabbc，所以ABC可能为锐角三角形，如：80A，40B，60C，所以 D 错误；答案第 7 页，总 22 页 故选：ABC【点睛】本题

16、主要考查正余弦定理的简单应用，涉及两角和与差的正弦公式，属于常考题型.11【答案】AC【分析】将平面展开图还原几何体后，由异面直线的定义和线面平行，垂直的判定定理对选项逐个进行分析证明即可得到答案.【详解】由展开图恢复原几何体如图所示：选项 A,由点 A 不在平面 PCB 内，直线 BF 不经过 E，根据异面直线的定义可知：直线 AE与直线 BF 异面，所以正确；选项 B,因为点 E,F 为中点，根据三角形中位线定理可得 EFBC，又ADBC，EFAD，因此四边形 EFDA 是梯形，故直线 AE 与直线 DF 不是异面直线，所以不正确；选项 C,由 B 知：EFAD，EF平面 PAD，AD平面

17、 PAD，直线 EF平面 PAD，故正确；选项 D,若直线DF 平面PBC，则,DFBF DFPC，点 F 为中点，则 PD=DC=PC，不妨设 DC=2，则 DF=BF=3,BD=22,则 DF 与 BF 不垂直，所以不正确.故选 AC 答案第 8 页，总 22 页【点睛】本题考查线面平行与垂直的判定与性质定理和异面直线的定义，考查分析推理能力.12.【答案】CD【分析】代入特殊值检验，可得 A 错误；求得(+)f x的表达式，即可判断 B 的正误；分段讨论，根据 x 的范围，求得cosx的范围，利用二次函数的性质，即可求得()f x的值域，即可判断C 的正误；根据奇偶性的定义，即可判断()

18、f x的奇偶性，即可判断 D 的正误，即可得答案.【详解】对于 A：因为33,42x，所以32,32x，5552()coscos,()cos2cos04242ff，所以5()()4ff，所以()f x在区间33,42上不是单调递增函数，故 A 错误；对于 B：|cos2(|cos|cos2cos|cos2cos|()xxxfxxxx，所以不是()f x的一个周期，故 B 错误；对于 C：|cos2(|cos|2|cos2cos|=(2)2)xxxffxxx，所以()f x的周期为2，当0,4x时，2cos,12x，2()|cos2|cos|cos2cos2cos1cosf xxxxxxx 2,

19、22；答案第 9 页，总 22 页 当3,44x时，22cos,22x，2()|cos2|cos|cos2cos12coscosf xxxxxxx 2 9,28；当35,44x时，2cos 1,2x，2()|cos2|cos|cos2cos2cos1cosf xxxxxxx 2,02；当57,44x时，22cos,22x，2()|cos2|cos|cos2cos12coscosf xxxxxxx 2 9,28；当7,2 4x时，2cos,12x，2()|cos2|cos|cos2cos2cos1cosf xxxxxxx 2,22；综上：()f x的值域为2,22，故 C 正确；对于 D：()|

20、cos(2)|cos|()|cos 2|cos|()fxxxxxf x，所以()f x为偶函数，即()f x的图象关于y轴对称，故 D 正确，故选：CD【点睛】解题的关键是根据的()f x解析式，结合函数的奇偶性、周期性求解，考查分类讨论，化简计算的能力，综合性较强，属中档题.二、填空题 每题 5 分，16 题，前面一空 2 分，后面一空 3 分 答案第 10 页，总 22 页 1316i【解析】由题意可得：27345 1234275 1334253137416.iii iiiiiii 1492.【解析】5 cos45cosbAcBa则由正弦定理得5cossin5sincos4sin5sinc

21、os4sinBABACBAAB，整理得sincos9cossinABAB，222tancos22cossintan22AAAAB11sincossincos9cossin92222sincossincossin2coscosAAABABBABABAB.故答案为92.点睛：本题主要是熟练应用正弦定理进行边角转化，利用二倍角公式，切化弦公式进行化简即可得解.15【答案】3【解析】以为坐标原点，所在直线为，轴建立直角坐标系，CCBCAxy 答案第 11 页，总 22 页 可得，则直线的方程为，设，则，则|，由，可得的最小值为3 162 155 153 【分析】由余弦定理结合基本不等式可得ac的最大值

22、，即得三角形面积最大值，利用正弦定理得sinsinAC的最大值，由切化弦后结合两角和的正弦公式，诱导公式可得11tantanAC的最小值【详解】由余弦定理2222cosbacacB，即22114222acacacac，83ac，当且0,0C0,2A2 3,0BAB122 3xy,P x y23xy 02 3x2 3,PBxy,PCxy 2222 322PBPCxy2222448 31244 28 3123xxyxxx22163165 3402833334xxx5 30,2 34xPBPC2222448 31244 28 3123xxyxxx 答案第 12 页，总 22 页 仅当ac时等号成立，

23、ac最大值为83 1cos4B，(0,)B，15sin4B，115815sin2833ABCSacB，最大值为153，11coscossincoscossinsin()sintantansinsinsinsinsinsinsinsinACCACAACBACACACACAC，由正弦定理得28sinsinsin15154acbACB，1515sin,sin88AaCc，1511sinsin2 15415158tantansinsin564643BBACACac，最小值为2 155【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理，还考查了基本不等式，两角和的正弦公式，诱导公式，掌握正弦定理和余弦定理是解题关键。1

24、7.（1）tan0或tan3；（2）5,6.【分析】（1）由 5f，可得223sin2 3sin cos5cos5，利用二倍角公式以及同角三角函数的关系可得22 3sincos2sin，进而可求tan的值；（2）由2222222acbcabcac，利用正弦定理可得cos1,sin cos2sinsinBBCAC化为 答案第 13 页，总 22 页 2sin?cossin?sinABBCA，求得3B，利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数 f x化为2sin 246x，利用正弦函数的单调性，可得到函数 f x在0,B上的值域【详解】（1）由 5f，得223sin2

25、3sin cos5cos5 1 cos21cos233sin25522 3sin2cos21，即3sin21cos2 22 3sin cos2sin sin03tan或，tan0tan3或 4 分（漏解的两分）（2）由正弦定理可得2cos,2cos2acBcabCac即cos1,cos2BbCac 再由正弦定理得cos1,sin cos2sinsinBBCAC 化为ACBBAsin)sin(cossin2 则1cos2B 即3B，6 分 又 223sin2 3sin cos5cosf xxxxx 3sin2cos24xx2sin 246x 8 分 由30 x，则1)62sin(0 x，故6)(

26、5xf，即值域是5,6.10 分 答案第 14 页，总 22 页【点睛】以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.18（1）iz1；（2）556【解析】试题分析：（1）设)0,0,(baZbabiaz且利用zz2为实数以及其范围进行求解；（2）先求iiz22，再利用模长公式进行求解 试题解析：（）设)0,0,(baZbabiaz且，则ibababbabaazz

27、22222222)2()2(2 421zz，)2(4)2(1)1(0)2(222222babaabab，由（1）知：2,022bab4 分 代入（2）得：4241a，即221 a6 分 Zba,，0,0ba，11ba，iz1 8 分 答案第 15 页，总 22 页（）由题意：23481125555iiziii ，28164165|25525255izii 12 分 考点：1复数的概念；2复数的运算；3复数的模长 19（1）证明见详解；（2）证明见详解【分析】（1）取PC的中点F，证出/AEDF，再利用线面平行的判定定理即可证出.（2）利用线面垂直的判定定理可证出BC 平面PAB，再根据线面垂直

28、的定义即可证出.【详解】如图，取PC的中点F，连接,EF DF，E 为 PB 中点，/EFBC，且12EFBC，又/ADBC，2BCAD，ADEF，/ADEF,AEFD为平行四边形，即/AEDF，又AE 平面 PCD，DF 平面 PCD，所以/AE平面 PCD.6 分（用推出符号得满分，差条件每条扣两分）答案第 16 页，总 22 页（2）由PA 平面 ABCD，所以PABC，又因为/ADBC，90BAD，所以BCAB，PAABA，BC平面PAB，又AE 平面PAB，AEBC.12 分（用推出符号得满分，差条件每条扣两分）【点睛】本题考查了线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理，要证线面平行，

29、需先证线线平行；要证异面直线垂直，可先证线面垂直，此题属于基础题.20（1）714；（2）12(,12,)7 【分析】（1）由题意求得(2,3),(1,3)CMCO ，再根据 coscos,|CO CMOCMCO CMCO CM，运算即求得结果；（2）设(,3)P t，其中15t，由()OAOPCM，得=0()OAOPCM，可得(2 3)12t再根据331,)(,522t，求得实数 的取值范围：【详解】（1）由题意可得1(6,0),(1,3),(3,0)2OMOAOCOA，(2,3),(1,3)CMCO，故7coscos,=14|CO CMOCMCO CMCO CM；4 分 答案第 17 页，

30、总 22 页（2）设(,3)P t，其中15,(,3)tOPt，(6,3),(2,3)OAOPtCM，若()OAOPCM，则=0()OAOPCM，即12230t，可得(2 3)12t，若32t，则不存在，8 分 若32t，则1233=,1,)(,52322tt，10 分 故12(,12,)7 .12 分 注：未分类讨论按漏解算，扣 2 分 考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系；数量积表示两个向量的夹角 21（1）818；（2）74MN，min27 234AMNS【分析】（1）过点M作MEAB交AB于E，作MFAC交AC于F，利用三角形相似求出线段的长，从而求出三角形的面积；（2）依题意，表示

31、出23AMB，2ANC，3NAC，再由正弦定理表示出AN，AM，CN，MB，由同角三角函数的基本关系求出tan，即可求出CN，MB从而得解；由面积公式即三角恒等变换求出面积最小值.【详解】解：（1）如图，过点M作MEAB交AB于E，作MFAC交AC于F，答案第 18 页，总 22 页 则MEBCFM 2CFMFCMMEBEMB 因为90CAB，AM平分CAB且3AM 3 22MEMF 3 2CF，3 24BE 3 23 29 2244ABAEBE 3 29 23 222ACAFCF 119 29 28122248ABCSAC AB4 分 （2）在Rt ABC中3AB，AC3 3，所以3ABC，

32、6ACB，6BC，又6MAN，设BAM，23AMB，2ANC，3NAC，答案第 19 页，总 22 页 在ANC和AMB中由正弦定理可得sinsinsinANACCNCANCNAC，sinsinsinAMABBMBAMBMAB 即3 33 32cos2sin2AN，3 322sin3AM，3 3sin3 3 sincoscossin313333 3tancos22sin2CN，3sin3sin3tan22231sincoscossinsintan33322MB，当21sin7时，则22 7cos1 sin7，sin3tancos2 31393 32224CN，3322313222MB 9762

33、44MNBCNCBM8 分 1113 33 327sin222442cos2sin16cossin33AMNSAN AMMANAN AM令222cossincossincoscossin333t 231cossincos22 答案第 20 页，总 22 页 3 cos211sin2224 313cos2sin2444 13sin 2234 因为），（30，sin 20,13，2716AMNSt 3 13,424t 所以当1324t 时，min27 23274131624AMNS12 分【点睛】本题考查正弦定理，三角形面积公式及三角恒等变换的应用，属于难题.22.【答案】（1）,36kkkZ；（

34、2）12,12；（3）1483.【分析】（1）根据数量积运算和倍角公式、辅助角公式，求出 sin 26f xx.令222,262kxkkZ，求出x的取值范围，即得函数 f x的单调递增区 答案第 21 页，总 22 页 间；（2）由（1）知 sin 26f xx.当0,2x时，求得 112f x.令 tf x，则方程 230f xf xm 在02x，上有解，即方程23mtt 在1,12t 上有解，即求实数m的取值范围；（3）求出函数 g x的解析式，令 0g x，得零点x的值，可得零点间隔依次为3和23.若ba最小，则,a b均为零点，结合函数 g x在,a b上至少含有 100 个零点，求得

35、ba的最小值.【详解】（1）cos,1,3sin,1axbx，22111cos13sincos1222f xab aaa bxxx 1 cos23131sin2sin2cos2sin 2222226xxxxx.2 分 令222,262kxkkZ，得,36kxkkZ，函数 f x的单调递增区间为,36kkkZ.3 分（2）由（1）知 sin 26f xx.710,2,sin 2,1266662xxx，即 1,12fx.令 tf x，则1,12t.答案第 22 页，总 22 页 方程 230f xf xm 在02x，上有解，即方程23mtt 在1,12t 上有解.又221133612yttt 在1 1,2 6t 上单调递增，在1,16t上单调递减，1212y，即1212m.实数m的取值范围为12,12.7 分（3）11sin 2sin 2126232g xxx.令 0g x，得1sin 2,223236xxk或522,36xkkZ，12xk或,4xkkZ.函数 g x的零点间隔依次为3和23.若ba最小，则,a b均为零点.函数 g x在,a b ab上至少含有 100 个零点，min21485049333ba.12 分【点睛】本题考查三角恒等变换、三角函数的性质、函数与方程及函数的零点，属于难题